ROUGH DRAFT authorea.com/114094
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Одномерный фильтр Калмана для нахождения наилучшего приближения

    Автор: Бойцов Евгений Сергеевич

    Алгоритм Калмана:
    Фильтр Калмана – последовательный рекурсивный алгоритм, использующий принятую модель динамической системы для получения оценки, которая может быть существенно скорректирована в результате анализа каждой новой выборки измерений во временной последовательности. Этот алгоритм находит применение в процессе управления многими сложными динамическими системами, например, непрерывными производственными процессами, самолетами, кораблями и космическими аппаратами. При управлении динамической системой, прежде всего, необходимо полностью знать её фазовое состояние в каждый момент времени. Но измерение всех переменных, которыми необходимо управлять, не всегда возможно, и в этих случаях фильтр Калмана является тем средством, которое позволяет восстановить недостающую информацию посредством имеющихся неточных (зашумленных) измерений. Балакришнан (1988)

    Предполагаем, что стохастическая система \(x(t) = F(t)x(t) + \xi(t)\) может быть описана моделями динамики и измерений \(z = H(t)x(t) + \eta(t)\).
    Здесь \(x(t)\) - верктор состояния динамической системы, который является случайным Гауссовским процессом, \(z_k\) - измерения, полученные в момент времени \(t_k\). Ошибки измерений \(\xi_k\) и \(\eta_k\) также являются случайными процессами с нулевым математическим ожиданием и независимы друг от друга
    \[E\xi_k = E\eta_k = 0\] Задача фильтрации состоит в том, чтобы найти оценку вектора \(\hat{x}_k\) состояния системы \(x_k\), который является функцией измерений \(z_i...z_k\) и которая минимизирует средне квадратичную ошибку (\ref{e3})
    \[\label{e3}E\langle[x_k - \hat{x}_k]^T M[x_k - \hat{x}_k]^T\rangle\] где \(M\) - симметричная положительно-определенная матрица.
    Фильтр Калмана работает по системе прогноз-коррекция. Допустим, что в момент времени \(t_{k-1}\) получена оценка вектора состояния системы \(\hat{x}_{k-1}\). Теперь для того, чтобы получить оценку в момент \(t_k\), необходимо построить прогноз оценки \(\hat{x}_k(-)\). Основываясь на \(\hat{x}_{k-1}\), получаем измерения \(z_k\) и корректируем оценку в момент \(t_k\), базируясь на прогнозе и измерениях, в итоге получаем окончательную оценку вектора состояния \(\hat{x}_k(+)\). \(\hat{x}_k(-)\) называется априори оценка, \(\hat{x}_k(+)\) называется апостериори оценка. Ниже (Рис.1) представлена схема принципа работы фильтра Калмана.

    Рис.1 Принцип работы фильтра Калмана

    Постановка задачи:
    Тело движется равномерно и равноускоренно с заранее известным ускорением \(a\). На тело действует температура \(T\). Обозначим велечину \(x(t)\)