ROUGH DRAFT authorea.com/115437
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Несжимаемая неоднородная жидкость в условиях теплообмена

    Введение

    Какую жидкость считают несжимаемой? Часто под этим понимают жидкость, дивергенция скорости которой всюду равна нулю \({\operatorname{div}\,}{\boldsymbol{u}} \equiv 0\). На самом деле, это верно лишь в двух случаях: (1) термодинамическое равновесие наступает быстрее механического, а значит, распределение температуры оказывается квазиоднородным; или (2) частицы жидкости вовсе не обмениваются теплом друг с другом. Другими словами, в первом случае теплообмен очень интенсивен, во втором - отсутствует вовсе. Для жидкостей с неоднородным распределением температуры и при наличии механизмов внутреннего теплообмена условие несжимаести имеет другой вид, т.е. для них \({\operatorname{div}\,}{\boldsymbol{u}} \ne 0\). В данной работе условие несжимаемости устанавливается на основе более фундаментального условия неразрывности и уравнения теплопереноса.

    В конце автор рассмотрел два приложения полученного здесь условия несжимаемости к кинематике жидкости и гидростатике - расчёту вертикальной скорости свободной поверхности и давления на дне жидкости. В результате получено, что вертикальная скорость свободной поверхности определяется не только дивергенцией скорости столбика под ней, но и совокупностью эффектов термического расширения и интенсивности теплообмена. На величину давления эффекты термического расширения и тепллообмена не сказываются.

    Основная часть

    Чтобы не усложнять рассмотрение дополнительными эффектами будем рассматривать химически однородную жидкость.

    Приближение несжимаемости

    Несжимаемость означает независимость удельного объёма жидкости от действующего на неё давления. Такое приближение верно для движений, чья скорость много меньше скорости звука. Это объясняется тем, что относительное изменение плотности для адиабатических движений имеет такой же порядок как отношение возмущающей скорости к скорости звука: \((\rho-\rho_0) / \rho_0 \sim v/c\). Для воды \(c=1500 \;м/с\). Расматривая движения жидкости со скоростями много меньших \(c\), можно считать, что уравнение состояния не включает в себя давление, и плотность зависит лишь от температуры \[\label{eq_state_equation} \rho = \rho(T)\]

    Нулевая дивергенция скорости

    В каких случаях для несжимаемой жидкости выполняется условие равенства нулю дивергенции скорости? \[\label{eq_div} {\operatorname{div}\,}\boldsymbol{u} \equiv 0\] Рассмотрим для этого уравнение неразрывности, которое выполняется для любой сплошной нерелятисткой жидкости: \[\label{eq_continuity} \frac{d\rho}{dt} + \rho \, {\operatorname{div}\,}\boldsymbol u = 0\] Подставив в уравнение неразрывности \eqref{eq_continuity} условие нулевой дивергенции \eqref{eq_div} и получим, что \[\label{eq_density_conservation} \frac{d\rho}{dt} = 0\] Это означает, что плотность переносится вместе с частицами воды и удельный объём выделенного элемента воды не меняется со временем. Но в несжимаемой жидкости плотность напрямую связана с температурой, а значит уравнение сохранения плотности влечёт за собой сохранение температуры, подставляя \eqref{eq_state_equation} в \eqref{eq_density_conservation}: \[\label{eq_temperature_conservation} \frac{d\rho}{dt} = \frac{d\rho}{dT}\frac{dT}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dT}{dt} = 0\] Это означает, что температура переносится вместе с частицами воды и температура выделенного элемента воды не меняется со временем. Получется, нулевая дивергенция несжимаемой жидкости несовместна с теплообменом между элементами жидкости, какой бы большой ни была разница между температурами соседних элементов. Тепловое равновесие в такой жидкости не может устанавливаться никаким образом.

    Опытные факты говорят, что всегда существует внутренний теплообмен, направленный в сторону термодинамического равновесия и стремящийся выравнять температуру. Обычно для описания этих механизмов вводят эмпирический линейного коэффициент теплообмена \(\varkappa\), который связывает плотность потока тепла \({\boldsymbol{q}}\) c градиентом температуры: \[\label{eq_heat_flux} {\boldsymbol{q}} = \varkappa \nabla T\] Тогда уравнение теплопроводности в условиях несжимаемости выглядит следующим образом: \[\label{eq_heat_transfer} \rho c_p \frac{dT}{dt} = {\operatorname{div}\,}(\varkappa \nabla T), \\\] Плотность элемента жидкости при теплообмене перестаёт быть постоянной. Найдём её изменение с помощью \eqref{eq_temperature_conservation}, подставляя в него полную производную темепературы по времени из \eqref{eq_heat_transfer} и вводя коэффициент термического расширения \(\alpha(T) = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}\) \[\label{eq_densitu_evolution} \frac{d\rho}{dt} = -\frac{\alpha(T)}{c_p} {\operatorname{div}\,}(\varkappa \nabla T)\] Наконец, выразим дивергенцию скорости из полученного и уравнения изменения плотности \eqref{eq_densitu_evolution} и уравнения неразрывности \eqref{eq_continuity}. \[{\operatorname{div}\,}{\boldsymbol{u}} = \frac{\alpha}{c_p \rho} {\operatorname{div}\,}(\varkappa \nabla T)\] Дивергенция скорости описывает скорость изменения удельного объёма жидкости. Как видно из полученного уравнения, изменение объёма несжимаемой жидкости определяется термическим расширением и неоднородностью температуры. Если отстутствует расширение \((\alpha=0)\) или наступило тепловое равновесие \((T=const)\), то изменения объёма единицы массы не происходит.