StatPk

Valeurs numeriques

”planck cosmo”: from https://arxiv.org/pdf/1510.07600
Les \(\Omega_{i}\) = aujourd’hui.

\begin{align} H_{0} & =68 & h & =0.68 \\ \Omega_{b}h^{2} & =0.022 & \Omega_{b} & =0.05 \\ \Omega_{c}h^{2} & =0.119 & \Omega_{c} & =0.26 \\ \Omega_{m}h^{2} & =0.141 & \Omega_{m} & =0.31 \\ \Omega_{\gamma}h^{2} & =2.47~{}10^{-5} & \Omega_{\gamma}= & 5.34~{}10^{-5} \\ \Omega_{r}h^{2} & =4.15~{}10^{-5} & \Omega_{r} & =9.10^{-5} \\ \Omega_{\nu}^{(m)}h^{2} & =m(\rm{eV})/93.1 & m=0.06eV \\ n_{s} & =0.965 \\ \tau & =0.06 \\ \ln 10^{10}A_{s}(@k_{0}=0.05) & =3.05 & A_{s} & =2.11~{}10^{-9} \\ \sigma_{8}(z=0) & =0.81\\ \end{align}

avec \(\Omega_{\gamma}=\dfrac{\rho_{\gamma}}{\rho_{c}}\) et \(\rho_{\gamma}=\dfrac{\pi^{2}}{15}\dfrac{(k~{}T_{CMB})^{4}}{(\hbar c)^{3}}\)

\begin{align} \rho_{c}h^{-2}=1.05~{}10^{4}eV.cm^{-3} \\ T_{CMB}=2.725K \\ k=8.6~{}10^{-5}eV.K^{-1} \\ \hbar c=1.97~{}10^{-5}eV.cm\\ \end{align}

et \(\rho_{r}=[1+\dfrac{7}{8}\left(\dfrac{4}{11}\right)^{4/3}N_{eff}]\rho_{\gamma}=1.68\rho_{\gamma}\)

Cosmologie de base

FRW

\begin{align} H(z)=H_{0}~{}E(z)\\ \end{align}

avec
LDM:

\begin{align} E(z)=\sqrt{\Omega_{r}(1+z)^{4}+\Omega_{m}(1+z)^{3}+(1-\Omega_{r}-\Omega_{m})}\\ \end{align}

RD

\begin{align} a(t) & \propto t^{1/2} \\ H(t) & =\dot{a}/a=1/t \\ R_{H} & =H^{-1}=c~{}t\\ \end{align}

MD

\begin{align} a(t) & \propto t^{3/2} \\ H(t) & =\dot{a}/a=1/t \\ R_{H} & =H^{-1}=c~{}t\\ \end{align}

Egalite matiere/radiation (Lith-Liddle p63)

\begin{align} \dfrac{a_{0}}{a_{eq}} & =1+z_{eq}=\dfrac{\Omega_{m}}{\Omega_{r}}=2.41~{}10^{4}\Omega_{m}h^{2}\simeq 3300 \\ \dfrac{a_{eq}H_{eq}}{a_{0}H_{0}} & =\sqrt{2\Omega_{m}z_{eq}}=220\Omega_{m}h=43 \\ (a_{eq}H_{eq})^{-1} & =\dfrac{13.6}{\Omega_{m}h^{2}}\simeq 100Mpc\\ \end{align}

le dernier est le rayon de Hubble comobile.

Longueur de Jeans (Pastor-Lesgourgues)

\begin{align} \lambda_{J}(a) & =2\pi\sqrt{2/3}\dfrac{c_{s}}{H(a)} \\ k_{J}(a) & =2\pi\dfrac{a}{\lambda_{J}(a)}\\ \end{align}

le facteur \(\sqrt{2/3}\) me parait suspect…

vitesse du son (legourgues p214)

\begin{align} c_{s}(z)=\dfrac{c}{\sqrt{3(1+R(z))}}\\ \end{align}

avec

\begin{align} R(z) & =\dfrac{3\rho_{b}(z)}{4\rho_{\gamma}(z)}\notag \\ & =30\Omega_{b}h^{2}\dfrac{1000}{z}\simeq 0.67~{}1000/z\\ \end{align}

distance comobile sur la ligne de visee en \(z_{0}\)

\begin{align} \chi(z_{0})=\dfrac{c}{H_{0}}\int_{0}^{z_{0}}dz/E(z)\\ \end{align}

avec cosmo ”planck”

Distance comobile le long de la ligne de visee avec la cosmo planck