ROUGH DRAFT authorea.com/101286
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Optelreeksen

    Inleiding

    Als je \(6^9\) moet berekenen, kan je dit ook als volgt berekenen: \(6^8 * 6^1\). De exponenten worden dus bij elkaar opgeteld. Deze negende macht kan je door optellingen van exponenten bereiken: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(3+6=9\).

    Een dergelijke opvolging van optellingen wordt een optelreeks genoemd en wordt ook vaak geschreven als 1,2,3,6,9. In deze praktische opdracht zullen we opzoek gaan naar zo kort mogelijke optelreeksen om verschillende getallen te maken.

    In eerste instantie zullen we wat gaan spelen met makkelijke getallen om de optelreeksen tussen de vingers te krijgen. Vervolgens zullen we meer ingaan op de lengtes van de optelketens, oftewel de complexiteit van getallen, of c(n). Verschillende methodes zullen voorbij komen om optelreeksen korter te maken, denk hierbij aan de verdubbelings methode en de factormethode.

    Uiteindelijk zullen we proberen zelf een methode te bedenken om c(n) zo klein mogelijk te kunnen krijgen.

    Deel A: Optelreeksen 1 tot 32

    1: \(1\)

    2: \(1+1=2\)

    3: \(1+1=2\); \(1+2=3\)

    4: \(1+1=2\); \(2+2=4\)

    5: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+1=5\)

    6: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+2=6\)

    7: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(2+2=4\); \(3+4=7\)

    8: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\)

    9: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(3+6=9\)

    10: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(2+8=10\)

    11: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+1=5\); \(5+1=6\); \(6+5=11\)

    12: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+4=12\)

    13: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+1=5\); \(4+4=8\); \(5+8=13\)

    14: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+2=6\); \(6+6=12\); \(2+12=14\)

    15: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(6+6=12\); \(3+12=15\)

    16: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\)

    17: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(1+16=17\)

    18: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(2+16=18\)

    19: \(1+1=2\); \(1+2=3\); \(1+3=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(3+16=19\)

    20: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(4+16=20\)

    21: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(16+4=20\); \(20+1=21\)

    22: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+2=6\); \(6+4=10\); \(6+6=12\); \(10+12=22\)

    23: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+2=5\); \(5+5=10\); \(10+10=20\); \(20+3=23\)

    24: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(16+8=24\)

    25: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+2=5\); \(5+5=10\); \(10+10=20\); \(20+5=25\)

    26: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+2=10\); \(8+8=16\); \(16+10=26\)

    27: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(6+6=12\); \(12+12=24\); \(24+3=27\)

    28: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(16+8=24\); \(24+4=28\)

    29: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(6+6=12\); \(12+12=24\); \(24+2=26\); \(26+3=29\)

    30: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(6+6=12\); \(12+12=24\); \(24+6=30\)

    31: \(1+1=2\); \(2+1=3\); \(3+3=6\); \(6+6=12\); \(12+12=24\); \(24+6=30\); \(30+1=31\)

    32: \(1+1=2\); \(2+2=4\); \(4+4=8\); \(8+8=16\); \(16+16=32\) ;

    Zoals je ziet is het niet zo dat de complexiteit per se groter wordt naarmate het getal groter wordt.

    Wat opvalt is dat vooral machten van twee een kleinere complexiteit hebben (zie tabel bladzijde 4).

    c(n) Tabel
    n een korste optelketen c(n)
    1 1 0
    2 1, 2 1
    3 1, 2, 3 2
    4 1, 2, 4 2
    5 1, 2, 4, 5 3
    6 1, 2, 4, 6 3
    7 1, 2, 3, 4, 7 4
    8 1, 2, 4, 8 3
    9 1, 2, 3, 6, 9 4
    10 1, 2, 4, 8, 10 4
    11 1, 2, 4, 5, 6, 11 5
    12 1, 2, 4, 8, 12 4
    13 1, 2, 4, 5, 8, 13 5
    14 1, 2, 6, 12, 14 4
    15 1, 2, 3, 6, 12, 15 5
    16 1, 2, 4, 8, 16 4
    17 1, 2, 4, 8, 16, 17 5
    18 1, 2, 4, 8, 16, 18 5
    19 1, 2, 3, 4, 8, 16, 19 6
    20 1, 2, 4, 8, 16, 20 5
    21 1, 2, 4, 8, 16, 20, 21 6
    22 1, 2, 4, 6, 10, 12, 22 6
    23 1, 2, 3, 5, 10, 20, 23 6
    24 1, 2, 4, 8, 16 ,24 5
    25 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25 6
    26 1, 2, 4, 8, 10, 16, 26 6
    27 1, 2, 3, 6, 12, 24, 27 6
    28 1, 2, 4, 8, 16, 24, 28 6
    29 1, 2, 3, 6, 12, 24, 26, 29 7
    30 1, 2, 3, 6, 12, 24, 30 6
    31 1, 2, 3, 6, 12, 24, 30, 31 7
    32 1, 2, 4, 8, 16, 32 5

    Wat opvalt is dat vooral machten van twee een kleinere complexiteit hebben (zie de tabel hierboven).

    Deel B: Eerste schatting voor c(n)

    Opdracht 3

    Natuurlijk kan elk gewenst getal gemaakt worden door steeds \(+1\) te doen, helaas levert dit lange optelketens op.

    Om optelreeksen kleiner te maken neem je dus steeds grotere stappen waardoor je “snelheid” opbouwt.

    Uit tabel 1 kan ook een formule worden afgeleid: c(n)=(n+1)/2

    Opdracht 4

    Dit wordt verkregen door elke keer 2 bij het grootste getal op te tellen i.p.v. 1