ROUGH DRAFT authorea.com/105835
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • AstroLahine_V

    Astronoomia lahtisest võistlusest

    Hea meel on tervitada teid Astronoomia lahtisel võistlusel. Tuletame meelde, et teil on lahendamiseks aega 3 tundi. Lahendamisel on lubatud kasutada kalkulaatorit ja joonlauda. Ülesanded ei ole raskuse järjekorras ja neid ei pea lahendama järjest. Hindamisel arvestatakse kõiki ülesandeid võrdse kaaluga, seepärast on soovitatav lahendada esmalt lihtsamad, kiiresti lahendatavad ülesanded ja alles siis asuda raskemate ja aeganõudvamate “pähklite” kallale. Ülesannete lahendamisel on lubatud teha mõistlikke lihtsustusi, ümardamiseid ja kasutada üldtunnustatud eeldusi, mis tuleks siis ka ära märkida. Soovitame alustuseks lugeda läbi kõik ülesanded. Kõiki ülesandeid hinnatakse 10 punkti skaalas ja eriti täpse lahenduse või taibuka lahenduskäigu eest võib teenida kuni 2 boonuspunkti (nende andmise otsustab zürii konsensuslikult).

    Gravitatsioonikonstandi väärtus

    Newton - gravitatsiooniseaduse avastaja - ei teadnud gravitatsioonikonstandi tegelikku väärtust (küll aga teadis \(G M_\mathrm{Maa}\) väärtust). Kui ta oleks eeldanud, et Maa ja Päike on umbes sama tihedusega, mis väärtuse oleks ta gravitatsioonikonstandile saanud? Mis infot ta selleks oleks vajanud (ja mis võis tal olemas olla)?

    Lahendus

    Alates antiikajast on teatud teatavaid Päikessüsteemi parameetreid. Kuuvarjutuste põhjal on hinnatud nii Kuu läbimõõtu ja kaugust (läbimõõt Maa suuruse ja varju suuruse põhjal, kaugus parallaksi abil). Päikese kaugus määrati Päikese ja Kuu vahelise nurga põhjal, mis on mõõdetud täpselt poolkuu ajal. Teades Päikese kaugust on võimalik viimase suurust arvutada nurkläbimõõdu põhjal. Seega oli Newtoni ajaks olid olemas hinnangulised suurused nii Päikese raadiuse \(R_\odot = 700 000\)km, Päikese kauguse \(d=1.496\cdot10^{11}\)m ning Maakera raadiuse ja tiheduse \(R_\mathrm{Maa}=6378\)km, \(\rho_\mathrm{Maa}=5515\)kg/m\(^3\) jaoks. Newton teadis ka raskuskiirendust maapinnal, millest sai omakorda väärtuse \(GM_\mathrm{Maa}\). Pannes kirja Kepleri kolmanda seaduse Maa jaoks, saab sellest avaldada \(GM_\odot\). \[\frac{4\pi^2}{G(M_\odot+M_\mathrm{Maa})}=\frac{P^2}{d_\odot^3},\] kus \(P\) tähistab aasta pikkust perioodi. Kui kasutada eeldust, et Päikese kesmine tihedus on sama Maa omaga, saame Päikese massiks \(M_\odot = \frac43\pi\rho_\mathrm{Maa}R_\odot^3\). Asendades selle seose Kepleri seadusesse, saame vastuseks \[G = \left(\frac{d^34\pi}{P^2}-M_\mathrm{Maa}\right)\frac{3}{4\pi\rho_\mathrm{Maa}R_\odot^3} = 1,7\cdot10^{-11}\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}\]

    Hindamine: Kirjeldus, mis selleks vaja ja olemas - 5 pt; Arvutamine Kepleri seaduse abil - 3; Maakera g väärtusest M*g leidmine - 1pt; lõppvastus - 1pt.

    Põgenemine Päikesest

    Päikese keskel termotuumareaktsioonide tõttu tekkival footonil kulub pinnale jõudmiseks väga palju aega, kuna footon “põrkab” pidevalt vastu aatomituumasid. Teades valguse kiirust (\(300 000\) km s\(^{-1}\)), hajutavate osakeste ristlõikepindala ja massi (\(\sigma=2,4 \cdot 10^{-30}\)m\(^2\), \(m_\mathrm{p}=1,67\cdot10^{-27}\)kg) ning eeldades (vääralt), et Päikes on ühtlase tihedusega, siis kui kaua võtab aega, et footon jõuaks \(p=1\%\) tõenäosusega pinnale? Maksimaalsete punktide saamiseks piisab õige võrrandi koostamisest ning võib kasutada ühemõõtmelisuse eeldust.

    Lahendus

    Et väljuda Päikesest peab footon läbima silindri, mille põhja määrab prootoni ristlõige ning mille pikkus on Päikese raadius. Vastava silindri ruumala on \(V=\sigma R_\odot\). Kokku on Päikeses põrkeks sobilikke osakesi \(N_k=M_\odot/m_p=1,2\cdot10^{57}\), millest \(N=N_k\frac{V_\odot}{V}=\frac{M_\odot}{m_p}\frac{3V}{4\pi R_\odot^3}=1,4\cdot10^{9}\).

    Kui footon lahkub Päikese tuumast, siis põrkab ta paljude osakestega, ning igal põrkel ühemõõtmelisel juhul on tal \(50\%\) tõenäosus väljapoole põrgata. Statistiliselt tähendab see, et väljapoole põrkeid peab olema \(N\) võrra rohkem kui põrkeid suvalises suunas. Bernoulli lõi vastava statistilise jaotuse kirjeldamaks seda olukorda. \[C_{K/2+N}^{K}0.5^K=p,\] kus \(K\) kirjeldab kogu põrgete arvu. Vastava võrrandi lahendamine ei ole lähendusteta numbriliselt praktiliselt võimalik (kasutades Stirlingi lähendit \(\log x!=x(\log x -1)\) ja veel omakorda lihtsustusi tehes on võimalik anda \(K\) väärtusele hinnang). Vastavakt lõppavaldis (aeg footoni väljumiseks), on järgmine \(t=\frac{K}{c}\frac{2R_\odot}{N}\).

    Hindamine: Keskmise arvtiheduse leidmine - 2pt; Põrgete arvu määramine - 3pt; Bernoulli või analoogse lahendi leidmine - 5pt.