相信大家都還記得剛開始學極限時,其中一個經典的題型就是$\displaystyle {x - 1}$這種被稱為不定型(Indeterminate Form)的極限問題。當時我們的做法很簡單,就是把公因式消掉, $$ {x - 1} = {x - 1} = (x + 1) = 2 $$ 但是,如果今天我們遇到像是$\displaystyle {x-1}$這種問題時,以前的做法就不管用了。此時,如果我們求救於Google大神,大神就會告訴我們:「使用L’ôpital Rule吧!」 不定型極限問題 (INDETERMINATE FORM) 什麼叫做不定型極限問題?簡單來說,就是這種直接把x的極限值代入原始方程式之後,會產生${0}$或是${\infty}$的問題,一律稱之為不定型的極限問題。 從小學三、四年級開始,我們就知道${0}$是沒有定義的。不定型問題之所以麻煩,倒不是因為${0}$沒有定義,而在於這種問題各種結論—極限不存在、極限存在且為定值,以及極限是無窮大—都有可能發生。(這裡我們將無窮大這種不收斂的極限獨立出來討論。)底下我們來看一個簡單的例子。 Find (a) $\displaystyle {x}$ (b) $\displaystyle {x^2}$ (c) $\displaystyle {x^2}$ 顯然(a)的極限是0,(b)的極限不存在,而(c)的極限為無窮大。 總的來說,舉凡$\displaystyle {g(x)}$滿足(i)f(x)→0以及g(x)→0或是(ii)f(x)→ ± ∞以及g(x)→ ± ∞,我們就將其稱為不定型的極限問題。 L’HÔPITAL’S RULE L’Hôpital’s Rule的定理敘述如下。 Suppose f and g are differentiable and g′(x)≠0 on an open interval I that contains a (except possibly at a). Suppose that $$ f(x) = 0 \quad \quad g(x) = 0 $$ or that $$ f(x) = \pm \infty \quad \quad g(x) = \pm \infty $$ Then $$ {g(x)} = {g'(x)} $$ if the limit on the right side exists (or is ±∞). 以微積分教科書上常見的例子而言,我們可以簡單理解如下: 若將x代入原方程式會產生${0}$或是${\infty}$的話,原始問題就可以轉成分子分母各自微分後的極限問題。但這裡有一點務必特別留心:轉換後的問題,其極限必須存在。(這裡我們視無窮大為極限存在。) 回到前面$\displaystyle {x-1}$的例子,雖然分子分母沒有公因式可以對消,但透過羅必達法則,我們還是可以得到 $$ {x-1} = {1} = 1 $$ 的結論。 當然了,羅必達法則也不是萬靈丹,還是有些問題,利用以往的方法可以解決,使用羅必達法則反而做不出來。例如像是 $\displaystyle {}$ 這樣的題目。如果我們使用羅必達法則的話,會陷入無窮迴圈的窘境。 {} &{=} {(x + 2)/} = }{x + 2} \\ &{=} {} = \cdots 那麼,正確的做法應該是什麼呢?這個就當作大家的複習功課囉!XDD L’HÔPITAL’S RULE簡易版證明 這裡我們附上一個簡易版的證明。完整版的證明需要用到柯西均值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem),由於比較抽象,有興趣的同學請參考各大微積分課本。 假設f(a)=g(a)=0、f′和g′都是連續函數,並且g′(a)≠0;則 {g'(x)} &= {g'(a)} = {x - a}}{\displaystyle {x - a}} \\ &= {g(x) - g(a)} \\ &= {g(x)} 是不是輕輕鬆鬆就得到羅必達法則了呢! 後記 關於羅必達法則,我們就簡單介紹到這兒;其他的變形問題(如:∞ − ∞、∞ ⋅ 0、0⁰...)及應用,請大家自行參考書本裡的相關章節。
本文旨在用最精簡的方式介紹極座標參數式的繪圖方法,所針對的情形為微積分課本中常見的範例,不見得適用於一般的通式。希望大家在閱讀完畢之後,能對極座標繪圖有初步的概念。底下我們針對r = 2cos3θ這個參數式的作圖來說明。 STEP 1. 決定θ的範圍。微積分課本中常見的範例,其圖形大多為週期,也就是說,我們只需要考慮有限的θ範圍即可繪出完整的圖形。要決定θ的範圍,首先得將f(θ)=2cos3θ的圖形給描繪出來。 圖1 上圖中,x軸的刻度是以${6}$為單位,可以看到的是,我們將前兩個週期的圖形分別給了由(1)到(8)的編號。為什麼我們要這樣編號呢?因為從(1)到(2)的過程中,r經歷了由正轉負,而(3)到(4)則是由負轉正;這邊要小心一個地方:因為x = rcosθ,y = rsinθ,所以θ的範圍也會影響描點時的相對位置。編號(1)到(3)對應到的θ範圍分別為$\left[0, {6}\right]$、$\left[{6}, {3}\right]$、$\left[{3}, {2}\right]$,θ位於第一象限,因此x-y的相對位置完全由r的正負號決定。而(4)到(6)對應到的θ範圍分別為$\left[{2}, {3}\right]$、$\left[{3}, {6}\right]$、$\left[{6}, \pi\right]$,此時θ位於第二象限,因此y的座標與r的正負號正好相反。 我們可以觀察到,(7)、(8)兩個區域的θ正好與(1)、(2)兩個區域的θ相差π,而且r的正負號也恰恰相反;換言之,(7)的圖形會重複(1)的圖形,而(8)的圖形會重複(2)的圖形。因此,我們可以得到底下這個結論:極座標參數式r = 2cos3θ的圖形,其θ的範圍為[0, π],且可細分為六個區域繪圖。 STEP 2. 匯出具有代表性的參考點。這些參考點,基本上就是步驟一當中所得到的六個區域的端點,將這七個點在座標平面標示出來後,圖形也就呼之欲出了。 STEP 3. 描繪最終圖形。將步驟二的參考點依序連接,即可得到最終我們所要的圖形。 圖2
這篇短文,想藉由一次小考的題目來點出大家在寫證明題時常見的錯誤;由於每個人的寫法不盡相同,這邊所提的只是一個大方向,請大家自行判斷文章所指出的,是否就是自己曾經犯過的錯誤。 是非題 是非題答題方式很簡單:對的給證明,錯的給反例;但也是最難寫的題型,因為判斷對錯本身就不是一件容易的事。撇除這個部份不談,是非題比較容易犯的,嚴格來說不是錯,而是寫法上失焦。我們來看底下這個例子。 - If x and y are integers of the same parity, then xy and (x + y)² are of the same parity. (Two integers are of the same parity if they are both odd or both even.) 這個命題是錯的,所以我們只需要給一個反例即可。 SOLUTION. Let x = y = 1. Then x and y are of the same parity. However, xy = 1 and (x + y)² = 4 are of distinct parities. ▫ 有的同學將x, y同為奇數和同為偶數的情形分別討論一下,然後得到第一種情形與命題的結論不合,代表命題為非。這樣當然不是不行,只是多了一堆不必要的討論罷了。 運算元混淆 第二種常見的錯誤,就是把運算元搞混;例如將集合的減法和實數的減法混淆在一起。 - Let A and B be two sets. If A \ B = B \ A, then A \ B = ⌀. 這個命題為真,所以我們必須給予證明;常見的錯誤寫法為使用了 $$ A \setminus C = B \setminus C \quad \Rightarrow \quad A = B $$ 這種論證。 (錯誤寫法) Since A \ B = A \ (A ∩ B) and B \ A = B \ (A ∩ B), we have A \setminus (A \cap B) = B \setminus (A \cap B) \quad \Rightarrow \quad A = B \quad \Rightarrow \quad A \setminus B = \varnothing 集合的減法英文為difference,而實數的減法英文是minus,從字面上即可得知這是兩種不同的運算規則,因此 $$ a - c = b - c \quad \Rightarrow \quad a = b $$ 這種推論並不適用於集合。如果我們讓A = {1, 2, 3}、B = {1, 2}以及C = {3};則A \ C = B \ C但A ≠ B。正確作法如下。 PROOF. Suppose that A \ B ≠ ⌀. Let x ∈ A \ B. Then x ∈ A but x ∉ B. Since A \ B = B \ A, it is seen that x ∈ B but x ∉ A. This shows that x ∈ A and x ∉ A, which is a contradiction. Hence A \ B = ⌀. ▫ 說明不夠嚴謹 這大概是最常見的問題,也是最不容易拿捏的地方。說明是否足夠嚴謹,其標準因人而異,但無論如何,寫得詳細些至少不會出錯。若以考試的觀點,大原則就是:只要是課本或課堂上沒出現過的命題,就必須給予證明。 - For every positive irrational number b, there is an irrational number a such that 0 < a < b. 這一題很簡單,大多數的同學會直接取$a = {2}$,接著就證明完畢。當然,0 < a < b的部分並沒有太大的疑義;但a是否為無理數就需要驗證了,請千萬不要漏了這個部分。 倒因為果 另外一種常見的錯誤,則是把要證明的結論當已知,然後推出一個恆真的結論。底下我們舉一個例子。 - n³ + 1 > n² + n for every integer n ≥ 2. (錯誤寫法) Suppose that n³ + 1 > n² + n for every integer n ≥ 2. Then n^3 + 1 > n^2 + n \quad &\Rightarrow \quad n^3 + 1 - n^2 - n > 0 \\ &\Rightarrow \quad n^2(n-1) - (n-1) > 0 \\ &\Rightarrow \quad (n-1)(n^2-1) > 0 \\ &\Rightarrow \quad (n-1)^2 (n+1) > 0 The last inequality is always true for every integer n ≥ 2. ▫ 雖然上面這個作法不對,但卻不是完全無用,因為它指點了一條正確證明的路。正確的作法應該從最後一行往回寫,這樣就沒問題了。換句話說,上面這種錯誤的做法,其實是正確證明的思考過程,只是需要正確的使用就是了。