Coseno de pi quintos

Ejercicio 8 de la relación 1.2

En este ejercicio utilizamos la relación entre factorización de polinomios y soluciones de ecuaciones polinómicas para hallar el coseno de \(\pi/5\). Empezamos utilizando la fórmula de Moivre para encontrar el polinomio sobre el que vamos a trabajar.

(a) Utilice la fórmula de De Moivre para demostrar que \[\cos(5\theta)=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta\]

Solución: \[ \begin{aligned} \cos(5\theta) & = \mathrm{Re}((\cos \theta+\mathrm{i}\sin\theta)^5) = \\\ & = \mathrm{Re}(\cos^5 \theta+5\mathrm{i}\cos^4\theta\sin\theta −10\cos^3 \theta\sin^2 \theta −10\mathrm{i}\cos^2\theta\sin^3\theta +5\cos \theta\sin^4 \theta +\mathrm{i}\sin^5\theta) = \\\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta\sin^2 \theta+5\cos \theta\sin^4 \theta = \\\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta(1-\cos^2\theta)+5\cos \theta(1-\cos^2\theta)^2 = \\\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta+10\cos^5\theta+5\cos \theta(1-2\cos^2\theta+\cos^4\theta) = \\\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta+10\cos^5\theta+5\cos \theta-10\cos^3\theta+5\cos^5\theta = \\\ & = 16\cos^5 \theta−20\cos^3 \theta+5\cos \theta \end{aligned} \]