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  • Coseno de pi quintos

    Ejercicio 8 de la relación 1.2

    En este ejercicio utilizamos la relación entre factorización de polinomios y soluciones de ecuaciones polinómicas para hallar el coseno de \(\pi/5\). Empezamos utilizando la fórmula de Moivre para encontrar el polinomio sobre el que vamos a trabajar.

    (a) Utilice la fórmula de De Moivre para demostrar que \[\cos(5\theta)=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta\]

    Solución: [ \begin{aligned} \cos(5\theta) & = \mathrm{Re}((\cos \theta+\mathrm{i}\sin\theta)^5) = \\ & = \mathrm{Re}(\cos^5 \theta+5\mathrm{i}\cos^4\theta\sin\theta −10\cos^3 \theta\sin^2 \theta −10\mathrm{i}\cos^2\theta\sin^3\theta +5\cos \theta\sin^4 \theta +\mathrm{i}\sin^5\theta) = \\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta\sin^2 \theta+5\cos \theta\sin^4 \theta = \\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta(1-\cos^2\theta)+5\cos \theta(1-\cos^2\theta)^2 = \\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta+10\cos^5\theta+5\cos \theta(1-2\cos^2\theta+\cos^4\theta) = \\ & = \cos^5 \theta−10\cos^3 \theta+10\cos^5\theta+5\cos \theta-10\cos^3\theta+5\cos^5\theta = \\ & = 16\cos^5 \theta−20\cos^3 \theta+5\cos \theta \end{aligned} ]

    (b) Deduzca que \(\cos\frac{\pi}{5}\) es raíz del polinomio \(P(x)=16x^5-20x^3+5x+1\)

    Solución: Tenemos que demostrar que \(P(\pi/5)=0\) [ \begin{aligned} P(\pi/5)&=\underbrace{16\cos^5(\pi/5)-20\cos^3(\pi/5)+5\cos(\pi/5)}+1 =\\ &\stackrel{()}{=}\cos(5\cdot\pi/5)+1 =\cos\pi+1=-1+1=0 \end{aligned} ] En la igualdad () hemos utilizado el apartado anterior para \(\theta=\pi/5\)