La Cisoide de Diocles

La curva polar \(r=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos(\theta)}\) es la Cisoide de Diocles. Empezamos viendo la gráfica en coordenadas cartesianas.

Gráfica de la función \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos(x)}\).

El dominio de la función es el intervalo \((\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) y el límite en los extremos del intervalo es infinito

\begin{aligned} \lim_{\theta\to\pi/2}\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos\theta} & =\frac{1}{0^{+}}=+\infty\nonumber \\ \lim_{\theta\to-\pi/2}\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos\theta} & =\frac{1}{0^{+}}=+\infty\nonumber \\ \end{aligned}

Por lo tanto, la curva polar puede tener asíntotas cuando \(\theta\) tiende a \(\pi/2\) o a \(-\pi/2\):

\begin{aligned} \lim_{\theta\to\pi/2}x(\theta) & =\lim_{\theta\to\pi/2}\cos\theta\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos\theta}=\lim_{\theta\to\pi/2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)=1\nonumber \\ \lim_{\theta\to\pi/2}y(\theta) & =\lim_{\theta\to\pi/2}\operatorname{sen}\theta\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos\theta}=\lim_{\theta\to\pi/2}\frac{\operatorname{sen}^{3}(\theta)}{\cos\theta}=+\infty\nonumber \\ \end{aligned}

Obtenemos los mismos resultados en \(-\pi/2\):

\begin{aligned} \lim_{\theta\to-\pi/2}x(\theta) & =\lim_{\theta\to-\pi/2}\cos\theta\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos\theta}=\lim_{\theta\to-\pi/2}\operatorname{sen}^{2}(\theta)=1\nonumber \\ \lim_{\theta\to-\pi/2}y(\theta) & =\lim_{\theta\to-\pi/2}\operatorname{sen}\theta\frac{\operatorname{sen}^{2}(\theta)}{\cos\theta}=\lim_{\theta\to-\pi/2}\frac{\operatorname{sen}^{3}(\theta)}{\cos\theta}=+\infty\nonumber \\ \end{aligned}

Por lo tanto, podemos afirmar que \(x=1\) es una asíntota de la curva polar en los dos extremos del intervalo.