Algoritmo para la resolución del problema.1. Calcular \(y^{ }\)* con la formula correspondiente.2. Una vez que conocemos el valor de   \(y^{ }\)*, podemos utilizar la fórmula para calcular \(t_0\)* .3. De aquí hay dos opciones:Si \(L>t_0\)* \(\to\) \(Le=L-n\ t_0\)*Dependiendo de la situación se saca el umbral del pedido de la siguiente manera:\(LeD\)\(LD\) (Solo si no es menor \(t_0\)* que L)4. Anotar la conclusión.5. Ahora podemos determinar el \(TCU\) mediante la fórmula.Fórmulas.\[y=\sqrt{\frac{2kD}{h}}\]\[t_0=\frac{y}{D}\]\[L>t_0\to Le=L-n\ t_0\] \[n=\frac{L}{t_0}\] \[LD\]\[TCU=\frac{k}{\frac{y}{D}}+h\left(\frac{y}{2}\right)\]Donde:\(y=Cantidad\ de\ pedido\)\(D=Tasa\ de\ demanda\)\(t_0=Duración\ del\ ciclo\ de\ pedido\)\(k=Costo\ de\ preparación\ asociado\ con\ la\ colocación\ de\ un\ pedido\)\(h=\ Costo\ de\ retención\)Problema:En cada uno de los siguientes casos no se permite la escasez, y el tiempo de espera entre la colocación y la recepción de un pedido es de 30 días. Determine la política de inventario óptima y el costo asociado por día.En todos los incisos utilizaremos \(L=30\)a) \(k=\$100\)\(h=\$.05\)\(D=30\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot100\cdot30}{.05}}\)\(y=346\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{346}{30}\)\(t_0=12\ \) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{12}=2.5\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-2\left(12\right)\)\(Le=6\) días\(LeD=6\times30\) \(Le\ D=180\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 180 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 346 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 180 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{100}{\frac{346}{30}}+.05\left(\frac{346}{2}\right)\)\(TCU=\$17.32\ \) por día.b) \(k=\$50\)\(h=\$.05\)\(D=30\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot50\cdot30}{.05}}\)\(y=245\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{245}{30}\)\(t_0=8\) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{8}=3.75\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-3\left(8\right)\)\(Le=6\) días\(LeD=6\times30\) \(Le\ D=180\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 180 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 245 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 180 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{50}{\frac{245}{30}}+.05\left(\frac{245}{2}\right)\)\(TCU=\$12.24\) por día.c) \(k=\$100\)\(h=.01\)\(D=40\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot100\cdot40}{.01}}\)\(y=894\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{894}{40}\)\(t_0=22\ \) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{22}=1.36\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-1\left(22\right)\)\(Le=8\) días\(LeD=8\times40\) \(Le\ D=320\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 320 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 894 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 320 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{100}{\frac{894}{40}}+.01\left(\frac{894}{2}\right)\)\(TCU=\$8.94\) por día.d) \(k=\$100\)\(h=\$.04\)\(D=20\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot100\cdot20}{.04}}\)\(y=316\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{316}{20}\)\(t_0=16\) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{16}=1.87\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-1\left(16\right)\)\(Le=14\) días\(LeD=14\times20\) \(Le\ D=280\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 280 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 316 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 280 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{100}{\frac{316}{20}}+.04\left(\frac{316}{2}\right)\)\(TCU=\$12.64\) por día.
Fórmula:\(Pn=\left(\frac{\lambda_{n-1\ }\lambda_{n-2}..........\lambda_0}{\mu_n\ \mu_{n-1}.........\mu_1}\right)P_0\)\(\sum_{n=0}^{\infty}P_n=1\)ProblemaEn el modelo de B&K del ejemplo visto en clase, suponga que el tiempo entre llegadas en el área de cajas es exponencial con media de 6 minutos y que el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos. Determine las probabilidades de estado estable, Pn para todas las n.Es necesario como primer paso el conocer el valor de \(\lambda\) y \(\mu_n\) para poder comenzar a resolver nuestro problema.Para calcular \(\lambda\):Esto representa la tasa de llegadas y queremos saber el  número de llegadas por hora y sabemos que una hora tiene 60 minutos y el tiempo entre llegadas es exponencial con media de 6 min, por lo tanto:\(\lambda=\frac{60}{6}\)\(\lambda=10\ por\ hora\)Para calcular \(\mu_n\):Esto representa el tiempo en las cajas, sabemos que una hora tiene 60 minutos y  el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos, por lo tanto:\(\mu_n=\frac{60}{15}\)\(\mu_n=4\ una\ caja\)                                    \(n=0,1,2,3\)\(\mu_n=8\ dos\ cajas\)                                    \(n=4,5,6\)\(\mu_n=12\ tres\ cajas\)                                \(n=7,8,....\)Por lo tanto:\(P_1=\frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0=\left(\frac{10}{4}\right)P_0\)\(P_2=\frac{\lambda_{1\ }\lambda_0}{\mu_{2\ }\mu_1}P_0=\left(\frac{10}{4}\right)^2P_0\)\(P_3=\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0\)\(P_4=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)P_0\)\(P_5=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^2P_0\)\(P_6=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3P_0\)\(P_7=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}P_0\) El valor de \(P_0\) se determina a partir de la ecuación:    \(P_0+\frac{5}{2}P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^2P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6}P_0=1\)Factorizamos \(P_0+P_0^{ }\left[1+\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(1+\left(\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^2+...\right)\right]=1\) Utilizando la serie de suma geométrica y obtenemos\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x},\left|x\right|<1=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=6\)   \(P_0\left[1+\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(6\right)\right]=1\)\(P_0\left(252\right)=1\)Por lo tanto\(P_0=\frac{1}{252}=.003\)