Algoritmo para la resolución del problema.1. Calcular \(y^{ }\)* con la formula correspondiente.2. Una vez que conocemos el valor de   \(y^{ }\)*, podemos utilizar la fórmula para calcular \(t_0\)* .3. De aquí hay dos opciones:Si \(L>t_0\)* \(\to\) \(Le=L-n\ t_0\)*Dependiendo de la situación se saca el umbral del pedido de la siguiente manera:\(LeD\)\(LD\) (Solo si no es menor \(t_0\)* que L)4. Anotar la conclusión.5. Ahora podemos determinar el \(TCU\) mediante la fórmula.Fórmulas.\[y=\sqrt{\frac{2kD}{h}}\]\[t_0=\frac{y}{D}\]\[L>t_0\to Le=L-n\ t_0\] \[n=\frac{L}{t_0}\] \[LD\]\[TCU=\frac{k}{\frac{y}{D}}+h\left(\frac{y}{2}\right)\]Donde:\(y=Cantidad\ de\ pedido\)\(D=Tasa\ de\ demanda\)\(t_0=Duración\ del\ ciclo\ de\ pedido\)\(k=Costo\ de\ preparación\ asociado\ con\ la\ colocación\ de\ un\ pedido\)\(h=\ Costo\ de\ retención\)Problema:En cada uno de los siguientes casos no se permite la escasez, y el tiempo de espera entre la colocación y la recepción de un pedido es de 30 días. Determine la política de inventario óptima y el costo asociado por día.En todos los incisos utilizaremos \(L=30\)a) \(k=\$100\)\(h=\$.05\)\(D=30\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot100\cdot30}{.05}}\)\(y=346\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{346}{30}\)\(t_0=12\ \) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{12}=2.5\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-2\left(12\right)\)\(Le=6\) días\(LeD=6\times30\) \(Le\ D=180\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 180 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 346 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 180 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{100}{\frac{346}{30}}+.05\left(\frac{346}{2}\right)\)\(TCU=\$17.32\ \) por día.b) \(k=\$50\)\(h=\$.05\)\(D=30\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot50\cdot30}{.05}}\)\(y=245\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{245}{30}\)\(t_0=8\) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{8}=3.75\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-3\left(8\right)\)\(Le=6\) días\(LeD=6\times30\) \(Le\ D=180\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 180 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 245 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 180 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{50}{\frac{245}{30}}+.05\left(\frac{245}{2}\right)\)\(TCU=\$12.24\) por día.c) \(k=\$100\)\(h=.01\)\(D=40\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot100\cdot40}{.01}}\)\(y=894\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{894}{40}\)\(t_0=22\ \) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{22}=1.36\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-1\left(22\right)\)\(Le=8\) días\(LeD=8\times40\) \(Le\ D=320\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 320 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 894 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 320 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{100}{\frac{894}{40}}+.01\left(\frac{894}{2}\right)\)\(TCU=\$8.94\) por día.d) \(k=\$100\)\(h=\$.04\)\(D=20\)1. Calcularemos el valor de y* sustituyendo los datos en la fórmula: \(y=\sqrt{\frac{2\cdot100\cdot20}{.04}}\)\(y=316\ unidades\) 2.  Ahora que conocemos el valor de y* podemos calcular \(t_0\)* \(t_0=\frac{316}{20}\)\(t_0=16\) días  3. Como \(L>t_0\) utilizaremos la siguiente fórmula para determinar el umbral para realizar el pedido:* Para poder conocer el valor de n : \(n=\frac{L}{t_0}\)\[Le=L-n\ t_0\]\(n=\frac{30}{16}=1.87\) tomamos el entero no mayor a \(\frac{L}{t_0}\)\(Le=30-1\left(16\right)\)\(Le=14\) días\(LeD=14\times20\) \(Le\ D=280\ unidades\)El punto para volver a pedir ocurre cuando el nivel de inventario se reduce a 280 unidades.  4. La política de inventario óptima es:Pedir 316 unidades siempre que el nivel de inventario se reduzca a 280 unidades.5. Calculamos el \(TCU\) \(TCU=\frac{100}{\frac{316}{20}}+.04\left(\frac{316}{2}\right)\)\(TCU=\$12.64\) por día.

Fórmulas:\[X_t=a+bt\]\[a=\overline{X}-b\overline{t}\]\(\)\(% b=\frac{\left(n\sum_{i=1}^nX_it_i-\sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^nt_i\right)}{n\sum_{i=1}^nt_i^2-[\sum_{i=1}^{n}t_i]^2}\)\[b=\frac{\left(n\sum_{i=1}^nX_it_i-\sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^nt_i\right)}{n\sum_{i=1}^nt_i^2-\left[\sum_{i=1}^nt_i\right]^2}\]Ejercicio:Para  la  economía  española,  disponemos  de  los  datos  anuales  redondeados  sobre  consumo  final  de los  hogares  a  precios  corrientes  (Y)  y  renta  nacional  disponible  neta  (X),  tomados  de  la Contabilidad  Nacional  de  España  base  1995  del  INE  ,  para  el  período  1995-2002,  ambos expresados en miles de millones de euros:

PROBLEMA En una clínica de salud, la tasa promedio de llegada de los pacientes es de 12 pacientes por hora. En promedio, un médico puede atender a los pacientes a razón de un paciente cada cuatro minutos. Supongamos que la llegada de pacientes sigue una distribución de Poisson y el servicio a los pacientes sigue una distribución exponencial. a) Encuentre el número promedio de pacientes en la línea de espera y en la clínica.b) Encuentre el tiempo de espera promedio en la línea de espera y también el tiempo promedio de espera en la clínica.

Fórmula:\(Pn=\left(\frac{\lambda_{n-1\ }\lambda_{n-2}..........\lambda_0}{\mu_n\ \mu_{n-1}.........\mu_1}\right)P_0\)\(\sum_{n=0}^{\infty}P_n=1\)ProblemaEn el modelo de B&K del ejemplo visto en clase, suponga que el tiempo entre llegadas en el área de cajas es exponencial con media de 6 minutos y que el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos. Determine las probabilidades de estado estable, Pn para todas las n.Es necesario como primer paso el conocer el valor de \(\lambda\) y \(\mu_n\) para poder comenzar a resolver nuestro problema.Para calcular \(\lambda\):Esto representa la tasa de llegadas y queremos saber el  número de llegadas por hora y sabemos que una hora tiene 60 minutos y el tiempo entre llegadas es exponencial con media de 6 min, por lo tanto:\(\lambda=\frac{60}{6}\)\(\lambda=10\ por\ hora\)Para calcular \(\mu_n\):Esto representa el tiempo en las cajas, sabemos que una hora tiene 60 minutos y  el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos, por lo tanto:\(\mu_n=\frac{60}{15}\)\(\mu_n=4\ una\ caja\)                                    \(n=0,1,2,3\)\(\mu_n=8\ dos\ cajas\)                                    \(n=4,5,6\)\(\mu_n=12\ tres\ cajas\)                                \(n=7,8,....\)Por lo tanto:\(P_1=\frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0=\left(\frac{10}{4}\right)P_0\)\(P_2=\frac{\lambda_{1\ }\lambda_0}{\mu_{2\ }\mu_1}P_0=\left(\frac{10}{4}\right)^2P_0\)\(P_3=\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0\)\(P_4=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)P_0\)\(P_5=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^2P_0\)\(P_6=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3P_0\)\(P_7=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}P_0\) El valor de \(P_0\) se determina a partir de la ecuación:    \(P_0+\frac{5}{2}P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^2P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6}P_0=1\)Factorizamos \(P_0+P_0^{ }\left[1+\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(1+\left(\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^2+...\right)\right]=1\) Utilizando la serie de suma geométrica y obtenemos\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x},\left|x\right|<1=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=6\)   \(P_0\left[1+\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(6\right)\right]=1\)\(P_0\left(252\right)=1\)Por lo tanto\(P_0=\frac{1}{252}=.003\)

Método de la esquina noroeste Pasos para la resolución de la esquina noroeste:Paso 1: En la  esquina seleccionada se debe asignar la mayor cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.Paso 2:  En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del Paso 1, si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.  Paso 3:  Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método.La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el Paso 1.

Método de VogelPasos para la resolución de Vogel:Paso 1: Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.Paso 2:  Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el Paso 1 se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente. Paso 3:  De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).  Resolución del problema por el método de Vogel:

Proceso de jerarquía analítica.Bajo certidumbre. Ramiro Ramirez, un brillante estudiante del último año de la preparatoria, recibió ofertas de becas académicas completas de tres instituciones: U de A, U de B y U de C. Ramiro fundamenta su elección en dos criterios: la ubicación y la reputación académica. Para él, la reputación académica es cinco veces más importante que la ubicación, y asigna un peso de aproximadamente 83% a la reputación y un 17% a la ubicación. Luego utiliza un proceso sistemático  para calificar las tres universidades desde el punto de vista de la ubicación y la reputación, como se muestra en la tabla siguiente:

Pasos para la solución del problema en Excel con solver.La primera fila es el objetivo.Se ingresan las restricciones.Se define un área para el resultado. Se definen los totales en términos de las celdas de resultados de las variables.Se activa solver.Definir la celda objetivo.Definir si se va a maximizar o minimizar.Definir el rango para las soluciones de las variables.Agregar las restricciones (es importante no olvidar la de no negatividad).Seleccionar Simplex LP.Seleccionar resolver.Conservar la solución.La dietaLas restricciones se simplifican cambiando los términos en x1 y x2 al lado izquierdo de cada desigualdad, con solo una constante del lado derecho. El método completo es.Minimizar: \(z=.3x_1+.9x_2\)Sujeto a:\(x_1+x_2\ge800\)\(.21x_1-.30x_2\le0\)\(.03x_1-.01x_2\ge0\)\(x_1,x_2\ge0\)Procedimiento de Excel