Método de Aproximación de la Matriz Insumo-Producto Mediante la Multiplicación Matricial de Hadamard [2]José Vallejo, Andrés Villa, Carlos CoralResumenLa matriz insumo producto es una herramienta recurrente para el análisis del estado de la economía y la importancia de sus sectores en un momento dado. Por ello, es necesario disponer de información actualizada para realizar comparaciones y pronósticos sobre dichos estados económicos. Un problema constatado es que la información oficial para esta herramienta no siempre es periódica ni actualizada. El presente trabajo describe una metodología de construcción de matrices insumo-producto, que permitire establecer una secuencia periódica, con información pertinente, sobre los estados de la economía en momentos diferentes. (Esto hay que completar)1. Introducción. La matriz insumo-producto (MIP) es una representación cuantitativa de las relaciones intersectoriales y los encadenamientos productivos de una economía. Una MIP permite analizar las condiciones de producción de un sistema económico dado, durante un cierto período de tiempo. El análisis de las MIPs fue desarrollado por el economista ruso-americano W. W. Leontief en 1936 [1] y se ha convertido, actualmente, en un instrumento del Sistema Nacional de Cuentas de muchos países, incluyendo el Ecuador [2]. El análisis de las MIP’s se utiliza generalmente, para cuantificar el impacto de eventos socio-económicos, inversiones públicas y/o programas de desarrollo en la economía de una región o país. En la construcción de una MIP se considera el modelo de un sistema económico compuesto de varios sectores productivos interrelacionados. En la matriz insumo-producto las filas representan el valor de los insumos que cada sector de la economía aporta a si mismo y a los demás sectores, los cuales se representan en las columnas. Obviamente, la construcción de las MIPs es un arduo trabajo que consume mucho tiempo, ya que en su elaboración se requieren los datos de todos los gastos e ingresos de cada sector de actividad del sistema económico estudiado. Por esta razón, no todos los países coleccionan la totalidad de los datos requeridos, y la calidad de los datos que se recolectan varía en el tiempo y de una región o sistema económico a otro. Esto sucede, a pesar de que la Organización de las Naciones Unidas recomendó un standard para la recolección de dichos datos a través de su Sistema de Cuentas Nacionales [2]. Debido a la intensa labor y procesamiento computacional que requiere la colección de datos y la preparación de matrices de insumo-producto, el Sistema Nacional de Cuentas del Ecuador no publica las MIPs cada año o más frecuentemente, como sería lo ideal, sino que las publica, generalmente, varios años después del año para el cual se coleccionaron los datos, con un retraso aproximado de 3 años. Por ejemplo, El Banco Central del Ecuador ha calculado las MIPs para los años 2007, 2010, 2012 y 2013, esta última publicada en el año 2016 [3]. Debido a estas discontinuidades y retrasos, la “imagen” de la economía que se obtiene a partir de las MIP’s publicadas, constituye sólo una representación estática, elaborada cada cierto número de años, de todo un proceso económico continuo, como es la economía de un país. Idealmente, para lograr tener una representación más precisa del proceso económico de un país, es indispensable calcular las MIPs con una frecuencia óptima estandarizada y que su publicación sea lo más pronto posible con el fin de lograr su utilización, de ser posible, “en tiempo real”. En este trabajo se propone un método de aproximación que facilita la elaboración de nuevas MIP’s para el Ecuador, mediante el uso de las Tablas de Oferta-Utilización (TOU) que se publican en el Ecuador periódicamente [3] y de las MIPs ya conocidas, publicadas cada cierto número de años [3].2. Método para el cálculo aproximado de MIP’s De acuerdo con el Banco Central del Ecuador, ”…la matriz insumo producto es una descripción sintética de la economía de un país y un instrumento analítico generado a partir de la tabla oferta-utilización de bienes y servicios (TOU)” [3]. Sin embargo, en una MIP, los precios generalmente están expresados en precios básicos, mientras que en las TOU los precios están expresados, comúnmente, en precios de comprador [2]. Según el manual SCN-2008 [2], los precios básicos son los precios que cobra el productor sin incluir los costos de transporte y los márgenes, exceptuando los impuestos, pero sumándole las subvenciones a los productos. Es decir, si Pb representa los precios básicos, Pc simboliza los precios de comprador, tr significa las subvenciones y T son los impuestos, entonces los precios básicos son iguales a los precios de comprador, más las subvenciones, menos los impuestos, o sea: \(P_{b}=\ P_{c}+\ t_{r}-T\) (1)Es necesario tener en cuenta que, generalmente, el valor de las subvenciones y de los impuestos se calcula como coeficientes porcentuales del precio de comprador. De acuerdo con lo anterior y representando las subvenciones y los impuestos a través de los coeficientes porcentuales del precio de consumidor la ecuación (1) se puede escribir en la forma: \(P_{b}=P_{c}+qP_{c}-gP_{c}=(1+q-g)P_{c}\) (2)Donde el coeficiente \(q=\ \sum_{i=1}^{N}q_{i}\) es la suma de los coeficientes porcentuales de las subvenciones, siendo i = 1,…, N, el número de subvenciones.Similarmente, el coeficiente \(g=\ \sum_{j=1}^{M}g_{j}\) es la suma de los coeficientes porcentuales de los impuestos, siendo j = 1,…, M, el número de impuestos.De la ecuación (2) se desprende que el precio básico es proporcional al precio de comprador, donde la suma de coeficientes (\(1+q-g)\) es el coeficiente de proporcionalidad. Si esta suma de coeficientes se representa con \(\propto\) , es decir, \(\propto\ =1+q-g\) , la ecuación (2) se puede escribir en la forma: \(P_b\ =\ \alpha\ P_c\) (3)De lo anterior se puede observar que, si no hay ni subvenciones ni impuestos, o el porcentaje total de las subvenciones iguala al porcentaje total de los impuestos, el precio básico es igual al precio de comprador ( \(\alpha\ =\ 1\) ) ; si no hay impuestos y sólo hay subvenciones, o el porcentaje total de las subvenciones es mayor que el porcentaje total de los impuestos, el precio básico es mayor que el precio de comprador ( \(\alpha\ >\ 1\)) ; si no hay subvenciones y sólo hay impuestos, o el porcentaje total de las subvenciones es menor que el porcentaje total de los impuestos, el precio básico es menor que el precio de comprador ( \(\alpha\ <\ 1\)).Consideremos ahora una matriz insumo-producto (MIP) M y una tabla oferta-demanda (TOU) T. De acuerdo con lo expuesto en los párrafos anteriores se puede deducir que el valor del elemento \(m_{11}\) correspondiente a la fila 1 y la columna 1 de la MIP M (expresada en precios básicos) es proporcional al valor del elemento T (expresada en precios de comprador). Dicho de otra manera: \(m_{11}=\ \propto_{11}t_{11}\) (4)Donde \(\propto_{11}\) es el coeficiente de proporcionalidad que engloba las subvenciones e impuestos del correspondiente sector de la economía ubicado en la fila 1 y la columna 1 de la TOU T.Razonando de igual manera se puede encontrar los valores de cada uno del resto de elementos de la matriz M, ubicados en la fila i y en la columna j, es decir:\(m_{\text{ij}}=\ \propto_{\text{ij}}t_{\text{ij}}\) (5)De aquí se desprende que la matriz insumo-producto M se puede obtener como la matriz cuyos elementos son el resultado de multiplicar término a término los elementos de las matrices α y T; o sea:M = α ○T (6)Dicho de otra manera, la MIP se puede obtener como el producto Hadamard [9] de dos matrices: una matriz α cuyos elementos son los coeficientes de proporcionalidad \(\propto_{\text{ij}}\) y la matriz T cuyos elementos representan la TOU.De acuerdo con lo anterior, si se conoce por lo menos una matriz insumo-producto, con el método expuesto arriba se puede calcular los coeficientes de proporcionalidad entre los elementos de dicha MIP y los elementos de la TOU, es decir, los elementos \(\propto_{\text{ij}}\) de la matriz α. Una vez obtenidos dichos valores, éstos pueden ser utilizados para aproximar la MIP por medio de la fórmula 6, usando las TOU correspondientes a años anteriores o posteriores al año para el cual fue calculada la MIP. Obviamente, una mejor aproximación se puede lograr si se conoce más de una MIP. En este caso, para cada MIP se calculan los coeficientes \(\propto_{\text{ij}}\) y luego se obtienen los promedios de dichos coeficientes, los cuales conforman los elementos respectivos de la matriz α. ( α-promedio ). Con esta matriz de coeficientes de proporcionalidad se puede aproximar la MIP por medio de la fórmula 6, para cualquier año en que se conozca la TOU. A continuación se describen los resultados.3. Ejemplo: Aplicación al caso ecuatoriano (lo que ya se tiene)Este método se aplicó para aproximar las matrices insumo-producto del Ecuador correspondientes a los años 2008, 2009 y 2011, para los cuales no se han reportado dichas matrices, a pesar de conocerse las respectivas TOU. 4. Análisis de resultados y Discusión5. Conclusiones[1] Leontief, W. W. (1986). Input-output economics. Oxford University Press on Demand.[2] https://unstats.un.org/unsd/nationalaccount/sna2008.asp[3] https://www.bce.fin.ec/index.php/component/k2/item/763[4][5][6][7][9] Styan G.P.H, Hadamard Products and Multivariate Statistical analysis, Linear Algebra and its Applications, V6, pp. 217-240, 1973.