Na przykładze przewodnictwa ciepła
(1) \(u_t = \bigtriangleup u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,t) \in D \times [0,T)\)
\(u = g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,t) \in \partial D \times [0,T)\) warunki brzegowe, początkowe
\(u(x,0) = \varphi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in D\)
\(P^b = (I - \alpha rC)^{-1}(I + r(1-\alpha)C)v^{n+1}\)
Metoda jawna \(\alpha = 0\)
\(n = 1\ \ \ \mu = 1 + r \lambda\ \ \ \mu _j = 1 + r \lambda _j \ \ \ j = 1,...,\Phi - 1 (???)\)
\[\left \| P^n \right \| \leqslant K \Leftrightarrow \left | \mu (P) \right | \leqslant 1 \Leftrightarrow \left | 1 + r\lambda _j \right | \leqslant 1\]
\[-1 \leqslant 1 + r \lambda _j \leqslant 1\]
\[-2 \leqslant r \lambda _j \leqslant 0\ \ i\ \ \lambda _j < 0 \Rightarrow r \leqslant - \frac{2}{\lambda _j}\]
\(r = \frac{1}{2 sin^2 \frac{4(M-j)}{2M}} \leqslant \frac{1}{2m^2 \frac{\pi j}{2m}} \Rightarrow r \leqslant \frac{1}{2}\) - warunek stabilności
Metoda niejawna
\(\alpha = 1\ \ \ \ \ \mu = \frac{1}{1 - r - \lambda _j}\ \ \ \ \left | \mu _j \right | < 1\)
\(\forall r\) zachodzi stabilność
Metoda Cranka-Nicolsona
\(\alpha = \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \mu = \frac{1 + frac{1}{2}r \lambda _j}{1 - \frac{1}{2}r \lambda _j} \left | \mu _j \right | < 1\)
\(\forall r\) zachodzi stabilnpość