Rozważmy równanie poisonna
(1) \(-((a\tilde{u_x})_x + (c\tilde{u_y})_y) = g\ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,y) \in D \subset \mathbb{R}^2\) - obszar ograniczony z regularnym brzegiem
(2) \(\tilde{u} = g_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,y) \in \Gamma = \partial D\)
\(\ \)
\(H\) - przestrzeń Hilberta (przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym)
\((\ ,\cdot)\) - iloczyn skalarny
\(\left \| \right \|\) - norma
\(H_A \subset H, H_A\) - gęsta w \(H (\bar{H_A} = H)\)
\(A: H_A -> H\) odwzorowanie liniowe i ciągłe.
Definicja
\(A\) - dodatni \(\Leftrightarrow\ \forall y \in H_A (Ay,y) \leqslant 0\) dla \(y = 0, (Ay,\ y) = 0\)
\(A\) - określny dodatnio \(\Leftrightarrow\ \exists K > 0\ \forall y \in H_A (Ay,y) \leqslant K \left \| y \right \| ^ 2\)
\(A\) - symetryczny \(\Leftrightarrow\ \forall y,z \in H_A\ \ (Ay,z) = (y,Az)\)
Problem: \(f \subset H\)
rozwiązać równanie (1) \(Ay=f, y \in H_A\)
Twierdzenie 1:
\(A\) - dodatni \(\Rightarrow\) (1) ma conajwyżej 1 rozwiązanie
Twierdzenie 2 “\(\Rightarrow\)”:
\(A\) - dodatni, symetryczny, \(y_0\) - rozwiązanie (1) \(\Rightarrow\) \(y_0\) minimalizuje funkcjonał \(I(y) = (Ay,y) - z(f,y)\)
Twierdzenie 3 “\(\Leftarrow\)”:
\(A\) - dodatni, symetryczny, \(\bar{y} \in H_A\) minimalizuje \(I\) \(\Rightarrow\) \(\bar{y}\) spełnia (1)
Niech \(\bar{z}\) - rozwiązanie (2) min \({ I(y):\ y \in H_A}\)
Oznaczmy: \(\mu = I(\bar{z})\)
Zakładamy \(\exists \{z_k\} \subset H_A\) taki że \(\lim_{k \to \infty} I(z_k) = \mu\)
\(\{z_k\}\) - nazywamy ciągiem minimalizującym \(I\)
Twierdzenie 4:
\(A\) - symetryczny, dodatnio określony
Wtedy dowolny ciąg minimalizujący \(\{z_k\}\) jest zbieżny do rozwiązania problemu \(\bar{z}\)