deletions | additions       diff --git a/untitled.tex b/untitled.tex  index 071956c..c5bcfe2 100644  --- a/untitled.tex  +++ b/untitled.tex 
...
\section{Алгоритм Калмана} Фильтр Калмана~---эффективный рекурсивный фильтр, который оценивает состояние линейной динамической системы по серии неточных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана. \citet{Welch} \section{Постановка задачи} Обозначим за $x_k$ величину которую мы считываем с датчика и которую необходимо отфильтровать. Уравнение этой величины:\\ \begin{equation} x_{k+1} = x_{k} + a\cdot s\cdot tdt + \xi_k \end{equation} Где a,s – параметры, $\xi_k$ – случайная величина, внешние влияния на движение.\\ Поскольку у датчика есть погрешность, мы получаем координату с погрешностью $\eta_k$:\\ \begin{equation} z_{k} = x_{k} + \eta_k \end{equation} Далее нам нужно найти фильтрованную величину $x^{opt}$. Для этого воспользуемся формулой:\\ \begin{equation} x^{opt}_k = K\cdot z_{k+1} + (1-K)\cdot (x^{opt}_k + u_{k}) \end{equation} где $K_{k+1}$ - показания сенсора, $1-K_{k+1}$ - предсказанное значение. Необходимо выбрать коэффициент Калмана $K_{k+1}$ таким, чтобы $x^{opt}_{k+1} \approx x_{k+1}$. Для этого минимизируем ошибку:\\ \begin{equation} e_{k+1} = x_{k+1} - x^{opt}_{k+1} \end{equation} \begin{equation} e_{k+1} = (1-K_{k+1})\cdot (e_{k+1} + \xi_{k+1}) - K_{k+1}\cdot \eta_{k+1} \end{equation} Минимизируем среднее значение от квадрата ошибки:\\ \begin{equation} E(e^{2}_{k+1})\rightarrow min\\ \end{equation} В итоге Коэффициент Калмана примет вид:\\ \begin{equation} K_{k+1}=\frac{Ee^{2}_{k}+\sigma_{\xi}^{2}}{Ee^{2}_{k}+\sigma_{\xi}^{2}+\sigma_{\eta}^{2}}\\ \end{equation}\\ \section{Результаты}  Для тестирования фильтра были выбраны следующие значения параметров:\\  $N = 100$\\$a = 0.1$\\$s = -0.8$\\  И реализован пример на языке R:  \begin{verbatim}  N=100;  a = 0.1;  s = -0.8;  sigmaPsi=1;  sigmaEta=30;  k=1:N;  x=k;  x(1)=0;  z(1)=x(1)+normrnd(0,sigmaEta);  for t=1:(N-1)  x(t+1)=x(t)+a*s*t+normrnd(0,sigmaPsi);  z(t+1)=x(t+1)+normrnd(0,sigmaEta);  end;  xOpt(1)=z(1);  eOpt(1)=sigmaEta;  for t=1:(N-1)  eOpt(t+1)=sqrt((sigmaEta^2)*(eOpt(t)^2+sigmaPsi^2)/(sigmaEta^2+eOpt(t)^2+sigmaPsi^2));  K(t+1)=(eOpt(t+1))^2/sigmaEta^2;  xOpt(t+1)=(xOpt(t)+a*s*t)*(1-K(t+1))+K(t+1)*z(t+1);  end;  hold all;  plot(k,xOpt);  plot(k,z);  plot(k,x,'--','Color',[.1 .0 .0],'LineWidth',1);  title('Filtering results');  xlabel('Time (sec)');  ylabel('Coordinates (m)');  legend('Kalman filter','Sensor readings','Real values');  \end{verbatim}  Результат фильтрации представлен на графике (Рис.\ref{ris:img1}). Как мы видим, отфильтрованные данные имеют близкие значения к реальной координате $x_k$.