deletions | additions
diff --git a/untitled.tex b/untitled.tex
index 4a7d22c..c82b42c 100644
--- a/untitled.tex
+++ b/untitled.tex
...
\section{Симуляция работы
фильтра} фильтра
Предположим, что входной сигнал подчиняется следующему уравнению:
$x_{t} \begin{gather*}
\\
\bar x_{t} = \phi \cdot x_{t-1} + u \cdot t + \upsilon_{t} = 0.26 \cdot x_{t-1} + 0.8 \cdot t +
\upsilon_{t}$ \, \upsilon_{t} ,
\\
\end{gather*}
где $\upsilon_{t} \sim N(0,1)$ произвольной случайной величиной. Уравнение наблюдение будет выглядеть следующим образом:
$y_{t} \begin{gather*}
\\
\bar y_{t} = \gamma \cdot x_{t} + \epsilon_{t} = 0.72 \cdot x_{t} +
\epsilon_{t}$ \epsilon_{t} ,
\\
\end{gather*}
где $\epsilon_{t} \sim N(0,1)$ также случайная величина. Более того предполагается, что ошибки наблюдения и сигнала не коррелируемы ( т.е $E(\epsilon_{t-i} \upsilon_{t-j} , \forall i,j)$ ). По начальной оценке сигнала и дисперсии предсказания, мы можем просимулировать работу данной модели и посчитать результат фильтрации. Сначала необходимо посчитать усиление Калмана и предсказания и оценки дисперсий. Усиление Калмана представляет собой следующее выражение:
$K_{N} \begin{gather*}
\\
\bar K_{N} = \frac{\gamma \cdot S_{N}}{\gamma^2 \cdot S_{N} +
\sigma^2_{\epsilon}}$ \sigma^2_{\epsilon}}
\\
\end{gather*}
где $S_{N} $ дисперсия ошибки в предсказании $x_{N}$ в момент $N-1$, и определяется следующим выражением:
$S_{N} \begin{gather*}
\\
\bar S_{N} = \phi^2 \cdot p^e_{N-1} + \sigma^2_{\upsilon}
$ \\
\end{gather*}
Дисперсии оценки $p^e_{N}$ и дисперсия предсказания $p^p_{N+1}$ равняются:
$p^e_{N} \begin{gather*}
\\
\bar p^e_{N} = (1 - \gamma \cdot K_{N}) \cdot S_{N} = (1 - 0.72 \cdot K_{N}) \cdot S_{N}
$
$p^p_{N+1} \\
\bar p^p_{N+1} = p^e_{N} \cdot \phi^2 +
\sigma^2_{\upsilon}$ \sigma^2_{\upsilon}
\\
\end{gather*}
В начальный момент времени ( $t = 1 $ ) дисперсия предсказания равна дисперсии сигнала $p^p_{1} = 0.2 $, $S_{1} = 1$. Тогда:
$\sigma^2_{\upsilon} \begin{gather*}
\\
\bar \sigma^2_{\upsilon} = 5 \sigma^2_{\epsilon} = 0.2
$
$K_{1} \\
\bar K_{1} = \frac{0.72 \cdot 1}{0.72^2 \cdot 1 + 0.2} =
1,0022$
$p^e_{1} 1,0022
\\
\bar p^e_{1} = (1 - 0.72 \cdot 1.0022) \cdot 1 = 0,2783
$
$p^p_{2} \\
\bar p^p_{2} = 0,2783 \cdot 0.26^2 + 5 = 5,01881
$ \\
\end{gather*}
В момент времени $t=2$:
$K_{2} \begin{gather*}
\\
\bar K_{2} = \frac{0.72 \cdot 5,01881}{0.72^2 \cdot 5,01881 + 0.2} = 1,2897
$
$p^e_{2} \\
\bar p^e_{2} = (1 - 0.72 \cdot 1,2897) \cdot 5,01881 = 0,3582
$
$p^p_{3} \\
\bar p^p_{3} = 0,3582 \cdot 0.26^2 + 5 = 5,0242
$ \\
\end{gather*}
В момент времени $t=3$:
\begin{gather*}
\\
\bar $K_{3} = \frac{0.72 \cdot 5,0242}{0.72^2 \cdot 5,0242 + 0.2} = 1,2898 $
\\
\bar $p^e_{3} = (1 - 0.72 \cdot 1,2898) \cdot 5,0242 = 0,3582 $
\\
\bar $p^p_{4} = 0,3582 \cdot 0.26^2 + 5 = 5,0242 $
\\
\end{gather*}
После нескольких шагов, Усиление Калмана, Дисперсия Предсказания и Дисперсия Оценки сводиться к следующим значениям:
\begin{gather*}
\\
\bar $ \overline{k} = 0,7913 \quad \quad \overline{p}^ p = 1,747 \quad \quad \overline{p}^ e = 0,2198$
\\
\end{gather*}
