Чтобы не усложнять рассмотрение дополнительными эффектами будем рассматривать химически однородную жидкость.
Несжимаемость означает независимость удельного объёма жидкости от действующего на неё давления. Такое приближение верно для движений, чья скорость много меньше скорости звука. Это объясняется тем, что относительное изменение плотности для адиабатических движений имеет такой же порядок как отношение возмущающей скорости к скорости звука: \((\rho-\rho_0) / \rho_0 \sim v/c\). Для воды \(c=1500 \;м/с\). Расматривая движения жидкости со скоростями много меньших \(c\), можно считать, что уравнение состояния не включает в себя давление, и плотность зависит лишь от температуры \[\label{eq_state_equation} \rho = \rho(T)\]
В каких случаях для несжимаемой жидкости выполняется условие равенства нулю дивергенции скорости? \[\label{eq_div} {\operatorname{div}\,}\boldsymbol{u} \equiv 0\] Рассмотрим для этого уравнение неразрывности, которое выполняется для любой сплошной нерелятисткой жидкости: \[\label{eq_continuity} \frac{d\rho}{dt} + \rho \, {\operatorname{div}\,}\boldsymbol u = 0\] Подставив в уравнение неразрывности \eqref{eq_continuity} условие нулевой дивергенции \eqref{eq_div} и получим, что \[\label{eq_density_conservation} \frac{d\rho}{dt} = 0\] Это означает, что плотность переносится вместе с частицами воды и удельный объём выделенного элемента воды не меняется со временем. Но в несжимаемой жидкости плотность напрямую связана с температурой, а значит уравнение сохранения плотности влечёт за собой сохранение температуры, подставляя \eqref{eq_state_equation} в \eqref{eq_density_conservation}: \[\label{eq_temperature_conservation} \frac{d\rho}{dt} = \frac{d\rho}{dT}\frac{dT}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dT}{dt} = 0\] Это означает, что температура переносится вместе с частицами воды и температура выделенного элемента воды не меняется со временем. Получется, нулевая дивергенция несжимаемой жидкости несовместна с теплообменом между элементами жидкости, какой бы большой ни была разница между температурами соседних элементов. Тепловое равновесие в такой жидкости не может устанавливаться никаким образом.