Фотону, возникающему в центре Солнца в результате термоядерных реакций, необходимо очень много времени, чтобы добраться до поверхности, т.к. фотон постоянно “сталкивается” с атомными ядрами внутри Солнца. Зная скорость света (\(300 000\) km s\(^{-1}\)), площадь поперечного сечения рассеивающих частиц и их массу (\(\sigma=2,4 \cdot 10^{-30}\)m\(^2\), \(m_\mathrm{p}=1,67\cdot10^{-27}\)kg) и предполагая (ложно),что Солнце имеет однородную плотность, сколько времени необходимо, чтобы фотон достиг поверхности Солнца с вероятностью \(p=1\%\)? Для получения максимальных баллов достаточно составить правильное уравнение, можно использовать предположение одномерности.
Чтобы покинуть Солнце фотон должен пройти цилиндр, основание которого определено поперечным сечением протона и длина которого равна радиусу Солнца. Объем соответствующего цилиндра равен \(V=\sigma R_\odot\). Всего в Солнце подходящих для столкновения частиц \(N_k=M_\odot/m_p=1,2\cdot10^{57}\), из которых \(N=N_k\frac{V_\odot}{V}=\frac{M_\odot}{m_p}\frac{3V}{4\pi R_\odot^3}=1,4\cdot10^{9}\).
Когда фотон покидает Солнце, то он сталкивается с множеством частиц и при каждом столкновении в одномерном случае у него \(50\%\) вероятность отлететь в сторону поверхности. Статистически это означает что отражений наверх должно быть в \(N\) раз больше, чем отражений в любую сторону. Бернули создал соответствующее статистическое распределения для описания такой ситуации. \[C_{K/2+N}^{K}0.5^K=p,\] где \(K\) описывает полное число столкновений. Решение данного уравнения практически невозможно без использования численных методов (используя приближение Стирлинга \(\log x!=x(\log x -1)\) и в свою очередь делая упрощения можно дать оценку значению \(K\)). Соответственно, окончательное уравнение для времени выхода фотона: \(t=\frac{K}{c}\frac{2R_\odot}{N}\).