On estime alors, pour \(1\leq k \leq K\) et \(1\leq l \leq L\),
-\(\mathbb{P}(X =a_{k} et Y = b_{l})\) par \(N_{kl}/n\)
-\(\mathbb{P}(X =a_{k}) \mathbb{P}(Y = b_{l})\) par \(N_{k\cdot}N_{\cdot l}/n \)
En s’inspirant des paragraphes précédents, on obtient la statistique de test
\[I_{n}=n \sum_{k=1}^{K} \sum_{l=1}^{L} \frac{(\frac{N_{kl}}{n}-\frac{N_{k\cdot }N_{\cdot l}}{n^{2}})^{2}}{\frac{N_{k\cdot }N_{\cdot l}}{n^{2}}}= \sum_{k=1}^{K} \sum_{l=1}^{L} \frac{(N_{kl}-\frac{N_{k\cdot }N_{\cdot l}}{n})^{2}}{\frac{N_{k\cdot }N_{\cdot l}}{n}}\]
On suppose que pour tous \(1\leq k \leq K\) et \(1\leq l \leq L\), \(\mathbb{P}(X =a_{k})>0\) et \(\mathbb{P}(Y =b_{l})>0\). Alors, sous \(H_{0}\),

\[I_{n}\xrightarrow[ n \to\infty ]{\mathscr{L}}\chi ^{2}((K-1)(L-1))\]

Dans notre projet, on s’intéresse aux tests d’association pour les tables de contingences de type \(2\times 2\), c’est le cas de \(L=K=2\). Donc, on peut simplifier le tableau de contingence ci-dessous