this is for holding javascript data
Radovan Omorjan added file seminarskicsv.tex
over 7 years ago
Commit id: 85076593615b90764f98b709f9806ecd9253df0a
deletions | additions
diff --git a/seminarskicsv.tex b/seminarskicsv.tex
new file mode 100644
index 0000000..d18ce61
--- /dev/null
+++ b/seminarskicsv.tex
...
%\batchmode
%\makeatletter
%\def\input@path{{\string"C:/Users/omorr/Dropbox/tfuns/Studenti/Katona Zoltan/\string"/}}
%\makeatother
\documentclass[11pt]{article}\usepackage[]{graphicx}\usepackage[]{color}
%% maxwidth is the original width if it is less than linewidth
%% otherwise use linewidth (to make sure the graphics do not exceed the margin)
\makeatletter
\def\maxwidth{ %
\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth
\linewidth
\else
\Gin@nat@width
\fi
}
\makeatother
\definecolor{fgcolor}{rgb}{0.345, 0.345, 0.345}
\newcommand{\hlnum}[1]{\textcolor[rgb]{0.686,0.059,0.569}{#1}}%
\newcommand{\hlstr}[1]{\textcolor[rgb]{0.192,0.494,0.8}{#1}}%
\newcommand{\hlcom}[1]{\textcolor[rgb]{0.678,0.584,0.686}{\textit{#1}}}%
\newcommand{\hlopt}[1]{\textcolor[rgb]{0,0,0}{#1}}%
\newcommand{\hlstd}[1]{\textcolor[rgb]{0.345,0.345,0.345}{#1}}%
\newcommand{\hlkwa}[1]{\textcolor[rgb]{0.161,0.373,0.58}{\textbf{#1}}}%
\newcommand{\hlkwb}[1]{\textcolor[rgb]{0.69,0.353,0.396}{#1}}%
\newcommand{\hlkwc}[1]{\textcolor[rgb]{0.333,0.667,0.333}{#1}}%
\newcommand{\hlkwd}[1]{\textcolor[rgb]{0.737,0.353,0.396}{\textbf{#1}}}%
\usepackage{framed}
\makeatletter
\newenvironment{kframe}{%
\def\at@end@of@kframe{}%
\ifinner\ifhmode%
\def\at@end@of@kframe{\end{minipage}}%
\begin{minipage}{\columnwidth}%
\fi\fi%
\def\FrameCommand##1{\hskip\@totalleftmargin \hskip-\fboxsep
\colorbox{shadecolor}{##1}\hskip-\fboxsep
% There is no \\@totalrightmargin, so:
\hskip-\linewidth \hskip-\@totalleftmargin \hskip\columnwidth}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width
\@totalleftmargin\z@ \linewidth\hsize
\@setminipage}}%
{\par\unskip\endMakeFramed%
\at@end@of@kframe}
\makeatother
\definecolor{shadecolor}{rgb}{.97, .97, .97}
\definecolor{messagecolor}{rgb}{0, 0, 0}
\definecolor{warningcolor}{rgb}{1, 0, 1}
\definecolor{errorcolor}{rgb}{1, 0, 0}
\newenvironment{knitrout}{}{} % an empty environment to be redefined in TeX
\usepackage{alltt}
\renewcommand{\sfdefault}{lmss}
\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{verbose,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2.5cm,rmargin=2cm}
\setcounter{secnumdepth}{5}
\setcounter{tocdepth}{5}
\usepackage{float}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\providecommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\@}
%% Because html converters don't know tabularnewline
\providecommand{\tabularnewline}{\\}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\numberwithin{equation}{section}
\numberwithin{figure}{section}
\numberwithin{table}{section}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[serbian]{babel}
\usepackage{babelbib}
\usepackage[sort&compress,numbers]{natbib}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\paragraph}
{\normalfont\normalsize\bfseries}{\theparagraph}{1em}{}
\titlespacing*{\paragraph}
{0pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}
\usepackage{mdwlist}
\let\stditemize\itemize
\let\endstditemize\enditemize
\let\itemize\undefined
\makecompactlist{itemize}{stditemize}
\usepackage{ifxetex,ifluatex}
\usepackage{fixltx2e} % provides \textsubscript
% use upquote if available, for straight quotes in verbatim environments
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
% use microtype if available
\IfFileExists{microtype.sty}{%
\usepackage{microtype}
\UseMicrotypeSet[protrusion]{basicmath} % disable protrusion for tt fonts
}{}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyvrb}
\newcommand{\VerbBar}{|}
\newcommand{\VERB}{\Verb[commandchars=\\\{\}]}
\DefineVerbatimEnvironment{Highlighting}{Verbatim}{fontsize=\small,commandchars=\\\{\}}
% Add ',fontsize=\small' for more characters per line
\usepackage{framed}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{248,248,248}
\newenvironment{Shaded}{\begin{snugshade}}{\end{snugshade}}
\newcommand{\KeywordTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.13,0.29,0.53}{\textbf{{#1}}}}
\newcommand{\DataTypeTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.13,0.29,0.53}{{#1}}}
\newcommand{\DecValTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.81}{{#1}}}
\newcommand{\BaseNTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.81}{{#1}}}
\newcommand{\FloatTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.81}{{#1}}}
\newcommand{\CharTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.31,0.60,0.02}{{#1}}}
\newcommand{\StringTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.31,0.60,0.02}{{#1}}}
\newcommand{\CommentTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{\textit{{#1}}}}
\newcommand{\OtherTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.56,0.35,0.01}{{#1}}}
\newcommand{\AlertTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.94,0.16,0.16}{{#1}}}
\newcommand{\FunctionTok}[1]{\textcolor[rgb]{0.00,0.00,0.00}{{#1}}}
\newcommand{\RegionMarkerTok}[1]{{#1}}
\newcommand{\ErrorTok}[1]{\textbf{{#1}}}
\newcommand{\NormalTok}[1]{{#1}}
\usepackage{longtable}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\makeatletter
\def\maxwidth{\ifdim\Gin@nat@width>\linewidth\linewidth\else\Gin@nat@width\fi}
\def\maxheight{\ifdim\Gin@nat@height>\textheight\textheight\else\Gin@nat@height\fi}
\makeatother
% Scale images if necessary, so that they will not overflow the page
% margins by default, and it is still possible to overwrite the defaults
% using explicit options in \includegraphics[width, height, ...]{}
\setkeys{Gin}{width=\maxwidth,height=\maxheight,keepaspectratio}
\ifxetex
\usepackage[setpagesize=false, % page size defined by xetex
unicode=false, % unicode breaks when used with xetex
xetex]{hyperref}
\else
\usepackage[unicode=true]{hyperref}
\fi
\hypersetup{breaklinks=true,
bookmarks=true,
pdfauthor={Zoltan Katona},
%pdftitle={Statistička kontrola kvaliteta i R},
colorlinks=true,
citecolor=blue,
urlcolor=blue,
linkcolor=magenta,
pdfborder={0 0 0}}
\urlstyle{same} % don't use monospace font for urls
\setlength{\emergencystretch}{3em} % prevent overfull lines
%%% Use protect on footnotes to avoid problems with footnotes in titles
\let\rmarkdownfootnote\footnote%
\def\footnote{\protect\rmarkdownfootnote}
%%% Change title format to be more compact
\usepackage{titling}
% Create subtitle command for use in maketitle
\newcommand{\subtitle}[1]{
\posttitle{
\begin{center}\large#1\end{center}
}
}
\makeatother
\IfFileExists{upquote.sty}{\usepackage{upquote}}{}
\begin{document}
\begin{titlepage}
\begin{center}
\vspace{1cm}
\begin{figure} [h]
\centering
\includegraphics{logotf.png}
\end{figure}
\large{\textbf{PREHRAMBENO INŽENJERSTVO}}
\vspace{1cm}
\large NASTAVNI PREDMET:\\
\large Verovatnoća i statistika za inženjere
\vspace{3cm}
\textbf{SEMINARSKI RAD}
\vspace{3cm}
\textbf{\Large \vspace{0.4cm} PRIMENA PROGRAMSKOG
JEZIKA R U
STATISTIČKOJ KONTROLI KVALITETA}
\vfill
\vspace{0.8cm}
Student: Zoltan Katona\\ Broj indeksa: 29/15-D\\
\vspace{1cm}
Maj, 2016
\end{center}
\end{titlepage}
\tableofcontents{}
\pagebreak{}
\section{Uvod }
Osnovni zadatak proizvođača je proizvodnja proizvoda zadatog kvaliteta
koji zadovoljavaju zahteve potrošača. Kompanije zbog toga moraju sprovoditi
različite sisteme kontrolisanja da bi osigurali da proizvodi ispunjavaju
propisane zahteve.
Tradicionalni način razmišljanja u kontroli kvaliteta hrane vodi strategiji
otkrivanja grešaka i nedostataka gotovog proizvoda, u kojoj se gotov
proizvod pregleda pri završetku procesa proizvodnje u cilju razdvajanja
zadovoljavajućih (u skladu sa specifikacijom) i nezadovoljavajućih
(nije u skladu sa specifikacijom) proizvoda. Na ovaj način nezadovoljavajući
proizvodi se otkrivaju suviše kasno u proizvodnom procesu, te je ova
tehnika kontrole kvaliteta neekonomična, troše se resursi u proizvodnju
proizvoda nezadovoljavajućeg kvaliteta i ne obuhvata objašnjenja nastanka
varijacija, niti unapređenja u cilju postizanja optimalnih ciljeva.
Savremeni pristup je strategija prevencije, odnosno predupređivanje
proizvodnje proizvoda nezadovoljavajućeg kvaliteta. Ova strategija
je bazirana na poznavanju procesa, uzroka varijacija, načina smanjenja
varijacija i postizanja konzistentnog, ciljanog učinka.
Glavni uzroci nastanka proizvoda nezadovoljavajućeg kvaliteta su poremećaji
u proizvodnom procesu. Merenjem i analizom poremećaja i unapređenjem
proizvodnog procesa primenom mera koje su rezultat zaključaka analize,
broj neadekvatnih proizvoda se mogu svesti na minimum. Statističke
tehnike, uključujući i statističku kontrolu procesa, predsavljaju
glavni alat kontrole kvaliteta i unapređenja procesa. Statistička
kontrola procesa omogućava smanjenje poremećaja u procesu i postizanje
stabilnosti procesa. Smanjenje poremećaja procesa dovodi do smanjenja
nezadovoljavajućih proizvoda, smanjenja dorade proizvoda, smanjenja
troškova, unapređenja kvaliteta procesa i proizvoda.
U ovom radu će se prikazati primena statističkih tehnika pomoću programskog
jezika R u statističkoj kontroli kvaliteta u proizvodnom procesu proizvodnje
penastih štanglica.
\pagebreak{}
\section{Statistička kontrola kvaliteta }
Statistička kontrola kvaliteta predstavlja primenu statističkih metoda
i tehnika. Obuhvata analizu prethodno prikupljenih podataka proizvodnog
procesa, prepoznavanje uzroka nastanka poremećaja i unapređenje proizvodnog
procesa na bazi statističkih tj. numeričkih podataka i preduzimanje
određenih mera u cilju sprečavanja nastanka poremećaja primenjujući
statističke metode i tehnike statističke kontrole kvaliteta.
Koncept statističke kontrole kvaliteta razvijen je 1920-ih od strane
Walter Shewhart-a, predstavljanjem kontrolnih karata. Tokom 1930-ih
na osnovu Shewhartovih radova je razvijen metod statističke kontrole
prijema robe. Međutim sve do završetka II Svetskog rata značaj statističkog
pristupa kontroli kvaliteta nije prepoznat od strane industrije. Krajem
1940-ih, usvojivši Shewhartov rad, W. Edwards Deming je uvideo da
statističke tehnike, kao što su kontrolne karte mogu biti uspešno
primenjene u proizvodnoj industriji \cite{Montgomery2009,lim2014statistical}.
Tokom 1950-ih i 1960-ih Deming, Juran, Ishikawa i mnogi drugi su razvijali
i konstantno unapređivali koncept statističke kontrole kvaliteta koja
je uspešno primenjivana u Japanskoj industriji. Od 1980-ih kao odgovor
japanskoj konkurenciji statistička kontrola kvaliteta se naglo širi
u Severnoj Americi najpre u auto industriji, a zatim i u drugim granama.
Motorola 1987 godine predstavlja princip six-sigma koja se 1997 godine
prihvata i u drugim industrijskim granama. Filozofija Six sigme je
unapređenje proizvodnog procesa u cilju postizanja stabilnosti procesa
koji doprinosi smanjenju varijacija i rezultuje ponašanjem procesa
koje može da se predvidi. Unapređenja mogu biti postignuta identifikacijom
kontrolnih karakteristika koje mogu da se izmere, analiziraju i kontrolišu.
Statistička kontrola kvaliteta obuhvata skup statističkih alata i
može se podeliti u tri kategorije:
\begin{enumerate}
\item \emph{Deskriptivna statistika} koja se koristi za opisivanje karakteristike
kvaliteta, aritmetičku sredinu, standardno odstupanje, opseg i raspodelu
podataka,
\item \emph{Statistička kontrola procesa}, koja obuhvata skup statističkih
metoda i tehnika na osnovu koje se odlučuje da li proces ima za rezultat
proizvode sa karakteristikama koje spadaju unutar zahtevanog opsege,
tj. da li je proces pod kontrolom, i
\item \emph{Kontrola prijema robe}, gde se na osnovu inspekcije slučajno
izabranog uzorka donosi odluka o prihvatanju celine na osnovu rezultata
\end{enumerate}
\subsection{Deskriptivna statistika}
Statistička kontrola kvaliteta industrijskih proizvoda primenjuje
statističke kriterijume i metode \cite{Omorjan2009}. Statistika je
nauka analize podataka i izvođenja zaključaka, uzimajući u obzir varijacije,
pomoću tehnika baziranih na analizi podataka uzorka iz populacije,
korisnih za donošenje odluka vezanih za proces \cite{Montgomery2009}.
Statistika se često posmatra kao primenjena teorija verovatnoće pri
čemu procenjivanje parametara odabrane raspodele neke slučajne veličine,
na osnovu raspoloživih eksperimentalnih podataka, predstavlja jedan
od osnovnih zadataka statistike.
\subsubsection{Statistička analiza}
Zadatak statističke analize je da na osnovu podataka iz uzorka izvede
neke zaključke o osnovnom skupu. Faze statističke analize su: statističko
posmatranje (plansko prikupljanje podataka), sređivanje podataka (tabelarno
i grafičko prikazivanje), obrada i analiza rezultata (matematička
obrada podataka i njihovo tumačenje) \cite{Omorjan2009}.
Osnovni zadaci statistike su da se definiše raspodela verovatnoće
ili gustina raspodele posmatrane karakteristike u proizvodnom procesu,
izračunaju tačkaste i intervalne ocene parametara raspodele i da na
osnovu ovih podataka sa određenom pouzdanošću definišu kvantitativne
karakteristike procesa.
U cilju opisa proizvodnog procesa, odnosno numeričkog izražavanja
prisutnih varijacija u njemu se koriste različite statističke tehnike.
Deskriptivne statističke tehnike kao što su numeričko, tabelarno i
grafičko prikazivanje sumiranih podataka služe za jednostavno prikazivanje
informacija dobijenih iz uzoraka, dok tehnike statističkog zaključivanja
imaju za cilj da se na osnovu podataka deskriptivne statističke tehnike
donesu zaključci o populaciji iz kojih su uzeti uzorci. Uopšteno termin
statistika se korisisti kao kvantifikacija svojstva uzorka, dok je
parametar karakteristika populacije.
Ukoliko su uzorci uzeti iz proizvodnog procesa reprezentativni uzorci,
ne razlikuju se značajno od strukture osnovnog skupa, odnosno da su
slučajni uzorci i da je šansa pojavljivanja njegovih elemenata u populaciji
jednak i nezavisan od ostalih, tada se na osnovu statističkih obeležja
uzorka mogu doneti zaključci o osnovnom skupu, u ovom slučaju o proizvodnom
procesu tj. moguće je definisati parametre teorijske raspodele. Ocena
parametra teorijske raspodele je funkcija uzorka, za koju se uopšte
koristi termin statistika ili uzorački parametar \cite{Omorjan2009}.
\paragraph{Tačkaste ocene parametara}
Statistika koja ima konkretnu brojčanu vrednost naziva se tačkasta
ocena za nepoznati parametar teorijske raspodele.
Tačkaste ocene u slučaju populacije sa normalnom raspodelom su uzoračka
srednja vrednost i uzoračka disperzija.
~
\textbf{Mere centralne tendencije}
~
Mere centralne tendencije su mod, medijana i aritmetička sredina koje
predstavljaju središnje, najčešće i prosečne vrednosti uzorka. U nekim
naučnim disciplinama se kao mere centralne tendencije koriste još
geometrijska sredina i harmonijska sredina.
Za uzorak $x_{1,}x_{2,}$..., $x_{n}$ obima $n$ aritmetička sredina
je:
\begin{equation}
\overline{x}=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}}\label{eq:aritmeticka sredina}
\end{equation}
Kao tačkasta ocena srednje vrednosti populacije uzima se aritmetička
sredina uzorka, pošto ona prema metodi maksimalne verovatnoće predstavlja
najverodostojniju ocenu srednje vrednosti populacije i generalno se
usvaja kao uzoračka srednja vrednost, bez obzira na tip raspodele,
odnosno $\mu_{\bar{x}}=\mu$ sa standardnim odstupanjem $\sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}$
koja se još naziva i standardna greška statistike.
Pošto je uzoračka srednja vrednost slučajna veličina, ona ima neku
svoju raspodelu koja ne zavisi od zakona raspodele slučajne promenljive.
U slučaju uzoraka obima $n$ uzetih iz bilo kakve raspodele se srednjom
vrednošću $\mu_{x}$ i standardnim odstupanjem $\sigma_{x}$, raspodela
uzoračke srednje vrednosti teži normalnoj raspodeli $\mathcal{N}\left(\mu_{x},\sigma_{x}/\sqrt{n}\right)$,
kada obim uzorka $n$ neograničeno raste \cite{Omorjan2009}.
~
\textbf{Mere varijacije}
~
Varijacija je rasipanje neke karakteristike oko srednje vrednosti,
odnosno pokazatelj kako se vrednosti grupišu oko centralne, srednje
vrednosti. Postoje različiti pokazatelji mere varijacija, kao što
su rang (engl. \textit{range}) ili interval varijacije, srednje apsolutno
odstupanje, disperzija (engl. \textit{variance}), standardno odstupanje
(engl. \textit{standard deviation}). Disperzija je najšire prihvaćeni
pokazatelj varijacije koja predstavlja srednju vrednost kvadrata odstupanja
vrednosti od srednje vrednosti.
Za uzorak $x_{1,}x_{2,}$..., $x_{n}$ obima $n$ disperzija uzorka
je:
\[
s^{2}=\sigma_{x}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}
\]
Standardno odstupanje je pozitivna vrednost kvadratnog korena disperzije:
\[
s=\sigma_{x}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}}
\]
Iako je prema metodu maksimalne verovatnoće najverodostojnija ocena
disperzije srednji kvadrat odstupanja pojedinih vrednosti iz uzorka
od aritmetičke sredine uzorka, ona je pristrasna, odnosno necentrirana,
te za tačkastu ocenu disprezije, odnosno za uzoračku disperziju se
koristi statistika, tkz. korigovana disperzija $s^{2}$:
\begin{equation}
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\label{eq:korigovanadisp}
\end{equation}
gde vrednost $n-1$ predstavlja broj stepeni slobode $d=n-k$. Broj
stepeni slobode $d$ je jednak razlici između obima uzorka $n$ i
broja prisutnih veza $k$ između podataka, odnosno broja ostalih parametara
koji figurišu u proračunu posmatranog parametra.
U statističkoj kontroli procesa zbog jednostavnosti izračunavanja
za ocenu standardne devijacije populacije u slučaju kada je broj uzoraka
$n\leqslant6$, koristi se metod raspona (engl.\textit{ range method}),
gde je:
\begin{equation}
R=max(x_{i})-min(x_{i})=x_{max}-x_{min}\label{eq:range}
\end{equation}
a $W=R/\sigma$ relativni raspon. Srednja vrednost relativnog raspona
$W$ je konstanta $d_{2}$ i zavisi od obima uzoraka, te je tačkasta
ocena standardne devijacije populacije sa normalnom raspodelom:
\begin{equation}
\hat{\sigma}=\frac{R}{d_{2}}\label{eq:Rd2}
\end{equation}
Kao nepristrasna ocena standardne devijacije u slučaju kada je broj
uzoraka $2\leqslant n\leqslant25$, koristi se uzoračko standardno
odstupanje računata kao:
\begin{equation}
\hat{\sigma}=\frac{s}{c_{4}}\label{eq:sc4}
\end{equation}
gde su $c_{4}$ i $d_{2}$ tabelarne vrednosti koje zavise od broja
uzoraka \cite{Montgomery2009}.
Pošto je uzoračka disperzija slučajna veličina, ona ima neku svoju
raspodelu. Ukoliko su uzorci obima $n$ uzeti iz populacije sa normalnom
raspodelom tada važi da statistika
\[
\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
\]
ima $\chi^{2}$ raspodelu sa brojem stepeni slodbode $d=n-1$, jednakom
broju stepeni slobode sa kojim se računa vrednost statistike $S^{2}$
kao ocena disperzije populacije, $\sigma^{2}$.
\paragraph{Intervalne ocene parametara}
Tačkaste ocene parametara kao slučajne promenljive ne daju potpunu
informaciju o karakteristikama populacije, one se rasipaju oko neke
srednje vrednosti, te je potrebno definisati određeni interval koji
će sa određenom verovatnoćom sadržati tačnu vrednost parametra. Interval
nazivamo intervalom poverenja ili pouzdanosti, sa nivoom pouzdanosti
ili poverenja $\gamma$ ukoliko sa unapred zadatom verovatnoćom $\gamma$
sadrži tačnu vrednost parametra, a verovatnoća $\alpha=1-\gamma$
se naziva rizik, koji predstavlja verovatnoću da tačna vrednost parametra
bude izvan procenjenog intervala.
~
\textbf{Intervalna ocena srednje vrednosti}
~
\textbf{Pri poznatoj disperziji populacije} sa normalnom raspodelom
$\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ uzoračka srednja vrednost ima raspodelu
$\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$ a interval pouzdanosti
sa nivoom pouzdanosti $\gamma=1-\alpha$, za srednju vrednost populacije
$\mu$ je:
\[
\mu=\overline{x}\pm z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
gde $z_{\alpha}$ predstavlja koeficijent pouzdanosti.
U slučaju velikih uzoraka gde je $n\geqslant30$ primenljiva je aproksimacija
da je:
\[
s^{2}=(\sigma^{2})^{*}=\sigma^{2}
\]
te se \textbf{za veće uzorke iz populacije sa nepoznatom disperzijom}
bez obzira na tip raspodele interval poverenja može aproksimirati
intervalom:
\begin{equation}
\mu=\overline{x}\pm z_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\label{eq:intocenasrednjvr}
\end{equation}
\textbf{Pri nepoznatoj disperziji populacije} i ako uzorak nije velik
$n<30$ određivanje intervala pouzdanosti srednje vrednosti populacije
sa normalnom raspodelom $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ se zasniva na Studentovoj
ili $t-$raspodeli. Tada statistika
\[
T=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-\mu}{S_{\overline{x}}}
\]
gde $S$ dobijen iz korigovane uzoračke disperzije sa brojem stepeni
slobode $n-1$ ima Studentovu ili $t$-raspodelu sa brojem stepeni
slobode jednak broju stepeni slobode sa kojim je računata ocena disperzije,
odnosno uzoračka disperzija. Prema tome interval poverenja za srednju
vrednost normalne raspodele bez poznate disperzije populacije, $\mu$dobijamo:
\begin{equation}
\mu=\overline{x}\pm t_{d,\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\label{eq:traspodela}
\end{equation}
gde je $t_{d,\alpha}$ koeficijent pouzdanosti.
~
\textbf{Intervalne ocene disperzije}
~
Ukoliko se uzoračka disperzija $s^{2}$ računa sa brojem stepeni slobode
$d=n-1$ iz uzorka obima $n$ uzete iz populacije sa normalnom raspodelom,
tada statistika
\[
\chi^{2}=\frac{dS^{2}}{\sigma^{2}},\;d=n-1
\]
ima $\chi^{2}$ raspodelu sa $d$ stepeni slobode, jednak broju stepeni
slobode sa kojim je izračunata uzoračka disperzija. Prema tome interval
pouzdanosti za disperziju sa nivoom pouzdanosti $\gamma=1-\alpha$:
\begin{equation}
\frac{ds^{2}}{\chi_{d,\alpha/2}^{2}}<\sigma^{2}<\frac{ds^{2}}{\chi_{d,1-\alpha/2}^{2}}\label{eq:hikvadrat}
\end{equation}
gde su $\chi_{d,1-\alpha/2}^{2},\chi_{d,\alpha/2}^{2}$ koeficijenti
poverenja \cite{Montgomery2009,Omorjan2009}.
\subsubsection{Testiranje statističkih hipoteza}
Tačkaste i intervalne ocene parametara, dobijene na osnovu raspoloživog
slučajnog uzorka nisu dovoljne za donošenje zaključaka o parametrima
osnovnog skupa, već je potrebno testirati postavljenu pretpostavku
o vrednostima parametara odnosno raspodeli, da li su one prihvatljive
ili ne. Statistička hipoteza je pretpostavka, a postupak provere je
statistički test, kojim se hipoteza prihvata ili odbacuje. Razlikuju
se parametarske hipoteze koje predstavljaju pretpostavku o vrednosti
nekog parametra poznate raspodele i neparametarske hipoteze koje predstavljaju
pretpostavku o tipu raspodele osnovnog skupa.
Hipoteza koja se proverava naziva se nulta hipoteza $H_{0}$, a hipoteza
koja je tačna kada je nulta hipoteza odbačena se naziva alternativna
hipoteza $H_{1}$. Testiranje statističke hipoteze se sastoji od izbora
odgovarajuće funkcije uzorka, test statistike, izračunavanja njene
vrednosti iz uzorka i poređenja sa kritičnom vrednošću odnosno provere
da li se ona nalazi u oblasti prihvatanja hipoteze (nulta hipoteza
prihvata) ili se nalazi u kritičnoj oblasti (nulta hipoteza se odbacuje).
Prilikom testiranja hipoteze postoji rizik da je rezultat testa pogrešan,
pri čemu je greška prve vrste (rizik prve vrste, $\alpha$) kada je
tačna hipoteza $H_{0}$ odbačena jer je test statistika u kritičnoj
oblasti a greška druge vrste (rizik druge vrste, $\beta$) kada je
hipoteza $H_{0}$ pogrešna ali prihvaćena jer je test statistika u
oblasti prihvatanja hipoteze.
Uobičajena procedura pri testiranju hipoteza je da se kritične oblasti
formiraju na osnovu zadate verovatnoće greške prve vrste $\alpha$,
što u stvari predstavlja proveru statističke značajnosti uočenog odstupanja
uzoračkog od pretpostavljenog parametra populacije. Ukoliko uočeno
odstupanje prevazilazi kritičnu granicu smatramo ga statistički značajnim
i odbacujemo hipotezu sa nivoom značajnosti testa $\alpha$, odnosno
sa rizikom $\alpha$ da smo učinili grešku. Pri čemu se kaže da je
uočeno odstupanje u slučaju odbacivanja $H_{0}$ statističko značajno
pri $\alpha=5\%$, a statističko vrlo značajno pri $\alpha=1\%$.
Alternativni način za testiranja hipoteza je da se umesto poređenja
uzoračkog parametra sa kritičnom vrednošću, poredi verovatnoća $p$određena
iz raspodele test statistike sa usvojenom vrednošću $\alpha$, pri
čemu se nulta hipoteza prihvata kada je $p>\alpha$, a odbacuje kada
je $p<\alpha$. Verovatnoća $p$se naziva $p-vrednost$ (engl. $p-value$)
i predstavlja najniži nivo značajnosti koji će dovesti do odbacivanja
nulte hipoteze \cite{Montgomery2009}.
\subsubsection{Grafičko prikazivanje karakteristika uzorka }
\textbf{Histogram }je jedan od najčešće korišćenih grafičkih načina
prikazivanja dobijenih informacija iz uzorka. U slučaju neprekidnih
slučajnih promenljivih, kao što je slučaj kod kontrole mase gotovog
proizvoda kao statističkog obeležja interval kome pripadaju sve vrednosti
iz uzorka se dele na podintervale, odnosno klase, jednake širine.
Ovako intervalno sređeni podaci se prikazuju grafički u vidu niza
pravougaonika čije su osnove podintervali, a visine takve da su im
površine jednake relativnim frekvencama. Histogram prikazuje empirijsku
raspodelu, odnosno daje približnu sliku raspodele statističkog obeležja
\cite{Omorjan2009}.
\textbf{Kumulativni histogram} služi za kumulativni prikaz posmatranog
obeležja, gde visine pravougaonika predstavljaju ukupni broj obeležja
koji su manji ili jednaki gornjoj granici pravougaonika \cite{Montgomery2009}.
Kumulativni histogram u slučaju diskretnih promenljivih daje empirijsku
funkciju raspodele, odnosno aproksimaciju teorijske funkcije raspodele
gde je aproksimacija utoliko bolja ukoliko je obim uzoraka veći \cite{Omorjan2009}.
\textbf{Boxplot }služi za grafičko sažimanje raspodele neprekidnih
pomenljivih. Prikazuje se u obliku pravougaonika, slika \ref{fig:Boxplot}
čije stranice predstavljaju prvi i treći kvartil sa linijom unutar
pravougaonika koja obeležava drugi kvartil odnosno medijanu. Linije
izvan pravougaonika sa obe strane predstavljaju najveću i najmanju
vrednost u seriji podataka između donje i gornje unutrašnje granice.
Vrednosti koje se nalaze izvan unutrašnjih granica se nazivaju atipične
(engl. \textit{outliers}), a vrednosti izvan spoljašnje granice ekstremne.
Boxplot je naročito koristan prilikom upoređivanja prisutnih varijacija
unutar i između grupa \cite{Montgomery2009}.
\begin{figure}[h]
\noindent \begin{centering}
\includegraphics[width=10cm,height=30cm]{0C__Users_omorr_Dropbox_tfuns_Studenti_Katona_Zoltan_boxplot.png}
\par\end{centering}
\begin{centering}
\caption{{\footnotesize{}Boxplot\label{fig:Boxplot}}}
\par\end{centering}
\end{figure}
\subsection{Statistička kontrola procesa }
Statistička kontrola procesa je metod za praćenje i kontrolu procesa
prikupljanjem podataka o karakteristikama proizvoda, analizu tih podataka
na bazi statističkih izračunavanja i donošenje odluka na osnovu podataka.
Cilj statističke kontrole procesa je saznati da li proces funkcioniše
dobro ili ne. U slučaju da je proces van kontrole potrebno je njegovo
podešavanje da bi se odvijao optimalno \cite{Montgomery2009}.
\begin{figure}
\begin{centering}
\includegraphics[width=15cm,height=7cm,keepaspectratio]{1C__Users_omorr_Dropbox_tfuns_Studenti_Katona_Zoltan_variations.png}
\par\end{centering}
\caption{Prisustvo opštih i posebnih poremećaja u procesu\label{fig:varijacije-u-procesu}}
\end{figure}
Da bi proizvodi ispunjavali zahteve potrošača, odnosno specifikacije,
potrebno je da se proizvode u proizvodnom procesu koji je stabilan,
pod kontrolom, sa što manje varijacija u okolini propisane ili nominalne
vrednosti kontrolne promenljive. Svaki proizvodni proces, odnosno
proizvodi kao rezultat proizvodnog procesa sadrže različite varijacije.
Proces bez varijacija ne postoji. Varijacije zavise od većeg broja
faktora, neki od faktora se mogu kontrolisati, dok su neki sastavni
deo procesa. Kod proizvodnih procesa razlikujemo dve vrste uzroka
poremećaja u procesu opšti (engl. \textit{common causes}) i posebni
(engl. \textit{assignable causes}).
Opšti poremećaji su uzroci neznatnih nekontrolisanih varijacija u
procesu i oni su nerazdvojni delovi procesa, promene kontrolne promenljive
su slučajne varijacije koje se još nazivaju i neobjašnjene ili preostale
– rezidualne varijacije. U prisustvu samo opštih poremećaja smatra
se da je proces pod kontrolom. Posebni poremećaji su uzroci varijacija
u procesu kod kojih se vrednost kontrolne promenljive nalazi izvan
kontrolnih granica, smatra se da je proces izvan kontrole i neophodna
je korigujuća akcija. Varijacije procesa u prisustvu opštih i posebnih
poremećaja su prikazane na slici \ref{fig:varijacije-u-procesu}.
Kao rezultat odgovarajuće akcije, uzrok poremećaja se uklanja i proces
se ponovo vraća pod kontrolu \cite{Omorjan2009}.
U toku statističke kontrole praćenje procesa se obavlja merenjem kontrolne
karakteristike kvaliteta, kao statističke veličine, koja kao slučajna
promenljiva ima raspodelu koja se može aproksimirati sa normalnom,
naročito u slučaju velikog broja merenja (uzoraka) bez obzira na raspodelu
osnovnog skupa. Kriva normalne raspodele je zvonastog oblika i simetrična
je u odnosu na aritmetičku sredinu. Vrednost aritmetičke sredine određuje
centar distribucije, a standardno odstupanje širinu distribucije.
Ukupna površina ispod krive normalne distribucije je 100\%, verovatnoća
pojavljivanja vrednosti slučajne promenljive u intervalu $\mu\pm3\sigma$
je oko 99,7\%, u intervalu $\mu\pm2\sigma$ oko 95\% a u intervalu
$\mu\pm1\sigma$ 68,26\%. Verovatnoća nastanka neadekvatnih proizvoda
je oko 0,3\%. Da bi proces ispoštovao propisane zahteve mora biti
toliko sposoban da je verovatnoća generisanja škarta manja od 0,3\%.
\subsubsection{Sposobnost procesa }
Sposobnost procesa određuje da li je proces u prisustvu opštih, prirodnih
poremećaja u mogućnosti da zadovolji zahteve kupca, slika \ref{fig:Sposobnost-procesa}
\cite{Wu2009338}.
\begin{figure}[h]
\begin{centering}
\includegraphics[width=10cm,height=7cm]{2C__Users_omorr_Dropbox_tfuns_Studenti_Katona_Zoltan_sposbnost.png}\caption{Sposobnost procesa\label{fig:Sposobnost-procesa}}
\par\end{centering}
\end{figure}
Proces je sposoban ako su granice zahteva specifikacije veće ili jednake
sa prirodnom tolerancijom. Sposobnost procesa se najčešće procenjuje
računanjem indeksa potencijala procesa $C_{p}$, indeksa sposobnosti
$C_{pk},C_{pm},P_{p},P_{pk}$.
\begin{table}
\centering{}\caption{Pokazatelji sposobnosti procesa\label{tab:Pokazatelji,-indeksi-sposobnosti}}
\begin{tabular}{cl}
\toprule
\textit{\footnotesize{}Pokazatelj} &
\textit{\footnotesize{}Način izračunavanja}\tabularnewline
\midrule
$C_{p}$ &
$\frac{USL-LSL}{6\sigma}$\tabularnewline
$C_{pu}$ &
$\frac{USL-\mu}{3\sigma}$\tabularnewline
$C_{pl}$ &
$\frac{\mu-LSL}{3\sigma}$\tabularnewline
$C_{pk}$ &
$min(\frac{USL-\mu}{3\sigma},\frac{\mu-LSL}{3\sigma})$\tabularnewline
$C_{pm}$ &
$\frac{USL-LSL}{6\sqrt{\sigma^{2}+(\mu-T)^{2}}}$\tabularnewline
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}
Ocenom sposobnosti procesa meri se efektivnost i efikasnost procesa
u slučaju nepostojanja posebnih uzroka varijacija, dakle u slučaju
kada je proces u stanju statističke kontrole. Kada je proces pod kontrolom
manja je verovatnoća da se kontrolna promenljiva nađe izvan kontrolnih
granica \cite{Montgomery2009}.
Indeks potencijala procesa $C_{p}$ je mera rasipanja procesa i predstavlja
odnos propisane i prirodne tolerancije \cite{lazic2011sposobnost}.
Indeks potencijala procesa ne uzima u obzir centriranost procesa,
njegova vrednost zavisi od granica propisanih specifikacijom i prirodne
tolerancije i u slučaju da proces nije ispravno centriran ne daje
dobru ocenu sposobnosti procesa.
Indeks sposobnosti procesa $C_{pk}$ uzima u obzir i centriranost,
odnosno udaljenost srednje vrednosti od nominalne.
Indeks sposobnosti procesa Cpm naspram $C_{p}$ i $C_{pk}$ uzima
u obzir i disperziju i kvadratno odstupanje srednje vrednosti od nominalne
i predstavlja efikasniju ocenu sposobnost procesa \cite{chandra2001statistical}.
Na osnovu vrednosti indeksa sposobnosti proces se može oceniti kao
precizan i tačan kada je $C_{p}$ $\geqslant$ 1,33, zadovoljavajući
uz neophodno stalno praćenje i monitoring kada je 1 $\leqslant$ $C_{p}$
$\leqslant$ 1,33 i nezadovoljavajući kada je $C_{p}$ < 1. Vrednosti
indeksa sposobnosti procesa pri različitim rasipanjima i podešenosti
procesa su prikazana na slici \ref{fig:Rasipanje-i-pode=000161enost}
\cite{lazic2011sposobnost}.
\begin{figure}[H]
\begin{centering}
\includegraphics{3C__Users_omorr_Dropbox_tfuns_Studenti_Katona_Zoltan_cpicpk.png}
\par\end{centering}
\begin{centering}
\caption{Rasipanje i podešenost procesa\label{fig:Rasipanje-i-pode=000161enost}}
\par\end{centering}
\end{figure}
\subsubsection{Kontrolne karte }
Za praćenje procesa, da li je pod statističkom kontrolom ili ne, se
koriste kontrolne karte koje predstavljaju metod uočavanja promena
u procesu, odnosno prikazuju da li je proces unutar granica očekivanih
varijacija. Osnovni cilj kontrolne karte je da blagovremeno detektuje
promenu u procesu da bi se preduzele akcije pre nastanka neadekvatnih
proizvoda. Kontrolna karta je grafik merenih vrednosti kontrolne promenljive
u funkciji od vremena \cite{Omorjan2009}.
Postoje različite vrste kontrolnih karti. Za praćenje prosečne vrednosti
procesa ili srednjeg nivoa kvaliteta se uobičajeno koristi $\bar{x}$-
karta u koju se unose uzastopne srednje vrednosti uzorka. $\bar{x}$-
karte predstavljaju meru varijacija između uzoraka, dok se za praćenje
varijacija koristi kontrolna karta za standardno odstupanje tzv. s
kontrolna karta ili kontrolna karta za raspon tj. R-karta \cite{Montgomery2009}
u koje se unose vrednosti intervala varijacije uzoraka. Interval varijacije
je razlika najveće i najmanje vrednosti u uzorku i predstavlja meru
rasipanja vrednosti oko centra \cite{Omorjan2009}. R-karte predstavljaju
meru varijacija unutar uzorka i koriste se za procenu tzv. kratkoročnih
(engl. \textit{short term}) varijacija u procesu.
Kontrolna karta ima dve paralelne linije koje predstavljaju donju
i gornju kontrolnu granicu i centralnu liniju koja predstavlja ciljanu
vrednost kontrolne promenljive. Proces je pod statističkom kontrolom
ako se vrednosti kontrolnih promenljivih nalaze u okviru kontrolnih
granica. Kontrolne granice se dobijaju na osnovu pravila tri sigme,
pri čemu se kod $\bar{x}$-karti računaju kao:
\[
U.C.L.=\bar{x}+A_{2}\bar{R}
\]
\begin{equation}
Centralna\:linija=\bar{x}\label{eq:xbarcont}
\end{equation}
\[
L.C.L.=\bar{x}-A_{2}\bar{R}
\]
gde je konstanta $A_{2}$ tabelarna vrednost koja zavisi od obima
uzorka i jednaka je:
\[
A_{2}=\frac{3}{d_{2}\sqrt{n}}
\]
Kontrolne granice za $R$-kontrolnu kartu se računaju kao:
\[
U.C.L.=D_{4}\bar{R}
\]
\begin{equation}
Centralna\:linija=\bar{R}\label{eq:rcont}
\end{equation}
\[
L.C.L.=D_{3}\bar{R}
\]
gde su $D_{3}$ i $D_{4}$ definisane jednačinama:
\[
D_{3}=1-3\frac{d_{3}}{d_{2}}
\]
\[
D_{4}=1+3\frac{d_{3}}{d_{2}}
\]
gde su konstante $d_{2}$ i $d_{3}$ tabelarne vrednosti koje zavise
od obima uzorka.
Gore pomenute kontrolne karte nisu u mogućnosti da uoče male varijacije
u procesu, one uzimaju u obzir pojedinačne tačke u procesu nezavisno
od ostalih te poremećaji u procesu često ostaju nezapaženi zbog relativno
većih rezidualnih varijacija \cite{Omorjan2009}.
Kontrolne karte CUSUM (kumulativna suma) i EWMA (Exponentially Weighted
Moving Average) omogućuju detektovanje i manjih varijacija u procesu
uzimajući u obzir informacije sadržane u više uzastopno uzetih uzoraka.
CUSUM karta posmatra akumulisanje odstupanja od neke standardne vrednosti
i predstavlja kumulativnu sumu razlika između vrednosti i proseka
\cite{Montgomery2009}.
\subsection{Kontrola prijema robe}
Cilj kontrole prijema robe je da se na osnovu ispitivanja uzorka donese
odluka o prihvatanju ili odbacivanju celokupne serije proizvodnje.
Odluka se može doneti na osnovu ocene proporcije neispravnih proizvoda
u uzorku, kontrola na osnovu atributivnog obeležja, ili merenjem praćene
karakteristike pojedinačnog uzorka i upoređivanjem rezultata sa unapred
utvrđenim standardom kvaliteta, tj. kontrola na osnovu kvantitativnog
obeležja \cite{Omorjan2009}.
Pouzdanost odluke o prihvatanju ili odbacivanju celokupne serije na
osnovu uzorka zavisi od šeme kontrolisanja, odnosno plana kontrole.
Da li će se odluka doneti na osnovu jednog uzorka, uzimanjem više
nezavisnih uzoraka sa unapred utvrđenom veličinom ili će se pristupiti
sekvencijalnim uzimanjem uzoraka gde se uzimanje uzoraka produžava
dok nema dovoljno osnova za donošenje odluke zavisi od unapred definisanih
pragova značajnosti, odnosno rizika proizvođača, verovatnoće da se
dobra serija odbaci i rizika kupca, verovatnoće da se loša serija
prihvati.
U cilju kontrole rizika proizvođača i kupca se koristi operaciona
kriva (O-C kriva), koja za dati plan kontrole predstavlja grafik verovatnoće
prihvatanja serije kao funkcija proporcije neispravnih delova u seriji.
Odluka o prihvatanju ili odbacivanju serije se može posmatrati kao
testiranje hipoteza. Testira se nulta hipoteza, udeo neispravnih delova
je prihvatljiv, i alternativna hipoteza, udeo neispravnih delova je
veći od prihvatljivog uz dve moguće vrste grešaka, odbacivanje tačne
nulte hipoteze, neprihvatanje dobre serije (rizik proizvođača) greška
tipa I, i prihvatanje pogrešne nulte hipoteze, prihvatanje loše serije
(rizik kupca), greška tipa II \cite{Omorjan2009}.
\pagebreak{}
\section{Primena R u statističkoj kontroli procesa}
U ovom radu je prikazana primena programskog jezika R u programskom
okruženju RStudio \cite{R-Core-Team:2015aa} u statističkoj kontroli
kvaliteta proizvodnog procesa proizvodnje čokoladiranih štanglica,
koje se proizvode kontinualno na proizvodnoj liniji Conbar.
Penasta masa dobijena aeracijom ukuvanog šećerno-skrobnog sirupa i
sredstva za stvaranje pene mešanjem sa masnim premiksom formira se
na ohlađenim valjcima u vidu sloja zadate debljine. Nakon prolaska
kroz tunel za hlađenje penasti sloj se seče najpre uzdužno kružnim
noževima, zatim poprečno formirajući štanglice zadate dužine koje
se u sledećoj fazi prelivaju čokoladom, hlade i pakuju.
Prema postojećem planu kontrolisanja svakog sata tokom osmočasovnog
proizvodnog procesa se uzima uzorak od 10 komada gotovog proizvoda,
nazivne mase 30g, izmeri masa svake pojedinačne štanglice na overenoj
vagi, izmerena vrednost se beleži u kontrolnoj listi, izračuna srednja
vrednost i na osnovu tih podataka se donosi odluka o prihvatanju ili
odbacivanju proizvodnje tokom sat vremena, prema zahtevima Pravilnika
o prethodno upakovanim proizvodima \cite{pravilnik}.
Na osnovu dosadašnjih iskustava, u cilju smanjenja rizika neprihvatanja
proizvodnog lota, proizvodni proces je vođen na način da verovatnoća
nastajanja neadekvatnog proizvoda bude veoma mala što za posledicu
ima da je srednja vrednost veća za 1-2 g od nazivne mase što ujedno
vodi do neprofitabilnosti proizvodnje što se podudara sa zaključcima
autora Djekić i ost. \cite{Djekic2014}.
Cilj ovog rada je da se primenom statističkih metoda u programskom
jeziku R odrede optimalni parametri procesa.
Radi prikaza stanja proizvodnog procesa analizirane su prethodna merenja
iz dužeg vremenskog perioda. Analiza procesa je urađena na osnovu
100 uzoraka obima 10.
Za analizu podataka su korišćeni različiti paketi koji se u programskom
okruženju \texttt{R} aktiviraju sa funkcijom \texttt{library()}\texttt{\textbf{
}}\cite{qcc,knitr,Wickham:2007aa,cano2012six,cano2015quality,Dahl:2016aa}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{library}\hlstd{(}\hlstr{"reshape2"}\hlstd{)}
\hlkwd{library}\hlstd{(}\hlstr{"qcc"}\hlstd{)}
\hlkwd{library}\hlstd{(}\hlstr{"SixSigma"}\hlstd{)}
\hlkwd{library}\hlstd{(}\hlstr{"knitr"}\hlstd{)}
\hlkwd{library}\hlstd{(}\hlstr{"xtable"}\hlstd{)}
\hlkwd{library}\hlstd{(}\hlstr{"AcceptanceSampling"}\hlstd{)}
\hlkwd{options}\hlstd{(}\hlkwc{scipen}\hlstd{=}\hlnum{999}\hlstd{)}
\hlstd{opts_chunk}\hlopt{$}\hlkwd{set}\hlstd{(}\hlkwc{size}\hlstd{=}\hlstr{"footnotesize"}\hlstd{)}
\hlkwd{qcc.options}\hlstd{(}\hlkwc{cex}\hlstd{=}\hlnum{0.6}\hlstd{,}\hlkwc{cex.stats}\hlstd{=}\hlnum{0.6}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Prikupljeni rezultati merenja su uneti u excel tabelu i sačuvani u
obliku csv fajla. Pomoću funkcije \texttt{read.csv()} podaci su učitani
u programsko okruženje RStudio.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{masa.data} \hlkwb{<-} \hlkwd{read.csv}\hlstd{(}\hlstr{"kidypre.csv"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
\subsection{Deskriptivna statistika}
Učitani podaci se moraju prilagoditi za korišćenje u različitim paketima,
npr. brisanje redova ili kolona, zamena redova sa kolonama sa funkcijom
\texttt{t() }- transpose, promene strukture podataka sa funkcijom
\texttt{as.matrix(), as.data.frame()}\cite{de2015r}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{masa.data1} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data[,}\hlopt{-}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlstd{)]}
\hlstd{masa.data.kol} \hlkwb{<-} \hlkwd{melt}\hlstd{(masa.data,} \hlkwc{id}\hlstd{=}\hlstr{'UZORAK'}\hlstd{)}
\hlstd{masa.data.kol1} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data.kol}
\hlstd{masa.data.kol1}\hlopt{$}\hlstd{variable} \hlkwb{<-} \hlkwa{NULL}
\hlkwd{names}\hlstd{(masa.data.kol1)[}\hlkwd{names}\hlstd{(masa.data.kol1)}\hlopt{==}\hlstr{"value"}\hlstd{]} \hlkwb{<-} \hlstr{"MASA"}
\hlstd{masa.data.kol2} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data.kol1}
\hlstd{masa.data.kol2}\hlopt{$}\hlstd{UZORAK1} \hlkwb{<-} \hlkwd{as.factor}\hlstd{(masa.data.kol1}\hlopt{$}\hlstd{UZORAK)}
\hlkwd{attach}\hlstd{(masa.data.kol2)}
\hlstd{masa2} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc.groups}\hlstd{(MASA, UZORAK)}
\hlkwd{attach}\hlstd{(masa.data.kol1)}
\hlstd{masa} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc.groups}\hlstd{(MASA, UZORAK)}
\hlstd{masa.t} \hlkwb{<-} \hlkwd{t}\hlstd{(masa)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
\subsubsection{Grafička deskriptivna statistika}
Prvi korak pri analizi procesa je prikaz prisutnih varijacija u procesu.
Najefikasniji način prikaza varijacija je grafički opis.
~
\textbf{Histogram}
~
Histogram se najčešće koristi za opisivanje varijacija neprekidnih
karakteristika, prikazuje raspodelu merenih veličina.
Histogram se u programskom jeziku R može formirati na različite načine.
Naredbom \texttt{cut(x, breaks, ...)} podaci zapisani u matrici \texttt{x}
se dele u broj klasa jednak argumentu \texttt{breaks} a kao rezultat
daje broj podataka koji pripadaju datoj klasi. Naredbom \texttt{table()}
se prikazuje rezultat naredbe \texttt{\textbf{cut()}}, odnosno klase
sa apsolutnim frekvencama. Naredba\texttt{ barplot()} formira histogram
na osnovu vrednosti sadržanih u \texttt{table(klase)} \cite{histOmorjan}.
Naredba \texttt{hist()} je generička funkcija programskog jezika R
i pored formiranja histograma izračunava i njene vrednosti (\texttt{breaks,
counts, density, mids}).
Kumulativni histogram se dobija modifikacijom vrednosti funkcije \texttt{hist()},
gde se argumenti \texttt{counts }i\texttt{ density} zamenjuju kumulativnim
sumama sa funkcijom \texttt{cusum()}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{par}\hlstd{(}\hlkwc{mfrow} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlstd{,}\hlnum{3}\hlstd{),} \hlkwc{pin}\hlstd{=}\hlkwd{c}\hlstd{(}\hlnum{1.5}\hlstd{,}\hlnum{2}\hlstd{),} \hlkwc{cex.main}\hlstd{=}\hlnum{0.9}\hlstd{)}
\hlstd{histogram} \hlkwb{<-} \hlkwd{hist}\hlstd{(masa,} \hlkwc{breaks} \hlstd{=} \hlnum{10}\hlstd{,} \hlkwc{prob}\hlstd{=T,} \hlkwc{xlab} \hlstd{=} \hlstr{"masa [g]"}\hlstd{,} \hlkwc{main} \hlstd{=} \hlstr{"Histogram, hist()"}\hlstd{);} \hlkwd{lines}\hlstd{(}\hlkwd{density}\hlstd{(masa))}
\hlkwd{curve}\hlstd{(}\hlkwd{dnorm}\hlstd{(x,} \hlkwd{mean}\hlstd{(masa),} \hlkwd{sd}\hlstd{(masa)),} \hlkwc{add} \hlstd{=} \hlnum{TRUE}\hlstd{,} \hlkwc{lty} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,} \hlkwc{lwd} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=} \hlstr{"red"}\hlstd{)}
\hlstd{klase} \hlkwb{<-} \hlkwd{cut}\hlstd{(masa,} \hlkwc{breaks} \hlstd{= histogram}\hlopt{$}\hlstd{breaks)}
\hlkwd{barplot}\hlstd{(}\hlkwd{table}\hlstd{(klase),} \hlkwc{xlab} \hlstd{=} \hlstr{"masa [g]"}\hlstd{,} \hlkwc{main} \hlstd{=} \hlstr{"Histogram, barplot()"}\hlstd{)}
\hlstd{h1} \hlkwb{<-} \hlkwd{hist}\hlstd{(masa,} \hlkwc{plot}\hlstd{=}\hlnum{FALSE}\hlstd{,} \hlkwc{breaks}\hlstd{=}\hlnum{10}\hlstd{)}
\hlstd{h1}\hlopt{$}\hlstd{counts} \hlkwb{<-} \hlkwd{cumsum}\hlstd{(h1}\hlopt{$}\hlstd{counts)}
\hlstd{h1}\hlopt{$}\hlstd{density} \hlkwb{<-} \hlkwd{cumsum}\hlstd{(h1}\hlopt{$}\hlstd{density)}
\hlkwd{plot}\hlstd{(h1,} \hlkwc{freq} \hlstd{=} \hlnum{TRUE}\hlstd{,} \hlkwc{xlab} \hlstd{=} \hlstr{"masa [g]"}\hlstd{,} \hlkwc{main} \hlstd{=} \hlstr{"Kumulativni histogram"}\hlstd{)}
\hlkwd{box}\hlstd{()}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/histogramR-1} \caption[Histogram]{Histogram}\label{fig:histogramR}
\end{figure}
\end{knitrout}
Histogrami su prikazani na slici \ref{fig:histogramR}. Na histogramu
je prikazana kriva gustine raspodele dobijena naredbom \texttt{lines(density)}
na osnovu prikupljenih podataka, dok crvena linija prikazuje teoretsku
funkciju normalne raspodele dobijena naredbom \texttt{curve(dnorm(x,
mean, sigma))} sa argumentima gde su srednja vrednost i standardno
odstupanje procenjene vrednosti.
~
\textbf{Boxplot}
~
Grafički prikaz varijacija u slučaju uzoraka prikupljenih u grupama
se najefikasnije može prikazati u vidu bloxpota \cite{cano2015quality},
Box and Whisker grafikom, sa funkcijom \texttt{boxplot()}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{layout}\hlstd{(}\hlkwd{matrix}\hlstd{(}\hlkwd{c}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlstd{,}\hlnum{2}\hlstd{,}\hlnum{2}\hlstd{,}\hlnum{2}\hlstd{),} \hlnum{1}\hlstd{,} \hlnum{2}\hlstd{,} \hlkwc{byrow} \hlstd{=} \hlnum{TRUE}\hlstd{),} \hlkwc{widths}\hlstd{=}\hlkwd{c}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlstd{,}\hlnum{3}\hlstd{))}
\hlkwd{boxplot}\hlstd{(MASA,} \hlkwc{main} \hlstd{=} \hlstr{"Boxplot svih posmatranja"}\hlstd{,} \hlkwc{cex.main} \hlstd{=} \hlnum{0.7}\hlstd{,} \hlkwc{cex.axis}\hlstd{=}\hlnum{0.5}\hlstd{)}
\hlkwd{boxplot}\hlstd{(masa.t,} \hlkwc{xlab} \hlstd{=}\hlstr{'n-ti uzorak'}\hlstd{,} \hlkwc{ylab} \hlstd{=}\hlstr{'masa [g]'}\hlstd{,}
\hlkwc{main} \hlstd{=} \hlstr{"Boxplot pojedinacnih uzoraka obima n"}\hlstd{,}
\hlkwc{cex.main}\hlstd{=}\hlnum{0.7}\hlstd{,} \hlkwc{cex.lab}\hlstd{=}\hlnum{0.7}\hlstd{,} \hlkwc{cex.axis}\hlstd{=}\hlnum{0.5}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/boxplotR-1} \caption[Boxplot]{Boxplot}\label{fig:boxplotR}
\end{figure}
\end{knitrout}
Boxplot je prikazan na slici \ref{fig:boxplotR} na osnovu svih observacija,
1000 uzoraka, odnosno iz 100 uzoraka obima 10.
Na osnovu grafičkog prikaza podataka dobijenih merenjem posmatranih
karakteristika uzoraka dobijamo osnovni uvid u karaktristike procesa.
Na osnovu histograma, koji nam prikazuje raspodelu obeležja procesa,
u ovom slučaju mase proizvoda možemo da zaključimo da je raspodela
približno normalna, da se mase proizvoda rasipaju približno simetrično
oko srednje vrednosti, odnosno da su centrirane. Boxplot objedinjenog
uzorka nam prikazuje meru rasipanja mase proizvoda, ukazuje da postoje
neke ekstremne vrednosti nastale greškom merenja, neadekvatnim uzorkovanjem
ili zapisivanjem podataka. Boxplot grupisanih podataka ukazuje da
postoje varijacije u srednjim vrednostima između šarži proizvodnje,
da su varijacije veće upoređujući različite lotove proizvodnje.
Grafički prikaz daje samo osnovni uvid u karakteristike procesa, da
bi dobili jasniju sliku o procesu potrebno je da se daju i numeričke
vrednosti procesa.
\subsubsection{Numerička deskriptivna statistika}
Statističke metode i tehnike koje se koriste u statistici za procenu
parametara populacije pretpostavljaju normalnu raspodelu, te je pre
njihovih primena potrebno proveriti normalnost raspodele posmatranih
obeležja.
Pored histograma na osnovu kojeg se može proceniti da li je reč o
normalnoj raspodeli obeležja postoje druge pouzdanije metode i tehnike
za procenu normalnosti raspodele.
QQplot je graf koji prikazuje teoretske kvantile neke raspodele u
zavisnosti od uzoračkih kvantila datog uzorka. Ukoliko su tačke grafa
na pravoj liniji smatra se da je reč o normalnoj raspodeli.
U progmarmskom jeziku R QQplot se prikazuje s naredbom\texttt{ qqnorm()}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{par}\hlstd{(}\hlkwc{pin}\hlstd{=}\hlkwd{c}\hlstd{(}\hlnum{3}\hlstd{,}\hlnum{1.5}\hlstd{),} \hlkwc{cex}\hlstd{=}\hlnum{0.7}\hlstd{)}
\hlkwd{qqnorm}\hlstd{(masa);}\hlkwd{qqline}\hlstd{(masa,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{'red'}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/QQplot-1} \caption[Q-Q plot]{Q-Q plot}\label{fig:QQplot}
\end{figure}
\end{knitrout}
Pošto se tačke na grafu nalaze na pravoj liniji smatramo da je reč
o normalnoj raspodeli.
Za testiranje statističkih hipoteza za proveru normalnosti raspodele
se najčešće koristi Shapiro Wild test, gde je nulta hipoteza da je
uzorak iz normalne raspodele. Ukoliko je p-vrednost testa veća od
praga zančajnosti alfa, prihvatamo nultu hipotezu, te smatramo da
je reč o normalnoj raspodeli \cite{cano2012six}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{shapiro.test}\hlstd{(masa)}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: masa
## W = 0.98118, p-value = 0.0000000004489
\end{verbatim}
\begin{alltt}
\hlstd{p.shapiro} \hlkwb{<-} \hlkwd{shapiro.test}\hlstd{(masa)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Iako je p-vrednost manja od 0.05, zbog velikog broja uzoraka usvaja
se da se radi o normalnoj raspodeli podataka.
Nakon provere normalnosti raspodele pristupa se izračunavanju tačkastih
i intervalnih ocena parametara populacije. Osnovni parmetri u slučaju
normalne raspodele su uzoračka srednja vrednost i uzoračka disperzija.
~
\textbf{Mera centralne tendencije}
~
Nepristrasna ocena srednje vrednosti populacije je uzoračka srednja
vrednost, koja predstavlja aritmetičku sredinu svih uzoraka \ref{eq:aritmeticka sredina},
u R-u se dobija sa naredbom \texttt{mean()}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{masa.mean} \hlkwb{<-} \hlkwd{mean}\hlstd{(masa)}
\hlstd{masa.mean}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 31.3207
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
~
\textbf{Pokazatelji rasipanja}
~
Rasipanje neke karakteristike oko srednje vrednosti se opisuje disperzijom.
Disperzija predstavlja srednju vrednost kvadrata odstupanja, a pozitivna
vrednost korena disperzije je standardno odstupanje.
Kao nepristrasna ocena disperzije populacije se smatra uzoračka disperzija
koja se u R-u dobija naredbom \texttt{var()}, međutim pošto $s$,
nije nepristrasna ocena standardne devijacije populacije, u zavisnosti
od broja uzetih uzoraka za procenu parametara ona se računa pomoću
konstanti $c_{4}$ ili $d_{2}$ prema jednačinama \ref{eq:sc4} ili
\ref{eq:Rd2}. U programskom jeziku R se njihove vrednosti dobijaju
naredbama \texttt{ss.cc.getc4()} i \texttt{ss.cc.getd2()} iz paketa
\texttt{SixSigma} \cite{cano2012six,cano2015quality}.
U cilju izračunavanja gore navedenih veličina rezultati merenja masa
se sređuju u vidu dataframe-a. Dobijeni rezultati su prikazani u tabeli
\ref{tab:tabelasachunkom}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{masa.tabela} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data1} \hlcom{# definisali smo novi data frame da bi dodali kolone }
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{xbar} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1,} \hlnum{1}\hlstd{, mean)} \hlcom{#kolona za srednju vrednost }
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{min} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1,} \hlnum{1}\hlstd{, min)} \hlcom{#kolona za min vrednosti }
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{max} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1,} \hlnum{1}\hlstd{, max)} \hlcom{#kolona za max vrednosti }
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{R} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{max} \hlopt{-} \hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{min} \hlcom{#kolona za range }
\hlstd{masa.tabela.razl.kv} \hlkwb{<-} \hlstd{(masa.data1}\hlopt{-}\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{xbar)}\hlopt{^}\hlnum{2}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{suma.kv} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.tabela.razl.kv,} \hlnum{1}\hlstd{, sum)}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{s} \hlkwb{<-} \hlkwd{sqrt}\hlstd{(masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{suma.kv}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1)}\hlopt{-}\hlnum{1}\hlstd{))}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{sc4} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{s}\hlopt{/}\hlkwd{ss.cc.getc4}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1))}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{Rd2} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{R}\hlopt{/}\hlkwd{ss.cc.getd2}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1))}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{var} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1,} \hlnum{1}\hlstd{, var)}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{sqrvar} \hlkwb{<-} \hlkwd{sqrt}\hlstd{(masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{var)}
\hlstd{masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{sd} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1,} \hlnum{1}\hlstd{, sd)}
\hlstd{R.bar} \hlkwb{<-} \hlkwd{mean}\hlstd{(masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{R)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
U kolonama tabele su prikazane aritmetičke sredine $\bar{x}$ prema
jednačini \ref{eq:aritmeticka sredina}, maksimalne i minimalne vrednosti
$x_{max}$ i $x_{min}$, rasponi između maksimalnih i minimalnih vrednosti
$R$ prema jednačini \ref{eq:range}, standardno odstupanje $s_{d_{2}}$,
$s_{c_{4}}$ i $s$ prema jednačinama \ref{eq:Rd2}, \ref{eq:sc4}
i kvadratni koren iz jednačine \ref{eq:korigovanadisp} respektivno,
disperzija prema jednačini \ref{eq:korigovanadisp}.
\begin{table}[h]
\caption{Tabela sa vrednostima mere varijacija\label{tab:tabelasachunkom}}
\begin{center}
% latex table generated in R 3.3.0 by xtable 1.8-2 package
% Tue May 31 13:04:36 2016
\begingroup\footnotesize
\begin{tabular}{rrrrrrrrr}
\hline
& $\bar{x}$ & $x_{max}$ & $x_{min}$ & $R$ & $s_{d_2}$ & $s_{c_4}$ & $s$ & $\hat{\sigma}$ \\
\hline
1 & 33.53 & 34.80 & 32.50 & 2.30 & 0.75 & 0.77 & 0.75 & 0.56 \\
2 & 32.12 & 33.80 & 30.80 & 3.00 & 0.97 & 0.94 & 0.92 & 0.84 \\
3 & 32.78 & 34.60 & 30.40 & 4.20 & 1.36 & 1.53 & 1.49 & 2.23 \\
4 & 31.36 & 32.00 & 30.60 & 1.40 & 0.45 & 0.53 & 0.51 & 0.26 \\
5 & 31.53 & 32.60 & 30.40 & 2.20 & 0.71 & 0.83 & 0.81 & 0.66 \\
6 & 32.08 & 33.50 & 29.70 & 3.80 & 1.23 & 1.29 & 1.26 & 1.58 \\
7 & 32.76 & 34.50 & 31.30 & 3.20 & 1.04 & 1.15 & 1.12 & 1.25 \\
8 & 31.55 & 32.80 & 30.20 & 2.60 & 0.84 & 0.84 & 0.82 & 0.67 \\
9 & 33.21 & 34.70 & 32.00 & 2.70 & 0.88 & 0.96 & 0.94 & 0.87 \\
10 & 31.09 & 32.50 & 29.70 & 2.80 & 0.91 & 0.98 & 0.96 & 0.92 \\
\hline
\end{tabular}
\endgroup
\end{center}
\end{table}
U slučaju uzorkovanja u grupama, gde $m$ predstavlja broj uzorka,
a $n$ obim uzorka, odnosno broj posmatranja u jednom uzorku, uzoračka
srednja vrednost je jednaka sumi aritmetičkih sredina uzoraka podeljen
sa brojem uzoraka.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{masa.mean.all} \hlkwb{<-} \hlkwd{sum}\hlstd{(masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{xbar)}\hlopt{/}\hlkwd{nrow}\hlstd{(masa.data1)}
\hlstd{x.bar} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.mean.all}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Uzoračko standardno odstupanje se računa kao:
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{disperzija} \hlkwb{<-} \hlkwd{var}\hlstd{(MASA)}
\hlstd{sd.sqr.var} \hlkwb{<-} \hlkwd{sqrt}\hlstd{(disperzija)}
\hlstd{sd.est.all} \hlkwb{<-} \hlkwd{sd}\hlstd{(MASA)}
\hlstd{ukup.broj.uzor} \hlkwb{<-} \hlkwd{as.numeric}\hlstd{(}\hlkwd{length}\hlstd{(MASA))}
\hlstd{sd.est.c4.bar} \hlkwb{<-} \hlkwd{mean}\hlstd{(masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{sc4)}
\hlstd{sd.est.Rd2.bar} \hlkwb{<-} \hlkwd{mean}\hlstd{(masa.tabela}\hlopt{$}\hlstd{Rd2)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
A vrednosti za procenu standardnog odstupanja na osnovu različitog
načina izračunavanja su:
% latex table generated in R 3.3.0 by xtable 1.8-2 package
% Tue May 31 13:04:36 2016
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{rr}
\hline
& $\hat{\sigma}$ \\
\hline
$\sqrt{\frac{1}{nm-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar{\bar{x}}})^{2}}$ & 1.01 \\
$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{n}s_{c_{4}}$ & 0.77 \\
$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{n}R_{d_{2}}$ & 0.74 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
Pri čemu se uočene razlike u procenama standardnog odstupanja mogu
objasniti različitim rasipanjima prisutnim unutar i između uzetih
uzoraka u grupama. U slučaju uzoraka uzetih u grupama procena standardnog
odstupanja računata kao aritmetička sredina uzoračke standardne devijacije
pojedinačnih uzoraka opisuje varijacije nastale usled opštih uzroka
poremećaja u procesu, takozvane \textquotedbl{}short-term\textquotedbl{}
poremećaje, dok procena standardnog odstupanja računata kao koren
srednje vrednosti kvadratnih odstupanja svakog posmatranja od procenjene
srednje vrednosti celog uzorka uzima u obzir sve varijacije i unutar
i između uzoraka, odnosno ukazuje pored opštih uzroka i na posebne
uzroke poremećaja u procesu i predstavlja takozvane \textquotedbl{}long-term\textquotedbl{}
poremećaje.
~
\textbf{Intervalne ocene}
~
Pošto uzorci uzeti iz procesa predstavljaju slučajne promenljive,
procene parametara procesa su isto slučajne promeljive, te se rasipaju
određenom merom oko srednje vrednosti, sa zadatom verovatnoćom će
se nalaziti u nekom intervalu.
~U slučaju populacije čija je disperzija poznata ili u slučaju nepoznate
disperzije populacije, kada na raspolaganju imamo veći broj uzoraka
(više od 30) i uzima aproksimacija da je disperzija populacije uzoračka
disperzija, odnosno da je $\sigma^{2}=(\sigma^{2})^{*}=s^{2}$ intervalna
ocena srednje vrednosti populacije računa se prema jednačini \ref{eq:intocenasrednjvr}.
Vrednosti za koeficijent $z_{\alpha}$ za zadatu verovatnoću u R-u
se dobijaju naredbom \texttt{qnorm(x),} gde je $x=1-\frac{\alpha}{2}$
Tako će intervalna ocena za dati slučaj biti:
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{verovatnoca} \hlkwb{<-} \hlnum{0.95}
\hlstd{z.alfa} \hlkwb{<-} \hlkwd{qnorm}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{verovatnoca)}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlstd{broj.uzoraka} \hlkwb{<-} \hlkwd{length}\hlstd{(MASA)}
\hlstd{sigma} \hlkwb{<-} \hlstd{sd.est.all}
\hlstd{granica} \hlkwb{<-} \hlstd{z.alfa}\hlopt{*}\hlstd{(sigma}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(broj.uzoraka)))}
\hlstd{g.granica} \hlkwb{<-} \hlstd{x.bar} \hlopt{+} \hlstd{granica}
\hlstd{d.granica} \hlkwb{<-} \hlstd{x.bar} \hlopt{-} \hlstd{granica}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Kao verovatan interval uzoračke srednje vrednosti sa pouzdanošću od
95\% dobija:
~
31.2579 g < $\mu$ < 31.3835
g tj. $\mu$ = 31.3207 $\pm$ 0.0628
g
~
U slučaju nepoznate disperzije i kada je uzorak mali (manje od 30),
interval pouzdanosti srednje vrednosti populacije se dobija na osnovu
Studentove, odn. t-raspodele, prema jednačini \ref{eq:traspodela}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{uzorak} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data.kol}\hlopt{$}\hlstd{value}
\hlstd{obim.uzor} \hlkwb{<-} \hlkwd{length}\hlstd{(uzorak)} \hlcom{#broj uzorka }
\hlstd{bss} \hlkwb{<-} \hlstd{obim.uzor} \hlopt{-} \hlnum{1} \hlcom{#broj stepeni slobode }
\hlstd{t.alfa} \hlkwb{<-} \hlkwd{qt}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{verovatnoca)}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{, bss)} \hlcom{# koeficijent pouzdanosti se dobija naredbom qt() }
\hlstd{st.dev} \hlkwb{<-} \hlkwd{sd}\hlstd{(uzorak)} \hlcom{# Procena disperzije iz uzorka }
\hlstd{s.est} \hlkwb{<-} \hlstd{st.dev} \hlopt{/} \hlkwd{sqrt}\hlstd{(obim.uzor)}
\hlstd{uzorak.mean} \hlkwb{<-} \hlkwd{mean}\hlstd{(uzorak)}
\hlstd{granica.uzorak} \hlkwb{<-} \hlstd{t.alfa}\hlopt{*}\hlstd{s.est}
\hlstd{g.granica.uzorak} \hlkwb{<-} \hlstd{uzorak.mean} \hlopt{+} \hlstd{granica.uzorak}
\hlstd{d.granica.uzorak} \hlkwb{<-} \hlstd{uzorak.mean} \hlopt{-} \hlstd{granica.uzorak}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Kao verovatan interval uzoračke srednje vrednosti sa pouzdanošću od
95\% dobija:
~
31.2578 g < $\mu$ < 31.3836
g tj. $\mu$ = 31.32 $\pm$ 0.0629
g
~
Interval pouzdanost se u R-u može uraditi naredbom \texttt{t.test()}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{t.test}\hlstd{(uzorak)}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
##
## One Sample t-test
##
## data: uzorak
## t = 976.91, df = 999, p-value < 0.00000000000000022
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 31.25779 31.38361
## sample estimates:
## mean of x
## 31.3207
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Interval poverenja disperzije se na osnovu uzoraka uzetih iz populacije
sa normalnom raspodelom računa jednačinom \ref{eq:hikvadrat}:
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{alfa} \hlkwb{<-} \hlnum{1} \hlopt{-} \hlstd{verovatnoca}
\hlstd{disp.est} \hlkwb{<-} \hlkwd{var}\hlstd{(uzorak)}
\hlstd{chi.kvadrat.gornja} \hlkwb{<-} \hlkwd{qchisq}\hlstd{(alfa}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{,bss)}
\hlstd{chi.kvadrat.donja} \hlkwb{<-} \hlkwd{qchisq}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{alfa}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{,bss)}
\hlstd{disp.gornja} \hlkwb{<-} \hlstd{bss}\hlopt{*}\hlstd{disp.est}\hlopt{/}\hlstd{chi.kvadrat.gornja}
\hlstd{disp.donja} \hlkwb{<-} \hlstd{bss}\hlopt{*}\hlstd{disp.est}\hlopt{/}\hlstd{chi.kvadrat.donja}
\hlkwd{c}\hlstd{(disp.donja, disp.est, disp.gornja)} \hlcom{# Disperzija }
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 0.9434026 1.0279094 1.1243626
\end{verbatim}
\begin{alltt}
\hlkwd{c}\hlstd{(}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(disp.donja),} \hlkwd{sqrt}\hlstd{(disp.est), sd.est.all,} \hlkwd{sqrt}\hlstd{(disp.gornja))} \hlcom{# Standardno odstupanje}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 0.9712891 1.0138587 1.0138587 1.0603597
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Gde je intervalna procena disperzije sa pouzdanošću od 95\%:
~
0.9434 $g^{2}$ < $\sigma^{2}$ < 1.1244
$g^{2}$
~
Odnosno intervalna procena standardne devijacije:
~
0.9713 g < $\sigma$ < 1.0604
g
~
Intervalna ocena disperzije se može dobiti funkcijom \cite{ConfInt}:
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{var.interval} \hlkwb{=} \hlkwa{function}\hlstd{(}\hlkwc{data}\hlstd{,} \hlkwc{conf.level} \hlstd{=} \hlnum{0.95}\hlstd{) \{}
\hlstd{df} \hlkwb{=} \hlkwd{length}\hlstd{(data)} \hlopt{-} \hlnum{1}
\hlstd{chilower} \hlkwb{=} \hlkwd{qchisq}\hlstd{((}\hlnum{1} \hlopt{-} \hlstd{conf.level)}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{, df)}
\hlstd{chiupper} \hlkwb{=} \hlkwd{qchisq}\hlstd{((}\hlnum{1} \hlopt{-} \hlstd{conf.level)}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{, df,} \hlkwc{lower.tail} \hlstd{=} \hlnum{FALSE}\hlstd{)}
\hlstd{v} \hlkwb{=} \hlkwd{var}\hlstd{(data)}
\hlkwd{c}\hlstd{(df} \hlopt{*} \hlstd{v}\hlopt{/}\hlstd{chiupper, df} \hlopt{*} \hlstd{v}\hlopt{/}\hlstd{chilower)}
\hlstd{\}}
\hlkwd{var.interval}\hlstd{(MASA)}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 0.9434026 1.1243626
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
\subsection{Sposobnost procesa}
U statističkoj kontroli procesa kao pokazatelji mere poremećaja procesa
se koriste indeksi sposobnosti procesa $C_{p}$, $C_{pk}$, $C_{pm}$
itd.
Sposobnost procesa određuje da li je proces u mogućnosti da zadovolji
zahteve kupca, odnosno da li se posmatrana obeležja nalaze u granicama
propisanim specifikacijama.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{sigma.kapa.short} \hlkwb{<-} \hlstd{sd.est.Rd2.bar}
\hlstd{sigma.kapa.long} \hlkwb{<-} \hlstd{sd.est.all}
\hlstd{nom.vred} \hlkwb{<-} \hlnum{30}
\hlstd{dozv.neg.odstupanje} \hlkwb{<-} \hlstd{nom.vred} \hlopt{*} \hlnum{0.09}
\hlstd{LSL} \hlkwb{<-} \hlstd{nom.vred} \hlopt{-} \hlstd{dozv.neg.odstupanje}
\hlstd{LSL2} \hlkwb{<-} \hlstd{nom.vred} \hlopt{-} \hlstd{(}\hlnum{2}\hlopt{*}\hlstd{dozv.neg.odstupanje)}
\hlstd{USL} \hlkwb{<-} \hlstd{nom.vred} \hlopt{+} \hlstd{dozv.neg.odstupanje}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Na osnovu vrednosti indeksa potencijala procesa moguće je odrediti
procenat neadekvatnih proizvoda koji će se nalaziti izvan zahtevane
granice specifikacije
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{cp} \hlkwb{<-} \hlstd{(USL}\hlopt{-}\hlstd{LSL)}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlnum{6}\hlopt{*}\hlstd{sigma.kapa.short)}
\hlstd{prob.cp} \hlkwb{<-} \hlnum{2} \hlopt{*} \hlkwd{pnorm}\hlstd{(}\hlopt{-}\hlnum{3}\hlopt{*}\hlstd{cp)}
\hlstd{proc.neadekvatnih.cp} \hlkwb{<-} \hlstd{prob.cp} \hlopt{*} \hlnum{100}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
$C_{p}$= 1.22, procenat izvan granica propisana specifikacijom
0.03 \%.
Indeks potencijala $C_{p}$ pokazuje meru rasipanja procesa uz pretpostavku
da je srednja vrednost obeležja jednaka nominalnoj, ne uzima u obzir
koliko je srednja vrednost pomerena od nominalne vrednosti, te ne
daje dobru procenu udela neodgovarajućih proizvoda kada srednja vrednost
nije jednaka nominalnoj.
Indeks sposbnosti procesa $C_{pk}$ uzima u obzir i udaljenost srednje
vrednosti od nominalne.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{cpk.L} \hlkwb{<-} \hlstd{(x.bar}\hlopt{-}\hlstd{LSL)}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlnum{3}\hlopt{*}\hlstd{sigma.kapa.short)}
\hlstd{cpk.U} \hlkwb{<-} \hlstd{(USL}\hlopt{-}\hlstd{x.bar)}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlnum{3}\hlopt{*}\hlstd{sigma.kapa.short)}
\hlstd{cpk} \hlkwb{<-} \hlkwd{min}\hlstd{(}\hlkwd{c}\hlstd{(cpk.U, cpk.L))}
\hlstd{prob.cpk.L} \hlkwb{<-} \hlkwd{pnorm}\hlstd{(}\hlopt{-}\hlnum{3}\hlopt{*}\hlstd{cpk.L)}
\hlstd{prob.cpk.U} \hlkwb{<-} \hlnum{1} \hlopt{-} \hlkwd{pnorm}\hlstd{(}\hlnum{3}\hlopt{*}\hlstd{cpk.U)}
\hlstd{prob.cpk} \hlkwb{<-} \hlstd{prob.cpk.L} \hlopt{+} \hlstd{prob.cpk.U}
\hlstd{proc.cpk.L} \hlkwb{<-} \hlstd{prob.cpk.L} \hlopt{*} \hlnum{100}
\hlstd{proc.cpk.U} \hlkwb{<-} \hlstd{prob.cpk.U} \hlopt{*} \hlnum{100}
\hlstd{proc.cpk} \hlkwb{<-} \hlstd{prob.cpk} \hlopt{*} \hlnum{100}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
gde su:
$C_{pkl}$= 1.81 - indeks sposobnosti procesa
kada je data samo donja granica specifikacije
$C_{pku}$= 0.62 - indeks sposobnosti procesa
kada je data samo gornja granica specifikacije
$C_{pk}$= 0.62 - indeks sposobnosti procesa kada
su date i donja i gornja granica specifikacije,
a:
udeo proizvoda ispod donje granice specifikacije je 0\%
udeo proizvoda iznad gornje granice specifikacije je 3.1\%
udeo proizvoda izvan donje i gornje granice specifikacije je 3.1\%
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{proc.izn.nom} \hlkwb{<-} \hlstd{(}\hlnum{1} \hlopt{-} \hlkwd{pnorm}\hlstd{((nom.vred}\hlopt{-}\hlstd{x.bar)}\hlopt{/}\hlstd{sigma.kapa.long))}\hlopt{*}\hlnum{100}
\hlstd{proc.izn.nom}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 90.36524
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Udeo proizvoda iznad nominalne vrednosti je 90.37\%
Indeks sposobnosti procesa $C_{pm}$ naspram $C_{p}$ i $C_{pk}$
uzima u obzir i disperziju i kvadratno odstupanje srednje vrednosti
od nominalne i predstavlja efikasnije sposobnost procesa.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{cpm} \hlkwb{<-} \hlstd{(USL}\hlopt{-}\hlstd{LSL)}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlnum{6}\hlopt{*}\hlstd{(}\hlkwd{sqrt}\hlstd{((sigma.kapa.short)}\hlopt{^}\hlnum{2}\hlopt{+}\hlstd{(x.bar}\hlopt{-}\hlstd{nom.vred)}\hlopt{^}\hlnum{2}\hlstd{)))}
\hlstd{cpm}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 0.5946437
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Sa naredbom \texttt{process.capability} iz paketa \texttt{qcc \cite{qcc}}
se mogu dobiti gore navedeni pokazatelji sposobnosti procesa.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objX} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc}\hlstd{(masa,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{'xbar'}\hlstd{,} \hlkwc{plot} \hlstd{=} \hlnum{FALSE}\hlstd{,} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom pre optimizacije procesa"}\hlstd{)}
\hlkwd{process.capability}\hlstd{(objX,} \hlkwc{spec.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(LSL,USL),} \hlkwc{restore.par}\hlstd{=}\hlstr{"TRUE"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
##
## Process Capability Analysis
##
## Call:
## process.capability(object = objX, spec.limits = c(LSL, USL), restore.par = "TRUE")
##
## Number of obs = 1000 Target = 30
## Center = 31.32 LSL = 27.3
## StdDev = 0.7391 USL = 32.7
##
## Capability indices:
##
## Value 2.5% 97.5%
## Cp 1.2177 1.1643 1.2710
## Cp_l 1.8133 1.7443 1.8822
## Cp_u 0.6220 0.5933 0.6508
## Cp_k 0.6220 0.5878 0.6563
## Cpm 0.5947 0.5601 0.6292
##
## Exp
## Exp>USL 3.1% Obs>USL 8.4%
\end{verbatim}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/Sposobnost_procesa_qcc-1} \caption[Sposobnost procesa]{Sposobnost procesa}\label{fig:Sposobnost_procesa_qcc}
\end{figure}
\end{knitrout}
Na slici \ref{fig:Sposobnost_procesa_qcc} se pored vrednosti indeksa
sposobnosti procesa prikazuje i očekivani udeo neodgovarajućih proizvoda
koji su ispod donje granice i iznad gornje granice specifikacije,
kao i udeo neodgovarajućih proizvoda u uzorku.
~
Prema Pravilniku o prethodno upakovanim proizvodima \cite{pravilnik}
definisano je samo dozvoljeno negativno odstupanje, gornja dozvoljena
granica nije definisana.
Prema zahtevima Pravilnika proizvođač mora da ispoštuje tri osnovna
pravila:
\begin{itemize}
\item da je srednja vrednost veća ili jednaka nominalnoj
\item da je udeo proizvoda sa masom manjom od dozvoljenog negativnog odstupanja
manji od 2,5\%,
\item da ne postoje proizvodi sa masom manjom od dvostruke vrednosti dozvoljenog
negativnog odstupanja.
\end{itemize}
Na osnovu statističke analize datog procesa zaključujemo da:
\begin{itemize}
\item proces odgovara zahtevima Pravilnika, verovatnoća nastanka neodgovarajućih
proizvoda čija je masa ispod dozvoljene granice je veoma mala,
\item je udeo proizvoda čija je masa veća od nominalne vrednosti 90.37\%
\item u prisustvu samo opštih poremećaja u procesu, uz standardno odstupanje
od 0.7392 g, uz pretpostavku da je srednja
vrednost približno jednaka nazivnoj masi, prema pravilu tri sigme,
99.7\% proizvoda će imati masu u intervalu 3 sigme, 27.78
i 32.22 g.
\end{itemize}
Na osnovu prethodno iznetih zaključaka proces je u mogućnosti da daje
proizvode prema zahtevima Pravilnika \cite{pravilnik} ako je srednja
vrednost približno jednaka nazivnoj masi.
Zahtev Pravilnika da srednja vrednost serije bude veća od nominalne
vrednosti možemo formulisati kao verovatnoću da je srednja vrednost
uzorka, $\bar{X}$ veća od nominalne, $NOM$ jednak jedinici:
\[
P[\bar{X}\geqslant NOM]=1.00
\]
odnosno uz rizik od 5\% i pretpostavkom da uzoračka srednja vrednost
sledi normalnu raspodelu $\mathcal{N}\left(\mu,\sigma/\sqrt{n}\right)$
\[
P[\bar{X}\geqslant NOM]=0.95
\]
\[
P[\bar{X}<\frac{NOM-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}]=1-0.95
\]
\[
p[Z<\frac{NOM-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}]=1-0.95
\]
\[
\frac{NOM-\mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=qnorm(1-0.95)
\]
\begin{equation}
\mu_{0}=NOM-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}*qnorm(1-0.95)\label{eq:optmasa}
\end{equation}
Optimalna srednja vrednost mase procesa se dobija prema jednačini
\ref{eq:optmasa} \cite{chandra2001statistical}:
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{proc.gran1} \hlkwb{<-} \hlnum{0.025}
\hlstd{proc.gran2} \hlkwb{<-} \hlnum{0.001}
\hlstd{opt.masa} \hlkwb{<-} \hlstd{nom.vred} \hlopt{-} \hlstd{(sigma.kapa.long} \hlopt{*} \hlkwd{qnorm}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlopt{-}\hlnum{0.95}\hlstd{)}\hlopt{/}\hlstd{(}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(ukup.broj.uzor)))}
\hlstd{opt.masa}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 30.05274
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Da bi se ispoštovali zahtevi Pravilnika potrebno je proces voditi
sa ciljanom srednjom vrednošću od 30.05 g.
\subsection{Kontrolne karte}
Da bi se ispoštovali zahtevi Pravilnika \cite{pravilnik} nije dovoljno
proces voditi sa ciljanom srednjom vrednošću, već je potrebno njeno
praćenje u cilju kontrole da li je pod statističkom kontrolom, a u
slučaju da nije preduzeti korigujuće akcije.
Radi prikaza kontrolnih karata proces je praćen u toku 3 sata. Uzorci
obima 10 su uzeti svakih deset minuta, i podaci prikazani na kontrolnim
kartama.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{masa.dataaft} \hlkwb{<-} \hlkwd{read.csv}\hlstd{(}\hlstr{'kidyposle.csv'}\hlstd{)}
\hlstd{masa.data1aft} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.dataaft[,}\hlopt{-}\hlstd{(}\hlnum{1}\hlstd{)]}
\hlstd{masa.data.kolaft} \hlkwb{<-} \hlkwd{melt}\hlstd{(masa.dataaft,} \hlkwc{id}\hlstd{=}\hlstr{'UZORAKAFT'}\hlstd{)}
\hlstd{masa.data.kol1aft} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data.kolaft}
\hlstd{masa.data.kol1aft}\hlopt{$}\hlstd{variable} \hlkwb{<-} \hlkwa{NULL}
\hlkwd{names}\hlstd{(masa.data.kol1aft)[}\hlkwd{names}\hlstd{(masa.data.kol1aft)}\hlopt{==}\hlstr{"value"}\hlstd{]} \hlkwb{<-} \hlstr{"MASAAFT"}
\hlstd{masa.data.kol2aft} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data.kol1aft}
\hlstd{masa.data.kol2aft}\hlopt{$}\hlstd{UZORAK1AFT} \hlkwb{<-} \hlkwd{as.factor}\hlstd{(masa.data.kol1aft}\hlopt{$}\hlstd{UZORAKAFT)}
\hlkwd{attach}\hlstd{(masa.data.kol2aft)}
\hlstd{masa2aft} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc.groups}\hlstd{(MASAAFT, UZORAKAFT)}
\hlstd{masaaft} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc.groups}\hlstd{(MASAAFT, UZORAKAFT)}
\hlstd{masa.taft} \hlkwb{<-} \hlkwd{t}\hlstd{(masaaft)}
\hlstd{masa.tablaaft} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.data1aft}
\hlstd{masa.tablaaft}\hlopt{$}\hlstd{min} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1aft,}\hlnum{1}\hlstd{,min)}
\hlstd{masa.tablaaft}\hlopt{$}\hlstd{max} \hlkwb{<-} \hlkwd{apply}\hlstd{(masa.data1aft,}\hlnum{1}\hlstd{,max)}
\hlstd{masa.tablaaft}\hlopt{$}\hlstd{R} \hlkwb{<-} \hlstd{masa.tablaaft}\hlopt{$}\hlstd{max}\hlopt{-}\hlstd{masa.tablaaft}\hlopt{$}\hlstd{min}
\hlstd{R.bar} \hlkwb{<-} \hlkwd{mean}\hlstd{(masa.tablaaft}\hlopt{$}\hlstd{R)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Centralna linija je određena na osnovu jednačine \ref{eq:optmasa},
a gornja i donja kontrolna granica za $\bar{x}$- kartu prema jednačinama
\ref{eq:xbarcont}, a za R-kartu prema jednačinama \ref{eq:rcont}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{cent.line} \hlkwb{<-} \hlstd{opt.masa}
\hlstd{d2} \hlkwb{<-} \hlkwd{as.numeric}\hlstd{(}\hlkwd{ss.cc.getd2}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1)))}
\hlstd{d3} \hlkwb{<-} \hlkwd{as.numeric}\hlstd{(}\hlkwd{ss.cc.getd3}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1)))}
\hlstd{lower.con.lx} \hlkwb{<-} \hlstd{cent.line} \hlopt{-} \hlstd{((R.bar} \hlopt{*} \hlnum{3}\hlstd{)}\hlopt{/}\hlstd{(d2}\hlopt{*}\hlstd{(}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1)))))}
\hlstd{upper.con.lx} \hlkwb{<-} \hlstd{cent.line} \hlopt{+} \hlstd{((R.bar} \hlopt{*} \hlnum{3}\hlstd{)}\hlopt{/}\hlstd{(d2}\hlopt{*}\hlstd{(}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(}\hlkwd{ncol}\hlstd{(masa.data1)))))}
\hlstd{lower.con.lR} \hlkwb{<-} \hlstd{R.bar} \hlopt{-} \hlnum{3} \hlopt{*} \hlstd{R.bar} \hlopt{*} \hlstd{d3}\hlopt{/}\hlstd{d2}
\hlstd{upper.con.lR} \hlkwb{<-} \hlstd{R.bar} \hlopt{+} \hlnum{3} \hlopt{*} \hlstd{R.bar} \hlopt{*} \hlstd{d3}\hlopt{/}\hlstd{d2}
\hlstd{objS0} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc}\hlstd{(masa,} \hlkwc{type}\hlstd{=}\hlstr{"S"}\hlstd{,} \hlkwc{plot} \hlstd{=} \hlnum{FALSE}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Kontrolne karte se u programskom jeziku mogu dobiti korišćenjem funkcije
\texttt{qcc()} iz paketa \texttt{qcc} \cite{qcc}. Kontrolna karta
$\bar{x}$- karta je prikazana na slici \ref{fig:xkarta_qcc}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objX} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc}\hlstd{(masaaft,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{'xbar'}\hlstd{,}\hlkwc{center} \hlstd{= cent.line,}
\hlkwc{limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(lower.con.lx, upper.con.lx),}\hlkwc{label.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{),} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=\maxwidth]{figure/xkarta_qcc-1} \caption[X karta]{X karta}\label{fig:xkarta_qcc}
\end{figure}
\end{knitrout}
Kontrolna karta R-karta je prikazana na slici \ref{fig:rkarta_qcc}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objR} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc}\hlstd{(masaaft,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{'R'}\hlstd{,}\hlkwc{center} \hlstd{= R.bar,}
\hlkwc{limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(lower.con.lR, upper.con.lR),}\hlkwc{label.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{),} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/rkarta_qcc-1} \caption[R karta]{R karta}\label{fig:rkarta_qcc}
\end{figure}
\end{knitrout}
Kontrolna karta S-karta je prikazana na slici \ref{fig:skarta_qcc}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objS} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc}\hlstd{(masaaft,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{'S'}\hlstd{,}\hlkwc{label.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{),} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/skarta_qcc-1} \caption[S karta]{S karta}\label{fig:skarta_qcc}
\end{figure}
\end{knitrout}
Kontrolne karte $\bar{x}$-karta, R-karta i S-karta služe za utvrđivanje
prisustva posebnih poremećaja u procesu. Vrednosti izvan kontrolnih
granica ili pojava obrazaca (više uzastopnih tačaka iznad ili ispod
centralne linije) koje pokazuju trend rasta ili opadanja ukazuju na
to da je proces van kontrole, odnosno da postoje značajni uzroci koje
treba identifikovati i otkloniti, tj. potrebne su korigujuće akcije.
Na prezentovnom primeru $\bar{x}$-karte na slici \ref{fig:xkarta_qcc}
uočene tačke van kontrolnih granica ukazuju na promene u srednjem
kvalitetu procesa, i da su u procesu potrebne mere korekcije. Primenom
korigujućih akcija (smanjenjem ili produžavanjem dužine štanglice)
proces je doveden u stanje kontrole, tačke na kontrolnoj karti su
unutar kontrolnih granica. Pošto su tačke na R i S karti, prikazane
na slikama \ref{fig:rkarta_qcc} i \ref{fig:skarta_qcc} unutar kontrolnih
granica ne postoje indicije da je proces van kontrole, odnosno mere
varijacije su u zadanim granicama.
Za detektovanje manjih poremećaja u srednjoj vrednosti se koriste
CUSUM i EWMA karte, prikazane na slici \ref{fig:cusumkarta_qcc} i
\ref{fig:ewmakarta_qcc}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objCusum} \hlkwb{<-} \hlkwd{cusum}\hlstd{(masaaft,}\hlkwc{label.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{),} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/cusumkarta_qcc-1} \caption[Cusum karta]{Cusum karta}\label{fig:cusumkarta_qcc}
\end{figure}
\end{knitrout}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objEwma} \hlkwb{<-} \hlkwd{ewma}\hlstd{(masaaft,}\hlkwc{label.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{,}\hlstr{""}\hlstd{),} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom"}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/ewmakarta_qcc-1} \caption[Ewma karta]{Ewma karta}\label{fig:ewmakarta_qcc}
\end{figure}
\end{knitrout}
Upoređujući $\bar{x}$-karte prikazane na slici \ref{fig:xkarta_qcc}
sa Cusum kartom na \ref{fig:cusumkarta_qcc} i EWMA kartom na slici
\ref{fig:ewmakarta_qcc} jasno se vidi da su Cusum i EWMA karte u
mogućnosti da detektuju i manje promene u srednjoj vrednosti pošto
one uzimaju u obzir varijacije u više uzastopnih uzetih uzoraka. Dok
$\bar{x}$-karte prikazuju da je proces pod kontrolom, prema Cusum
i Ewma kartama proces je van kontrole.
Upoređujući sposobnosti procesa iz podataka prikupljenih iz prethodnih
procesa iz dužeg vremenskog perioda prikazane na slici \ref{fig:Sposobnost-procesa}
i procesa koji se pratio pomoću kontrolnih karti (slika \ref{fig:sposobnostafter})
može se zaključiti da se primenom statističkih metoda proces može
voditi na optimalnom nivou.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{objX} \hlkwb{<-} \hlkwd{qcc}\hlstd{(masaaft,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{'xbar'}\hlstd{,} \hlkwc{plot} \hlstd{=} \hlnum{FALSE}\hlstd{,} \hlkwc{data.name}\hlstd{=}\hlstr{"Kidy sa mlekom"}\hlstd{)}
\hlkwd{process.capability}\hlstd{(objX,} \hlkwc{spec.limits} \hlstd{=} \hlkwd{c}\hlstd{(LSL,USL))}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
##
## Process Capability Analysis
##
## Call:
## process.capability(object = objX, spec.limits = c(LSL, USL))
##
## Number of obs = 300 Target = 30
## Center = 30.11 LSL = 27.3
## StdDev = 0.3715 USL = 32.7
##
## Capability indices:
##
## Value 2.5% 97.5%
## Cp 2.423 2.229 2.617
## Cp_l 2.520 2.348 2.693
## Cp_u 2.325 2.166 2.485
## Cp_k 2.325 2.135 2.516
## Cpm 2.325 2.132 2.518
##
## Exp
## Exp>USL 0% Obs>USL 0%
\end{verbatim}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
\includegraphics[width=1\linewidth]{figure/sposobnostafter-1} \caption[Sposobnost procesa]{Sposobnost procesa}\label{fig:sposobnostafter}
\end{figure}
\end{knitrout}
Vrednosti indeksa sposobnosti procesa $C_{p}$ i $C_{pk}$ sa 1,22
i 0,62 se povećali na 2,42 i 2,35 a da je procenat proizvoda izvan
granica specifikacija smanjio sa 3,1\% na 0\%.
\subsection{Kontrola prijema robe}
Svrha kontrole mase proizvoda definisana u Pravilniku, jeste da proveri
da li je prosek stvarne mase proizvoda u seriji najmanje jednak nazivnoj
masi i, istovremeno, da li je broj prethodno upakovanih proizvoda
sa masom proizvoda manjom od dozvoljenih odstupanja prihvatljiv.
Ako se proizvodni proces proverava putem provera metodom slučajnog
uzorkovanja, proizvođač mora uspostaviti postupke koji efikasno obezbeđuju
da prethodno upakovani proizvodi ispunjavaju zahteve Pravilnika, odnosno
da se proizvode u skladu sa priznatim postupcima. Efikasnost metode
kontrole prihvatljivosti serije poredi se sa referentnom metodom definisana
u Pravilniku \cite{pravilnik}.
Prema kriterijumu za minimalnu prihvatljivu masu, plan uzorkovanja
smatra se uporedivim sa vrednostima preporučenih u Pravilniku, ako
vrednost na apscisi za tačku 0,10 na ordinati operativne karakteristične
krive prvog plana (verovatnoća prihvatanja serije iznosi 0,10) odstupa
manje od 15 \% od apscise odgovarajuće tačke operativne karakteristične
krive plana uzorkovanja preporučenog u Pravilniku, odnosno
\begin{equation}
\left[p_{10i}-p_{10r}\right]<15\%\:p_{10r}\label{eq:apscisaudeo}
\end{equation}
gde je $p_{10i}$ udeo defektnih proizvoda sa verovatnoćom prihvatanja
serije od 10\% prema internom planu uzorkovanja, a $p_{10r}$ udeo
defektnih proizvoda sa verovatnoćom prihvatanja serije od 10\% prema
referentnom planu uzorkovanja.
Referentni plan uzorkovanja u slučaju procesa koji na sat daje više
od 10000 kom proizvoda je n=125, d=7 je prikazan na slici \ref{fig:ocref}.
Operaciona kriva je definisana jednačinom kumulativne binomne raspodele
\cite{oiml}:
\[
P_{A}=\sum_{i=0}^{i=d}C_{n}^{i}p^{d}(1-p)^{n-1}
\]
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{par}\hlstd{(}\hlkwc{cex}\hlstd{=}\hlnum{0.7}\hlstd{)}
\hlstd{n} \hlkwb{<-} \hlnum{125}
\hlstd{d} \hlkwb{<-} \hlnum{7}
\hlstd{p} \hlkwb{<-} \hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0} \hlstd{,} \hlnum{0.16}\hlstd{,} \hlkwc{by} \hlstd{=} \hlnum{0.0001}\hlstd{)}
\hlstd{Pa} \hlkwb{<-} \hlkwd{pbinom}\hlstd{(}\hlkwc{q} \hlstd{= d,} \hlkwc{size} \hlstd{= n,} \hlkwc{prob} \hlstd{= p)}
\hlstd{ni} \hlkwb{<-} \hlnum{74}
\hlstd{di} \hlkwb{<-} \hlnum{4}
\hlstd{pi} \hlkwb{<-} \hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0} \hlstd{,} \hlnum{0.16}\hlstd{,} \hlkwc{by} \hlstd{=} \hlnum{0.0001}\hlstd{)}
\hlstd{Pai} \hlkwb{<-} \hlkwd{pbinom}\hlstd{(}\hlkwc{q} \hlstd{= di,} \hlkwc{size} \hlstd{= ni,} \hlkwc{prob} \hlstd{= p)}
\hlkwd{plot}\hlstd{(Pa} \hlopt{~} \hlstd{p,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{"l"}\hlstd{,} \hlkwc{lwd} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,} \hlkwc{las} \hlstd{=} \hlnum{1}\hlstd{,}
\hlkwc{xlab} \hlstd{=} \hlstr{"Udeo defektnih"}\hlstd{,}
\hlkwc{ylab} \hlstd{=} \hlstr{"Verovatnoca prihvatanja serije"}\hlstd{)}
\hlkwd{abline}\hlstd{(}\hlkwc{h}\hlstd{=}\hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{lty}\hlstd{=}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.0927}\hlstd{,} \hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlnum{0.0927}\hlstd{,} \hlnum{0}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,}\hlkwc{length} \hlstd{=} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{)}
\hlkwd{abline}\hlstd{(}\hlkwc{h}\hlstd{=}\hlnum{0.95}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{lty}\hlstd{=}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.07}\hlstd{,} \hlnum{0.89}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"A.Q.L. = 3,22%"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.14}\hlstd{,} \hlnum{0.15}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"L.T.D.P. = 9,24%"}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.03224}\hlstd{,} \hlnum{0.95}\hlstd{,} \hlnum{0.03224}\hlstd{,} \hlnum{0}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,}\hlkwc{length} \hlstd{=} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.033}\hlstd{,} \hlopt{-}\hlnum{0.02}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"A.Q.L"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.0927}\hlstd{,} \hlopt{-}\hlnum{0.02}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"L.T.D.P"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.07}\hlstd{,} \hlnum{0.99}\hlstd{,} \hlkwd{bquote}\hlstd{(}\hlkwd{paste}\hlstd{(}\hlstr{"rizik proizvodjaca "}\hlstd{, alpha,}\hlstr{" = 5%"}\hlstd{)))}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.14}\hlstd{,} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwd{bquote}\hlstd{(}\hlkwd{paste}\hlstd{(}\hlstr{"rizik kupca "}\hlstd{, beta,}\hlstr{" = 10%"}\hlstd{)))}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
{\centering \includegraphics[width=1\linewidth]{figure/ocref-1}
}
\caption[Operaciona kriva n=125, d=7]{Operaciona kriva n=125, d=7}\label{fig:ocref}
\end{figure}
\end{knitrout}
Operaciona kriva u programskom jeziku R može dobiti funkcijom \texttt{OC2c()}
iz paketa Acceptance Sampling \cite{Kiermeier:2008aa}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{refplan} \hlkwb{<-} \hlkwd{OC2c}\hlstd{(n,d,} \hlkwc{pd}\hlstd{=}\hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0.09225}\hlstd{,}\hlnum{0.0934}\hlstd{,}\hlnum{0.0001}\hlstd{))}
\hlkwd{summary}\hlstd{(refplan,} \hlkwc{full}\hlstd{=}\hlnum{TRUE}\hlstd{)}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## Acceptance Sampling Plan (binomial)
##
## Sample 1
## Sample size(s) 125
## Acc. Number(s) 7
## Rej. Number(s) 8
##
## Detailed acceptance probabilities:
##
## Prop. defective P(accept)
## 0.09225 0.10078038
## 0.09235 0.10013588
## 0.09245 0.09949478
## 0.09255 0.09885709
## 0.09265 0.09822279
## 0.09275 0.09759187
## 0.09285 0.09696431
## 0.09295 0.09634010
## 0.09305 0.09571924
## 0.09315 0.09510171
## 0.09325 0.09448750
## 0.09335 0.09387659
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Iz operacione krive se vidi da će se sa verovatnoćom od 10\% prihvatiti
serija sa procentom defektnih proizvoda od 9,24\%, odnosno da je $p_{10r}=$
0,0924, a iz jednačine \ref{eq:apscisaudeo} dobija se da:
\[
p_{10i}<1,15\,p_{10r}
\]
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{p10r} \hlkwb{<-} \hlnum{0.0924}
\hlstd{p10i} \hlkwb{<-} \hlnum{1.15} \hlopt{*} \hlstd{p10r}
\hlstd{p10i}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 0.10626
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
odnosno, $p_{10i}$ treba da je manja od 10.63\%.
Odnosno potrebno je naći plan uzorkovanja gde će se sa verovatnoćom
od 10\% (rizik kupca) biti prihvaćena serija sa procentom defektnih
proizvoda od 10.63\%, uz istovremenim rizikom
proizvođača od 5\%, da će se sa verovatnoćom od 95\% prihvatiti serija
sa procentom defektnih proizvoda od 2,5\%.
Plan uzorkovanja prema zadatim uslovima se u programskom jeziku R
može dobiti funkcijom \texttt{find.plan() }iz paketa Acceptance Sampling.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{PRP} \hlkwb{<-} \hlkwd{c}\hlstd{(}\hlnum{0.025}\hlstd{,}\hlnum{0.95}\hlstd{)}
\hlstd{CRP} \hlkwb{<-} \hlkwd{c}\hlstd{(p10i,}\hlnum{0.1}\hlstd{)}
\hlstd{planuzor} \hlkwb{<-} \hlkwd{find.plan}\hlstd{(PRP, CRP)}
\hlstd{planuzor}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## $n
## [1] 74
##
## $c
## [1] 4
##
## $r
## [1] 5
\end{verbatim}
\begin{alltt}
\hlstd{plankontrole}\hlkwb{<-}\hlkwd{OC2c}\hlstd{(planuzor}\hlopt{$}\hlstd{n,planuzor}\hlopt{$}\hlstd{c)}
\hlkwd{assess}\hlstd{(plankontrole, PRP, CRP)}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## Acceptance Sampling Plan (binomial)
##
## Sample 1
## Sample size(s) 74
## Acc. Number(s) 4
## Rej. Number(s) 5
##
## Plan CAN meet desired risk point(s):
##
## Quality RP P(accept) Plan P(accept)
## PRP 0.02500 0.95 0.96194982
## CRP 0.10626 0.10 0.09487687
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Da bi se ispoštovala oba rizika potrebno je uzeti 74 uzoraka sa maksimalno
dozvoljenih 4 defektnih uzorka. Sa funkcijom \texttt{assess() }moguće
je proveriti da li dati plan zadovoljava zadate rizike.
\begin{center}
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{par}\hlstd{(}\hlkwc{cex}\hlstd{=}\hlnum{0.7}\hlstd{)}
\hlstd{n} \hlkwb{<-} \hlnum{125}
\hlstd{d} \hlkwb{<-} \hlnum{7}
\hlstd{p} \hlkwb{<-} \hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0} \hlstd{,} \hlnum{0.16}\hlstd{,} \hlkwc{by} \hlstd{=} \hlnum{0.0001}\hlstd{)}
\hlstd{Pa} \hlkwb{<-} \hlkwd{pbinom}\hlstd{(}\hlkwc{q} \hlstd{= d,} \hlkwc{size} \hlstd{= n,} \hlkwc{prob} \hlstd{= p)}
\hlstd{ni} \hlkwb{<-} \hlnum{74}
\hlstd{di} \hlkwb{<-} \hlnum{4}
\hlstd{pi} \hlkwb{<-} \hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0} \hlstd{,} \hlnum{0.16}\hlstd{,} \hlkwc{by} \hlstd{=} \hlnum{0.0001}\hlstd{)}
\hlstd{Pai} \hlkwb{<-} \hlkwd{pbinom}\hlstd{(}\hlkwc{q} \hlstd{= di,} \hlkwc{size} \hlstd{= ni,} \hlkwc{prob} \hlstd{= p)}
\hlkwd{plot}\hlstd{(Pa} \hlopt{~} \hlstd{p,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{"l"}\hlstd{,} \hlkwc{lwd} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,} \hlkwc{las} \hlstd{=} \hlnum{1}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=} \hlstr{"grey"}\hlstd{,}
\hlkwc{xlab} \hlstd{=} \hlstr{"Udeo defektnih"}\hlstd{,}
\hlkwc{ylab} \hlstd{=} \hlstr{"Verovatnoca prihvatanja serije"}\hlstd{)}
\hlkwd{lines}\hlstd{(Pai}\hlopt{~}\hlstd{pi,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"red"}\hlstd{)}
\hlkwd{abline}\hlstd{(}\hlkwc{h}\hlstd{=}\hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{lty}\hlstd{=}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.0927}\hlstd{,} \hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlnum{0.0927}\hlstd{,} \hlnum{0}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,}\hlkwc{length} \hlstd{=} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.106}\hlstd{,} \hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlnum{0.106}\hlstd{,} \hlnum{0}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,}\hlkwc{length} \hlstd{=} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{)}
\hlkwd{abline}\hlstd{(}\hlkwc{h}\hlstd{=}\hlnum{0.95}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{lty}\hlstd{=}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.134}\hlstd{,} \hlnum{0.60}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"Referentni plan: n=125, d=7"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.1288}\hlstd{,} \hlnum{0.55}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"Interni plan: n=74, d=4"}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.09}\hlstd{,}\hlnum{0.6}\hlstd{,}\hlnum{0.10}\hlstd{,}\hlnum{0.6}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{0}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.09}\hlstd{,}\hlnum{0.55}\hlstd{,}\hlnum{0.10}\hlstd{,}\hlnum{0.55}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"red"}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{0}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.03224}\hlstd{,} \hlnum{0.95}\hlstd{,} \hlnum{0.03224}\hlstd{,} \hlnum{0}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,}\hlkwc{length} \hlstd{=} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{0.0253}\hlstd{,} \hlnum{0.95}\hlstd{,} \hlnum{0.0253}\hlstd{,} \hlnum{0}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,}\hlkwc{length} \hlstd{=} \hlnum{0.05}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.039}\hlstd{,} \hlopt{-}\hlnum{0.02}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"3,22%"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.0927}\hlstd{,} \hlopt{-}\hlnum{0.02}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"9,24%"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.019}\hlstd{,} \hlopt{-}\hlnum{0.02}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"2,56%"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.11}\hlstd{,} \hlopt{-}\hlnum{0.02}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"10,06%"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.15}\hlstd{,} \hlnum{0.95}\hlstd{,} \hlkwd{bquote}\hlstd{(}\hlkwd{paste}\hlstd{(alpha,}\hlstr{" = 5%"}\hlstd{)))}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{0.15}\hlstd{,} \hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlkwd{bquote}\hlstd{(}\hlkwd{paste}\hlstd{(beta,}\hlstr{" = 10%"}\hlstd{)))}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
{\centering \includegraphics[width=1\linewidth]{figure/ocint-1}
}
\caption[Uporedni prikaz O-C kriva]{Uporedni prikaz O-C kriva}\label{fig:ocint}
\end{figure}
\end{knitrout}
\par\end{center}
Prema kriterijumu za srednju vrednost izračunatu metodom standardne
devijacije, plan uzorkovanja smatra se uporedivim sa preporučenim
planom iz Pravilnika, ako, kada se porede operativne karakteristične
krive dva plana uzorkovanja, apscisa od 0,10 ordinate odgovarajuće
tačke krive prvog plana uzorkovanja odstupa manje od 0,05 od apscise
odgovarajuće tačke krive plana uzorkovanja, gde je vrednost na apcisa
osi: $\lambda=\frac{Q_{n}-\mu}{s}$ gde $\mu$ označava stvarnu srednju
vrednost serije, odnosno:
\begin{equation}
[\lambda_{10i}-\lambda_{10r}]<0.05\,\lambda_{10r}\label{eq:lambdaodst}
\end{equation}
Operaciona karakteristična kriva data je jednačinom:
\begin{equation}
P_{A}=F\left[t_{1-\frac{\alpha}{2}}-(\lambda\sqrt{n})\right]\label{eq:opsrednja}
\end{equation}
gde su:
$F$ funkcija Studentove raspodele
$P_{A}$ verovatnoća prihvatanja serije
$t_{1-\frac{\alpha}{2}}$ koeficijent pouzdanosti Studentove raspodele
sa (n-1) stepeni slobode
$\lambda=\frac{Q_{n}-\mu}{s}$ odstupanje srednje vrednosti izražena
u procentima procenjene standardne devijacije
Referentni plan uzorkovanja, odnosno broj proizvoda u uzorku je 50
u slučaju procesa gde je jednočasovna proizvodnja veća od 500 komada,
a referentna operaciona kriva dobijena jednačinom \ref{eq:opsrednja}
uz rizik kupca od 10\% je prikazana na slici \ref{fig:ocsrednja}.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{par}\hlstd{(}\hlkwc{cex}\hlstd{=}\hlnum{0.7}\hlstd{)}
\hlstd{rizik} \hlkwb{<-} \hlnum{10}
\hlstd{alfa} \hlkwb{<-} \hlstd{rizik}\hlopt{/}\hlnum{100}
\hlstd{nivopouzdanossti} \hlkwb{<-} \hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{alfa}
\hlstd{conflevel} \hlkwb{<-} \hlnum{1}\hlopt{-}\hlstd{(alfa}\hlopt{/}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlstd{n} \hlkwb{<-}\hlnum{50}
\hlstd{t}\hlkwb{<-}\hlkwd{qt}\hlstd{(conflevel,} \hlkwc{df}\hlstd{=n}\hlopt{-}\hlnum{1}\hlstd{)}
\hlstd{lambda} \hlkwb{<-} \hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0}\hlstd{,}\hlnum{1}\hlstd{,}\hlnum{0.001}\hlstd{)}
\hlstd{lambdasto} \hlkwb{<-} \hlstd{lambda} \hlopt{*}\hlnum{100}
\hlstd{prekom} \hlkwb{<-}\hlnum{0}
\hlstd{pro} \hlkwb{<-} \hlstd{t}\hlopt{-}\hlstd{lambda}\hlopt{*}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(n)}
\hlstd{probab} \hlkwb{<-} \hlkwd{pt}\hlstd{(pro,} \hlkwc{df}\hlstd{=n}\hlopt{-}\hlnum{1}\hlstd{)}
\hlstd{probabsto} \hlkwb{<-} \hlstd{probab} \hlopt{*}\hlnum{100}
\hlkwd{plot}\hlstd{(lambdasto, probab,} \hlkwc{type} \hlstd{=} \hlstr{"l"}\hlstd{,} \hlkwc{lwd} \hlstd{=} \hlnum{2}\hlstd{,} \hlkwc{las} \hlstd{=} \hlnum{1}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=} \hlstr{"grey"}\hlstd{,}
\hlkwc{xlab} \hlstd{=} \hlstr{"Odstupanje srednje vrednost u % standardne devijacije"}\hlstd{,}
\hlkwc{ylab} \hlstd{=} \hlstr{"Verovatnoca prihvatanja serije"}\hlstd{)}
\hlkwd{abline}\hlstd{(}\hlkwc{h}\hlstd{=}\hlnum{0.1}\hlstd{,} \hlkwc{col} \hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{lty}\hlstd{=}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{80}\hlstd{,} \hlnum{0.60}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"Referentni plan: n = 50"}\hlstd{)}
\hlkwd{text}\hlstd{(}\hlnum{77}\hlstd{,} \hlnum{0.55}\hlstd{,} \hlkwc{labels}\hlstd{=}\hlstr{"Interni plan: n = 46"}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{50}\hlstd{,}\hlnum{0.6}\hlstd{,}\hlnum{60}\hlstd{,}\hlnum{0.6}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"grey"}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{0}\hlstd{)}
\hlkwd{arrows}\hlstd{(}\hlnum{50}\hlstd{,}\hlnum{0.55}\hlstd{,}\hlnum{60}\hlstd{,}\hlnum{0.55}\hlstd{,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{"red"}\hlstd{,} \hlkwc{code} \hlstd{=} \hlnum{0}\hlstd{)}
\hlstd{n.int} \hlkwb{<-}\hlnum{46}
\hlstd{t.int}\hlkwb{<-}\hlkwd{qt}\hlstd{(conflevel,} \hlkwc{df}\hlstd{=n.int}\hlopt{-}\hlnum{1}\hlstd{)}
\hlstd{lambdaint} \hlkwb{<-} \hlkwd{seq}\hlstd{(}\hlnum{0}\hlstd{,}\hlnum{1}\hlstd{,}\hlnum{0.001}\hlstd{)}
\hlstd{lambdasto.int} \hlkwb{<-} \hlstd{lambdaint} \hlopt{*}\hlnum{100}
\hlstd{pro.int} \hlkwb{<-} \hlstd{t.int}\hlopt{-}\hlstd{lambdaint}\hlopt{*}\hlkwd{sqrt}\hlstd{(n.int)}
\hlstd{probab.int} \hlkwb{<-} \hlkwd{pt}\hlstd{(pro.int,} \hlkwc{df}\hlstd{=n.int}\hlopt{-}\hlnum{1}\hlstd{)}
\hlstd{probabsto.int} \hlkwb{<-} \hlstd{probab.int} \hlopt{*}\hlnum{100}
\hlkwd{lines}\hlstd{(probab.int}\hlopt{~}\hlstd{lambdasto.int,} \hlkwc{col}\hlstd{=}\hlstr{'red'}\hlstd{)}
\end{alltt}
\end{kframe}\begin{figure}[H]
{\centering \includegraphics[width=1\linewidth]{figure/ocsrednja-1}
}
\caption[Referentna i interna O-C kriva (n = 50 i 46)]{Referentna i interna O-C kriva (n = 50 i 46)}\label{fig:ocsrednja}
\end{figure}
\end{knitrout}
Referentna operaciona kriva pokazuje da će se sa 10\% verovatnoće
prihvatiti serija čije je odstupanje srednje vrednosti od nomilne
vrednosti manja za 42,1\% procenjene standardne devijacije, odnosno
$\lambda_{10r}=$ 42,1\%.
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlkwd{options}\hlstd{(}\hlkwc{scipen}\hlstd{=}\hlnum{999}\hlstd{)}
\hlstd{kol2} \hlkwb{<-} \hlkwd{round}\hlstd{(probabsto,}\hlnum{1}\hlstd{)}
\hlstd{kol3} \hlkwb{<-} \hlkwd{round}\hlstd{(lambdasto,}\hlnum{2}\hlstd{)}
\hlstd{koldata} \hlkwb{<-} \hlkwd{data.frame}\hlstd{( kol2, kol3)}
\hlstd{lambda.ref} \hlkwb{<-} \hlkwd{c}\hlstd{(koldata[}\hlkwd{which}\hlstd{(koldata}\hlopt{$}\hlstd{kol2}\hlopt{==}\hlnum{10}\hlstd{),}\hlnum{1}\hlstd{],koldata[}\hlkwd{which}\hlstd{(koldata}\hlopt{$}\hlstd{kol2}\hlopt{==}\hlnum{10}\hlstd{),}\hlnum{2}\hlstd{] )}
\hlstd{lambda.ref}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 10.0 42.1
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
A prema zahtevu Pravilnika prema jednačini \ref{eq:lambdaodst} dobija
se:
\[
\lambda_{10i}<1.05\,\lambda_{10r}
\]
\begin{knitrout}\footnotesize
\definecolor{shadecolor}{rgb}{0.969, 0.969, 0.969}\color{fgcolor}\begin{kframe}
\begin{alltt}
\hlstd{lambda.int} \hlkwb{<-} \hlnum{1.05} \hlopt{*} \hlstd{lambda.ref[}\hlnum{2}\hlstd{]}
\hlstd{lambda.int}
\end{alltt}
\begin{verbatim}
## [1] 44.205
\end{verbatim}
\end{kframe}
\end{knitrout}
Što znači da će plan uzorkovanja biti uporediv sa referentnim planom
uzorkovanja ako će se sa verovatnoćom od 10\% prihvatiti serija sa
$\lambda_{10i}=$ 44.21\%. Na osnovu jednačine
operacione krive \ref{eq:opsrednja} plan uzorkovanja prema zadatim
uslovima treba da ima 46 proizvoda u uzorku.
Na osnovu referentnih operacionih krivi da bi planovi uzorkovanja
bili uporedivi sa preporučenim planovima uzorkovanja iz Pravilnika,
za proveru minimalne prihvatljive mase plan uzorkovanja treba da je
74 uzoraka od kojih 4 uzoraka sme da bude ispod granice specifikacije,
a za proveru srednje vrednosti je potrebno uzeti 46 uzoraka.
\pagebreak{}
\section{Zaključci}
Primena statističke kontrole kvaliteta je neizbežan segment u savremenom
vođenju procesa proizvodnje. Merenje, analiza i unapređenje proizvodnog
procesa su neophodni koraci za postizanje optimalnih ciljeva i smanjenje
troškova proizvodnje.
Korišćenje statističkih metoda, kao što su grafičko i numeričko prikazivanje
srednje vrednosti i mere rasipanja, primena kontrolnih karata, pokazatelji
sposobnosti procesa, odabir optimalnih planova uzorkovanja omogućava
prevenciju pojave neusaglašenosti i monitoring procesa, neprekidno
unapređenje i usavršavanje.
U prezentovanom primeru primene statističke kontrole kvaliteta u procesu
proizvodnje čokoladiranih štanglica su jasno uočljive preduzete mere
optimizacije procesa. Iz podataka prikupljenih tokom dužeg vremenskog
perioda se vidi da proces nije vođen optimalno, sa srednjom vredošću
mase većom za 1,32 g od nominalne, da su pokazatelji sposobnosti procesa
$C_{p}$ i $C_{pk}$ 1,22 i 0,62 respektivno i da je udeo proizvoda
izvan granica specifikacije 3,1\%. Nakon primene kontrolnih karata
srednja vrednost masa dovedena je blizu optimalnoj na 30,1 g, pokazatelji
sposobnosti procesa $C_{p}$ i $C_{pk}$ su se povećali na 2,42 i
2,32 respektivno, udeo proizvoda izvan granica specifikacije smanjen
je na 0\%.
U statističkoj kontroli kvaliteta koriste se različiti komercijalni
statistički programski paketi. Programski jezik R je adekvatna zamena
za komercijalne programske pakete kao programski paket otvorenog koda.
Velika prednost korišćenja R-a je dostupnost paketa koji su projektovani
za statističku kontrolu kvaliteta, kao što su paketi qcc, AcceptanceSamling,
SixSigma. Besplatno dostupna uputstva, video materijali i knjige o
primeni R-a u mnogome pomažu u usvajanju korišćenja čak i za početnike.
Ovaj seminarski rad je napisan u \LyX{}-u (ver. 2.1.4) na Mac OS X
10.11.4 operativnom sistemu. RStudio (ver. 0.99.491), kao okruženje
za programski jezik R (ver. 3.2.3) je korišćen za pisanje R kodova
i proveru generisanih rezultata odakle su prvobitno napisani R kodovi
kopirani i importovani u \LyX{}.
\LyX{} je tekst procesor zasnovan na \LaTeX{}-u koji omogućava generisanje
pdf fajlova i omogućava pisanje dokumenata u \LaTeX{} formatu bez
znanja \LaTeX{} komandi, te ga čini vrlo prihvatljim za početnike.
Za početne korisnike dostupna je elektronska knjiga o osnovama \LaTeX{}-a
\cite{latex}.
Aktiviranjem modula Rnw (knitr) u \LyX{}-u i instaliranjem paketa
knitr u RStudio-u omogućena je integracija R kodova u \LyX{} dokument
i reprodukcija rezultata generisanih iz R kodova u vidu pdf fajla.
Na internet adresi \cite{lyx} postoji tačno uputstvo o koracima za
aktiviranje modula Rnw(knitr) i načina importovanja R kodova u \LyX{}.
\pagebreak{}
\bibliographystyle{unsrtnat}
\addcontentsline{toc}{section}{\refname}\bibliography{Statistikanew}
\end{document}
