deletions | additions       diff --git a/text_xi__k_begin_equation__.tex b/text_xi__k_begin_equation__.tex  index 0839e35..a861d7c 100644  --- a/text_xi__k_begin_equation__.tex  +++ b/text_xi__k_begin_equation__.tex 
...
\item все случайные ошибки независимы друг от друга.щз  \end{itemize}  \text {  Для описания работы алгоритма возьмем $k$-й шаг шаг и предположим, что для него уже найдено $x_{k}^{opt}$ - значение, отфильтрованное фильтром Калмана, и которое довольно хорошо приближает истинное значение амплитуды. Поскольку заранее известно управление $u$ из вашеописанной системы уравнений, то можно предположить, что на следующем шаге система изменится согласно этому закону и значение с сенсора будут близки к $x_{k}^{opt} + u_{k}$.  }  \textbf{Идея Калмана:} \textit{необходимо получить наилучшее приближение к истинному значению амплитуды $x_{k+1}$. Для этого нужно выбрать "золотую середину" между показанием неточного сенсора и ожидаемым значением.}\cite{Kalman_filter} \textbf{  Идея Калмана:  }  \textit{  необходимо получить наилучшее приближение к истинному значению амплитуды $x_{k+1}$. Для этого нужно выбрать "золотую середину" между показанием неточного сенсора и ожидаемым значением.  }  \text {  Для этого введем Коэффициент Калмана $K$, который зависит от шага итерации. Показанию сенсора будет соответствовать вес $K_{k+1}$, а предсказанному значению $1-K_{k+1}$:  }  \begin{equation}  x_{k+1}^{opt} {x_{k+1}^{opt}  = K_{k+1} + y_{k+1} + (1-K_{k+1})\cdot(x_{k}^{opt} + u_{k})\tag{2} u_{k})\tag{2}}  \end{equation}  \text {  Необходимо выбрать коэффициент Калмана $K_{k+1}$ таким, чтобы получившееся оптимальное значение амплитуды $x_{k+1}^{opt}$ было бы наиболее близко к истинному . истинному.   \\В общем случае, для нахождения значения коэффициента Калмана необходимо минимизировать ошибку:  }  В общем случае, для нахождения значения коэффициента Калмана необходимо минимизировать ошибку: \begin{equation} e_{k+1} {e_{k+1}  = x_{k+1}-x_{k+1}^{opt}. x_{k+1}-x_{k+1}^{opt}}  \nonumber \\ \end{equation}  \text {  Подставляя данное выражение в (2) получаем:   }  \begin{equation} \nonumber \\  e_{k+1} {e_{k+1}  = (1-K_{k+1})(e_{k+1}+\xi_{k+1})-K_{k+1}\cdot\eta_{k+1} \nonumber (1-K_{k+1})(e_{k+1}+\xi_{k+1})-K_{k+1}\cdot\eta_{k+1}}\nonumber  \\ \end{equation}   \text {  Для минимизации ошибки будем минимизировать среднее значение от квадрата ошибки:  }  \begin{equation}   E(e^2_{k+1}) {E(e^2_{k+1})  \rightarrow min\nonumber min}\nonumber  \\ \end{equation} \text {  Выражение выше принимает минимальное значение в том случае, когда производная равна нулю:  }  Коэффициент Калмана примет следующий вид:  \begin{equation}   -2\cdot(1-K_{k+1})\cdot(Ee^{2}_{k}+\sigma_{\xi}^2)+2\cdot {-2\cdot(1-K_{k+1})\cdot(Ee^{2}_{k}+\sigma_{\xi}^2)+2\cdot  K_{k+1}\cdot \sigma_{\eta}^2=0\nonumber \sigma_{\eta}^2=0}\nonumber  \\ \end{equation}  \text {  Раскрываем скобки:  }  \begin{equation}  -Ee^{2}_{k}–\sigma_{\xi}^2+K_{k+1}\cdot {-Ee^{2}_{k}–\sigma_{\xi}^2+K_{k+1}\cdot  Ee^{2}_{k}+K_{k+1}\cdot \sigma_{\xi}+K_{k+1}\cdot \sigma_{\eta}^2=0\nonumber \sigma_{\eta}^2=0}\nonumber  \\ \end{equation}  \text {  Коэффициент Калмана примет следующий вид:  }  \begin{equation}  K_{k+1}=\frac{Ee^{2}_{k} + \sigma_{\xi}^2}{Ee^{2}_{k} + \sigma_{\xi}^2 + \sigma_{\eta}^2}\nonumber \\  \end{equation}