deletions | additions       diff --git a/untitled.tex b/untitled.tex  index 51de617..61f59cf 100644  --- a/untitled.tex  +++ b/untitled.tex 
...
\textit{Oh, an empty article!}  You can get started by \textbf{double clicking} this text block and begin editing. You can also click the \textbf{Text} button below to add new block elements. Or you can \textbf{drag and drop an image} right onto this text. Happy writing! \section{Симуляция работы фильтра}  Предположим, что входной сигнал подчиняется следующему уравнению:  \begin{gather*}  \\  x_{t} = \phi \cdot x_{t-1} + u \cdot t + \upsilon_{t} = 0,26 \cdot x_{t-1} + 0,8 \cdot t + \upsilon_{t} ,  \\  \end{gather*}  где $\upsilon_{t} \sim N(0,1)$ произвольная случайная величина. Уравнение наблюдение будет выглядеть следующим образом:  \begin{gather*}  \\  y_{t} = \gamma \cdot x_{t} + \epsilon_{t} = 0,72 \cdot x_{t} + \epsilon_{t} ,  \\  \end{gather*}   где $\epsilon_{t} \sim N(0,1)$ также случайная величина. Более того предполагается, что ошибки наблюдения и сигнала не коррелируемы ( т.е $E(\epsilon_{t-i} \upsilon_{t-j} , \forall i,j)$ ). По начальной оценке сигнала и дисперсии предсказания, мы можем просимулировать работу данной модели и посчитать результат фильтрации. Сначала необходимо посчитать усиление Калмана и дисперсию предсказания и оценки . Усиление Калмана представляет собой следующее выражение:  \begin{gather*}  \\  K_{N} = \frac{\gamma \cdot S_{N}}{\gamma^2 \cdot S_{N} + \sigma^2_{\epsilon}}  \\  \end{gather*}   где $S_{N} $ дисперсия ошибки в предсказании $x_{N}$ в момент $N-1$, и определяется следующим выражением:  \begin{gather*}  \\  S_{N} = \phi^2 \cdot p^e_{N-1} + \sigma^2_{\upsilon}   \\  \end{gather*}   Дисперсии оценки $p^e_{N}$ и дисперсия предсказания $p^p_{N+1}$ равняются:   \begin{gather*}  \\  p^e_{N} = (1 - \gamma \cdot K_{N}) \cdot S_{N} = (1 - 0,72 \cdot K_{N}) \cdot S_{N}   \\\\   p^p_{N+1} = p^e_{N} \cdot \phi^2 + \sigma^2_{\upsilon}  \\  \end{gather*}   В начальный момент времени ( $t = 1 $ ) дисперсия предсказания равна дисперсии сигнала $p^p_{1} = 0.2 $, $S_{1} = 1$. Тогда:   \begin{gather*}  \\   \sigma^2_{\upsilon} = 5 \qquad \sigma^2_{\epsilon} = 0,2   \\\\   K_{1} = \frac{0,72 \cdot 1}{0,72^2 \cdot 1 + 0,2} = 1,0022  \\\\   p^e_{1} = (1 - 0,72 \cdot 1,0022) \cdot 1 = 0,2783   \\\\   p^p_{2} = 0,2783 \cdot 0,26^2 + 5 = 5,01881   \\  \end{gather*}   В момент времени $t=2$:  \begin{gather*}   \\   K_{2} = \frac{0,72 \cdot 5,01881}{0,72^2 \cdot 5,01881 + 0,2} = 1,2897   \\\\   p^e_{2} = (1 - 0,72 \cdot 1,2897) \cdot 5,01881 = 0,3582  \\\\   p^p_{3} = 0,3582 \cdot 0,26^2 + 5 = 5,0242   \\  \end{gather*}   В момент времени $t=3$:  \begin{gather*}   \\  K_{3} = \frac{0,72 \cdot 5,0242}{0,72^2 \cdot 5,0242 + 0,2} = 1,2898   \\\\   p^e_{3} = (1 - 0,72 \cdot 1,2898) \cdot 5,0242 = 0,3582   \\\\   p^p_{4} = 0,3582 \cdot 0,26^2 + 5 = 5,0242   \\  \end{gather*}   После нескольких шагов, Усиление Калмана, Дисперсия Предсказания и Дисперсия Оценки сводиться к следующим значениям:  \begin{gather*}   \\   \bar k_{mean} = 0,7913   \\  \bar p^p_{mean} = 1,747   \\  \bar p^e_{mean} = 0,2198  \\  \end{gather*}