deletions | additions
diff --git a/untitled.tex b/untitled.tex
index 75bb949..5235f78 100644
--- a/untitled.tex
+++ b/untitled.tex
...
$$
x(t+1)=x(t)+a*t+2.1+E_{t}
$$
\selectlanguage{russian}Мы Мы установили на бронепоезд GPS сенсор, который мерит координату
\selectlanguage{english}$x(t)$,\selectlanguage{russian}но, $x(t)$,но, к сожалению, не может точно измерить ее и мерит с ошибкой
\selectlanguage{english}$N_{t}$,\selectlanguage{russian}которая $N_{t}$,которая тоже является случайной величиной:
\selectlanguage{english}$$ $$
z(t)=x(t)+N_{t}
$$
\selectlanguage{russian}Задача Задача состоит в том, чтобы зная неверные показания сенсора
\selectlanguage{english}$z(t)$ \selectlanguage{russian}, $z(t)$, найти хорошее приближение для истинной координаты бронепоезда
\selectlanguage{english}$x(t)$. \selectlanguage{russian}Это $x(t)$. Это приближение мы будем обозначать
\selectlanguage{english}$xOpt(t)$.
\selectlanguage{russian}Таким $xOpt(t)$.
Таким образом, уравнение для координаты и показания сенсора будут выглядеть следующим образом:
\begin{equation}
\begin{cases}
x(t+1)=x(t)+a*t+2.1+E_{t}\\
...
\end{equation}
\section*{Алгоритм Калмана}
\addcontentsline{toc}{section}{Алгоритм Калмана}
\selectlanguage{russian}Идея Идея Калмана состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение к истинной координате
\selectlanguage{english}$x(t+1)$ \selectlanguage{russian},мы $x(t+1)$,мы должны выбрать золотую середину между показанием
\selectlanguage{english}$z(t+1)$ \selectlanguage{russian} $z(t+1)$ неточного сенсора и
\selectlanguage{english}$xOpt(t)+a*t+2.1$ \selectlanguage{russian}-— $xOpt(t)+a*t+2.1$ — нашим предсказанием того, что мы ожидали от него увидеть. Показанию сенсора мы дадим вес
\selectlanguage{english}$K$ \selectlanguage{russian}, $K$, а на предсказанное значение останется вес
\selectlanguage{english}$(1-K)$:
\selectlanguage{english}$$ $(1-K)$:
$$
xOpt(t+1)=K_{t+1}*z(t+1)+(1-K_{t+1})*(xOpt(t)+a*t+2.1)
$$
\selectlanguage{russian}где \selectlanguage{english}$K_{t+1}$\selectlanguage{russian}-коэффициент где $K_{t+1}$ - коэффициент Калмана, зависящий от шага итерации. \\
Мы должны выбрать
\selectlanguage{english}$K_{t+1}$\selectlanguage{russian}таким, $K_{t+1}$ таким, чтобы получившееся оптимальное значение координаты
\selectlanguage{english}$xOpt(t+1)$\selectlanguage{russian} $xOpt(t+1)$ было бы наиболее близкое к истиной координате
\selectlanguage{english}$x(t+1)$.
\selectlanguage{russian}В $x(t+1)$.
В общем случае, чтобы найти точное значение коэффициента Калмана
\selectlanguage{english}$K_{t+1}$ \selectlanguage{russian}, $K_{t+1}$ , нужно просто минимизировать ошибку:
\selectlanguage{english}$$ $$
e(t+1)=x(t+1)-xOpt(t+1)
$$
\selectlanguage{russian}Подставляем Подставляем в выражения уравнения и упрощаем:
\selectlanguage{english}$$ $$
e(t+1)=x(t+1)–K_{t+1}*z(t+1)-(1-K_{t+1})*(xOpt(t)+a*t+2.1)=\\=x(t+1)-K_{t+1}*(x(t+1)+N_{t+1})-(1-K_{t+1})*(xOpt(t)+a*t+2.1)=\\=x(t+1)*(1-K_{t+1})-K_{t+1}*(x(t+1)+N_{t+1})-(1-K_{t+1})*(xOpt(t)+a*t+2.1)=\\=(1-K_{t+1})*(x(t+1)–xOpt(t)–a*t–2.1)–K_{t+1}*N_{t+1}=\\=(1-K_{t+1})*(x(t)+a*t+2.1+E_{t}–xOpt(t)–a*t–2.1)–K_{t+1}*N_{t+1}=\\=(1-K_{t+1})*(x(t)–xOpt(t)+E_{t})–K_{t+1}*N_{t+1}=\\=(1-K_{t+1})*(e(t)+E_{t})–K_{t+1}*N_{t+1}$$
\selectlanguage{russian}Таким Таким образом, получаем:
\selectlanguage{english}$$ $$
e(t+1)=(1-K_{t+1})*(e(t)+E_{t})–K_{t+1}*N_{t+1}
$$
\selectlanguage{russian}Мы Мы будем минимизировать среднее значение от квадрата ошибки:
\selectlanguage{english}$E(e^{2}(t+1))\longrightarrow\min$
\selectlanguage{russian}Т.к. $E(e^{2}(t+1))\longrightarrow\min$
Т.к. все входящие в
\selectlanguage{english}$e(t+1)$\selectlanguage{russian}) $e(t+1)$) случайные величины независимые и средние значения ошибок сенсора и модели равны нулю:
\selectlanguage{english}$E[E_{t}]=E[N_{t+1}]=0$\selectlanguage{russian}, $E[E_{t}]=E[N_{t+1}]=0$, и все перекрестные значения равны
нулю:\selectlanguage{english}$E[E_{t}*N_{t+1}]=E[e(t)*E_{t}]=E[e(t)*N_{t+1}]=0$\selectlanguage{russian},то нулю:$E[E_{t}*N_{t+1}]=E[e(t)*E_{t}]=E[e(t)*N_{t+1}]=0$,то получаем:
\selectlanguage{english}$$ $$
E(e^{2}(t+1))=(1-K_{t+1})^{2}*(E(e^{2}(t))+D(E_{t}))+K^{2}_{t+1}*D(N_{t})
$$
\selectlanguage{russian}Где \selectlanguage{english}$D(E_{t})$\selectlanguage{russian} Где $D(E_{t})$ и
\selectlanguage{english}$D(N_{t+1})$\selectlanguage{russian}-дисперсии $D(N_{t+1})$-дисперсии случайных величин
\selectlanguage{english}$E_{t}$\selectlanguage{russian} $E_{t}$ и
\selectlanguage{english}$N_{t+1}$.
\selectlanguage{russian}Найдем $N_{t+1}$.
Найдем минимальное значение для этого выражения (т.е. найдем производную):
\selectlanguage{english}$$ $$
-2*(1-K_{t+1})*(E(e^{2}(t))+D(E_{t}))+2*K_{t+1}*D(N_{t})=0\\
-E(e^{2}(t))–D(E_{t})+K_{t+1}*E(e^{2}(t))+K_{t+1}*D(E_{t})+K_{t+1}*D(N_{t})=0\\
K_{t+1}=\frac{E(e^{2}(t))+D(E_{t})}{E(e^{2}(t))+D(E_{t})+D(N_{t})}
$$
\selectlanguage{russian}Таким Таким образом, получаем такое
\selectlanguage{english}$K_{t+1}$\selectlanguage{russian}, $K_{t+1}$, что выражение
\selectlanguage{english}$E(e^{2}(t+1))$\selectlanguage{russian} $E(e^{2}(t+1))$ будет минимальным:
\selectlanguage{english}$$ $$
K_{t+1}=\frac{E(e^{2}(t))+D(E_{t})}{E(e^{2}(t))+D(E_{t})+D(N_{t})}
$$
\selectlanguage{russian}Заметим, Заметим, что мы не знаем закон распределения случайных величин, но нам известны их
дисперсии:\selectlanguage{english}$\delta^{2}_{E}$\selectlanguage{russian} дисперсии:$\delta^{2}_{E}$ и
\selectlanguage{english}$\delta^{2}_{N}$\selectlanguage{russian}. $\delta^{2}_{N}$. Заметим, что дисперсии не зависят от t, потому что законы распределения не зависят от него.
Подставляем в выражение для среднеквадратичной ошибки
\selectlanguage{english}$E(e^{2}(t+1))$\selectlanguage{russian}минимизирующее $E(e^{2}(t+1))$минимизирующее ее значение коэффициента Калмана
\selectlanguage{english}$K_{t+1}$\selectlanguage{russian} $K_{t+1}$ и получаем:
\selectlanguage{english}$$ $$
E(e^{2}(t+1))=(1-\frac{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}})^{2}*(E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E})+(\frac{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}})^{2}*\delta^{2}_{N}
$$
\selectlanguage{russian}Пусть: \selectlanguage{english}$E(e^{2}(t))=a; Пусть: $E(e^{2}(t))=a; \delta^{2}_{E}=b; \delta^{2}_{N}=c;$
\selectlanguage{russian}Тогда:
\selectlanguage{english}$$ Тогда:
$$
E(e^{2}(t+1))=(1-\frac{a+b}{a+b+c})^{2}*(a+b)+(\frac{a+b}{a+b+c})^{2}*c=\frac{c^{2}*(a+b)}{(a+b+c)^{2}}+\frac{c*(a+b)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=\\=\frac{c*(a+b)*(c+a+b)}{(a+b+c)^{2}}=\frac{c*(a+b)}{a+b+c}=\frac{\delta^{2}_{N}*(E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E})}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}}
$$
\selectlanguage{russian}Таким Таким образом получаем:
\selectlanguage{english}$$ $$
E(e^{2}(t+1))=\frac{\delta^{2}_{N}*(E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E})}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}} - среднее\ значение\ квадрата\ ошибки
$$
\selectlanguage{russian}Таким Таким образом, мы получили формулу для вычисления коэффициента Калмана.
\section*{MatLab}
\addcontentsline{toc}{section}{MatLab}
\selectlanguage{russian}Теперь Теперь реализуем всё вышесказанное в MatLab.\\
Код:
\begin{verbatim}
clear all;
...
\includegraphics[width=0.77\columnwidth]{master/file/figures/123.png}
\end{center}
\end{figure}
\selectlanguage{russian}Как Как мы видим из графика, фильтр Калмана очень хорошо фильтрует данные, и мы получаем близкие значения к реальной координате
\selectlanguage{english}$x(t)$ $x(t)$
