deletions | additions       diff --git a/section_addcontentsline_toc_section_x__.tex b/section_addcontentsline_toc_section_x__.tex  new file mode 100644  index 0000000..8cbb5d2  --- /dev/null  +++ b/section_addcontentsline_toc_section_x__.tex 
...
\section*{Алгоритм Калмана}  \addcontentsline{toc}{section}{Алгоритм Калмана}  Идея Калмана состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение к истинной координате $x(t+1)$,мы должны выбрать золотую середину между показанием $z(t+1)$ неточного сенсора и $xOpt(t)+a\cdot t+2.1$ — нашим предсказанием того, что мы ожидали от него увидеть. Показанию сенсора мы дадим вес $K$, а на предсказанное значение останется вес $(1-K)$:  $$  xOpt(t+1)=K_{t+1}\cdot z(t+1)+(1-K_{t+1})\cdot (xOpt(t)+a\cdot t+2.1)  $$  где $K_{t+1}$ - коэффициент Калмана, зависящий от шага итерации. \\  Мы должны выбрать $K_{t+1}$ таким, чтобы получившееся оптимальное значение координаты $xOpt(t+1)$ было бы наиболее близкое к истиной координате $x(t+1)$.  В общем случае, чтобы найти точное значение коэффициента Калмана $K_{t+1}$ , нужно просто минимизировать ошибку:  $$  e(t+1)=x(t+1)-xOpt(t+1)  $$  Подставляем в выражения уравнения и упрощаем:  $$  e(t+1)=x(t+1)–K_{t+1}\cdot z(t+1)-(1-K_{t+1})\cdot (xOpt(t)+a\cdot t+2.1)=\\=x(t+1)-K_{t+1}\cdot (x(t+1)+N_{t+1})-(1-K_{t+1})\cdot (xOpt(t)+a\cdot t+2.1)=\\=x(t+1)\cdot (1-K_{t+1})-K_{t+1}\cdot (x(t+1)+N_{t+1})-(1-K_{t+1})\cdot (xOpt(t)+a\cdot t+2.1)=\\=(1-K_{t+1})\cdot (x(t+1)–xOpt(t)–a\cdot t–2.1)–K_{t+1}\cdot N_{t+1}=\\=(1-K_{t+1})\cdot (x(t)+a\cdot t+2.1+E_{t}–xOpt(t)–a\cdot t–2.1)–K_{t+1}\cdot N_{t+1}=\\=(1-K_{t+1})\cdot (x(t)–xOpt(t)+E_{t})–K_{t+1}\cdot N_{t+1}=\\=(1-K_{t+1})\cdot (e(t)+E_{t})–K_{t+1}\cdot N_{t+1}$$  Таким образом, получаем:  $$  e(t+1)=(1-K_{t+1})\cdot (e(t)+E_{t})–K_{t+1}\cdot N_{t+1}  $$  Мы будем минимизировать среднее значение от квадрата ошибки:  $E(e^{2}(t+1))\longrightarrow\min$  Т.к. все входящие в $e(t+1)$) случайные величины независимые и средние значения ошибок сенсора и модели равны нулю: $E[E_{t}]=E[N_{t+1}]=0$, и все перекрестные значения равны нулю:$E[E_{t}\cdot N_{t+1}]=E[e(t)\cdot E_{t}]=E[e(t)\cdot N_{t+1}]=0$,то получаем:  $$  E(e^{2}(t+1))=(1-K_{t+1})^{2}\cdot (E(e^{2}(t))+D(E_{t}))+K^{2}_{t+1}\cdot D(N_{t})  $$  Где $D(E_{t})$ и $D(N_{t+1})$-дисперсии случайных величин $E_{t}$ и $N_{t+1}$.  Найдем минимальное значение для этого выражения (т.е. найдем производную):  $$  -2\cdot (1-K_{t+1})\cdot (E(e^{2}(t))+D(E_{t}))+2\cdot K_{t+1}\cdot D(N_{t})=0\\  -E(e^{2}(t))–D(E_{t})+K_{t+1}\cdot E(e^{2}(t))+K_{t+1}\cdot D(E_{t})+K_{t+1}\cdot D(N_{t})=0\\  K_{t+1}=\frac{E(e^{2}(t))+D(E_{t})}{E(e^{2}(t))+D(E_{t})+D(N_{t})}  $$  Таким образом, получаем такое $K_{t+1}$, что выражение $E(e^{2}(t+1))$ будет минимальным:   $$  K_{t+1}=\frac{E(e^{2}(t))+D(E_{t})}{E(e^{2}(t))+D(E_{t})+D(N_{t})}  $$  Заметим, что мы не знаем закон распределения случайных величин, но нам известны их дисперсии:$\delta^{2}_{E}$ и $\delta^{2}_{N}$. Заметим, что дисперсии не зависят от t, потому что законы распределения не зависят от него.  Подставляем в выражение для среднеквадратичной ошибки $E(e^{2}(t+1))$минимизирующее ее значение коэффициента Калмана $K_{t+1}$ и получаем:  $$  E(e^{2}(t+1))=(1-\frac{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}})^{2}\cdot (E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E})+(\frac{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}})^{2}\cdot \delta^{2}_{N}  $$  Пусть: $E(e^{2}(t))=a; \delta^{2}_{E}=b; \delta^{2}_{N}=c;$  Тогда:  $$  E(e^{2}(t+1))=(1-\frac{a+b}{a+b+c})^{2}\cdot (a+b)+(\frac{a+b}{a+b+c})^{2}\cdot c=\frac{c^{2}\cdot (a+b)}{(a+b+c)^{2}}+\frac{c\cdot (a+b)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=\\=\frac{c\cdot (a+b)\cdot (c+a+b)}{(a+b+c)^{2}}=\frac{c\cdot (a+b)}{a+b+c}=\frac{\delta^{2}_{N}\cdot (E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E})}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}}  $$  Таким образом получаем:  $$  E(e^{2}(t+1))=\frac{\delta^{2}_{N}\cdot (E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E})}{E(e^{2}(t))+\delta^{2}_{E}+\delta^{2}_{N}} - среднее\ значение\ квадрата\ ошибки   $$  Таким образом, мы получили формулу для вычисления коэффициента Калмана.