Om man vill fullständigt beskriva alla interaktioner mellan nukleonerna i en \(A=50\)-kärna skulle det behövas \(50!\approx 10^{64}\) termer vilket givetvis inte går att göra. För att förenkla ansätter man ett antal statiska och dynamiska parametrar hos kärnan som är lätta att beskriva, t ex elektrisk laddning. Vilka ytterligare statiska parametrar kan man ange?
Vi kan med rätt stor noggrannhet beskriva atomkärnan med hjälp av följande parametrar: Elektrisk laddning, radie, massa, bindningsenergi, rörelsemängdsmoment, paritet, magnetiskt dipol- och quadropolsmoment och energier för exciterade tillstånd.

Varken en atom eller en atomkärna har en exakt definerad storlek. Vad beror det på?
Alla delar av kärnan beskrivs av vågfunktioner och har ändlig sannolikhet att befinna sig mycket långt ifrån centrum, dessutom sträcker både Coulombkraften och elektriska laddningstätheten till oändligheten, men de blir så små efter det vi kallar atomradien att vi antar att atomen ”tar slut” där.

Vilka två (tre) parametrar beskriver man en kärnas storlek med?

• –

  Medelradien, alltså där densiteten är hälften av värdet i centrum av kärnan

• –

  ”Skin thickness”, platsen då densiteten snabbt minskar från nära sitt maximum till nära sitt minimum

• –

  Elektromagnetiskt moment, läs Krane 3.6

Varför kan två olika mätmetoder på samma kärna ge olika svar på dess storlek?
För att de mäter olika saker… Resultaten skiljer exempelvis mellan om vi mäter Coulombinteraktionen eller starka kärnkraftsinteraktionen.

Förklara hur man kan mäta en kärnas storlek med elektronspridning. Vad visar figur 3.1 och jämför med figur 3.2.
Först producerar du elektroner med \(100\)MeV-\(1\)GeV med en accelerator, sedan skjuter du elektronerna på en atomkärna och mäter avböjningsvinkeln. Figur 3.1 visar ett ganska skarpt minima för två lätta kärnor och en viss avböjningsvinkel, detta är ganska likt det vi ser då vi tittar på tvådimensionella diffraktionsmönster. Figur 3.2 visar avböjningen för en tyngre kärna, har ser vi inga tydliga minimum eftersom det är mer oklart var kärnan tar slut.

Följ härledningen (3.1) och framåt som visar hur man kvantitativt kan få fram kärnors laddningsfördelning, figur 3.4. Förklara hur formel (3.3) beskriver potentiella energin dV.
Som i elmagin, potentialen är lika med en liten laddning delat med \(4\pi\epsilon_{0}|\bar{r}-\bar{r}^{\prime}|\)

Kommentera de slutsatser man kan dra av resultaten i figur 3.4. Lägg också märke till att ”skinn-parametern” t är tämligen oberoende av kärnans storlek.
Vi ser att skin thickness är ungefär lika stor för syre, nickel och bly, men deras radier skiljer ändå mycket. (\(t\approx 2.3\)fm)

(*) Om man även använder metoderna isotopskift och spegelkärnor för att bestämma kärnans storlek, vilket uttryck kommer man fram till och parametervärdet?

• –

  Isotopskift: Energiskift \(E_{K}(A)-E_{K}(A^{\prime})=-\frac{2}{5}\frac{Z^{4}e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{a_{0}^{3}}R_{0}^{2}(A^{2/3}-{A^{\prime}}^{2/3})\), experiment ger \(R_{0}=1.2\)fm. (s.51)

• –

  Spegelkärnor: Energiskift \(\Delta E_{c}=\frac{3}{5}\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}R_{0}}A^{2/3}\), experiment ger \(R_{0}=1.22\)fm. (s.56)

Beskriv kortfattat hur man kan mäta en kärnas massfördelning (både elektriskt laddade protoner och neutrala neutroner) med alfapartikelspridning. Vad får man för resultat, jämför med mätning av elektriska laddningsfördelningen ovan. Kommentarer?
Vi kan till exempel skjuta alfapartiklar på \({}^{197}\)Au-kärnor och studerar sedan de spridda alfapartiklarna, om mellanrummet mellan två partiklar alltid är större än summan av deras radier så är de för långt från varandra för att starka kärnkraften ska verka och därmed är det bara Coulombkraften som verkar, detta kallas Rutherford scattering. Enligt Rutherfords formel beror sannolikheten för spridning i en given vinkel på energin hos alfapartiklarna. Om vi ökar energin kommer Coulombkraften från kärnan att förlora sin betydelse och alfapartikeln kan alltså nå tillräckligt nära för att interagera med den starka kärnkraften i kärnan. Då håller inte längre Rutherfords formel, se Figure 3.11 på sida 58 i Krane.

Läs inledningen till avsnitt 3.2 som jämför bindningsenergin hos en elektron i väteatomen, deuteronens bindningsenergi och slutligen tre kvarkars bindning för att forma en nukleon. Kommentera!
Bindningsenergi:

• –

  Väte: \(13.6\) eV (mycket liten andel, ungefär \(1.4\cdot 10^{-8}\) av totala energin)

• –

  Deuterium: \(2.2\) MeV, (ungefär \(1.2\cdot 10^{-3}\) av totala energin)

• –

  Kvarkar: Osäkert, kanske \(100\) GeV (mycket stor andel, mer än \(0.99\) av totala energin)

En masspektrometer kan mäta med en precision av 1:106. Hur fungerar den?
En jonkälla producerar en stråle av joner med olika hastigheter. Först åker de igenom en ”velocity selector”, vilket är en låda med ett E- och ett B-fält, bara jonerna med rätt hastighet släpps igenom. Sedan åker de in i ett nytt utrymme med ett B-fält där alla joner kommer att avböjas, men de gör det olika mycket beroende på massan, till slut träffar jonerna en fotografisk platta och det är helt enkelt upp till laboranten att undersöka var på plattan de träffat.

Hur uppnår man den höga precisionen?
Kalibrering, kalibrering, kalibrering. Vi måste också ha extremt noggranna siffror på \(B\), \(E\) och \(r\).

Hur kan man bestämma en massa med hjälp av en kärnreaktion?
Med hjälp av en masspektrometer kan vi bestämma den relativa förekomsten av olika isotoper i till exempel krypton. Låt helt enkelt kryptonet ligga någonstans och sönderfalla och mät helt enkelt avböjningen hos det som flyger ut!
(Alt. Kärnreaktion \(x+X\rightarrow y+Y\). Mät \(Q=[m(x)+m(X)-m(y)-m(Y)]c^{2}\). Om tre av massorna är kända så kan den fjärde räknas ut. (se s.62))

Begreppet bindningsenergi är centralt i kärnfysiken, begrunda de två alternativa formuleringarna (3.24) och (3.25).

• –

  (3.24): \(B=\left(Zm_{p}+Nm_{n}-[m(^{A}X)-Zm_{e}]\right)c^{2}\)

• –

  (3.25): \(B=\left(Zm(^{1}H)+Nm_{n}-m(^{A}X)\right)c^{2}\)

I (3.25) har vi lagt ihop protonmassan och elektronmassan till massan av en neutral \({}^{1}H\).

Hur får man fram massdefekt, neutronseparationsenergi Sn respektive protonseparationsenergin Sp?

• –

  Massdefekt: \(\Delta=(m-A)c^{2}\)

• –

  Neutronseparationsenergin: \(S_{n}=B(^{A}_{Z}X_{N})-B(^{A-1}_{Z}X_{N-1})=\left[m(^{A-1}_{Z}X_{N-1})-m(^{A}_{Z}X_{N})+m_{n}\right]c^{2}\)

• –

  Protonseparationsenergin: \(S_{p}=B(^{A}_{Z}X_{N})-B(^{A-1}_{Z-1}X_{N})=\left[m(^{A-1}_{Z-1}X_{N})-m(^{A}_{Z}X_{N})+m(^{1}H)\right]c^{2}\)

Studera kurvan i figur 3.16. Vad kan man utläsa ur den?
Man kan utläsa bindningsenergin per nucleon. Man ser att kurvan är relativt konstant förutom för de lättaste atomerna. Vi ser också att kurvan peakar på \(A=60\), där är nukleonerna som starkast bundna. Vi kan alltså frigöra energi genom att, för \(A<60\), lägga ihop lättare kärnor till tyngre (fusion) eller, för \(A>60\), bryta upp kärnan i lättare kärnor (fission).

Den semi-empiriska massformeln försöker modellera figur 3.16. Med vilka komponenter byggs den upp?
\(B=a_{v}A-a_{s}A^{2/3}-a_{c}\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}-a_{sym}\frac{(A-2Z)^{2}}{A}+\delta\)

• –

  Volym: \(a_{v}\)

• –

  Yta: \(a_{s}\)

• –

  Coulomb: \(a_{c}\)

• –

  Symmetri: \(a_{sym}\)

• –

  Parbildning: \(\delta\)

För \(A=\)konstant uppstår två massparabler, figur 3.18. Vad visar de, vilka typer av sönderfall är möjliga enligt figurerna?
För \(A=125\) ser vi att energiskillnaden ökar mellan närliggande isotoper då vi rör oss från den stabila grejen i energiminimat.

neutron till proton
proton till neutron
dubbel-betasönderfall

Hur sammansätts kärnspinnet I?
Man adderar spinnen för varje nukleon helt enkelt.

Vad menas med en kärnas partitet \(\pi\)?
Kärnans paritet kan antingen vara + (jämn) eller - (udda). ”Parity involves a transformation that changes the algebraic sign of the coordinate system. Parity is an important idea in quantum mechanics because the wavefunctions which represent particles can behave in different ways upon transformation of the coordinate system which describes them.” http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/parity.html