deletions | additions
diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex
index f300e3c..0e2acbe 100644
--- a/abstract.tex
+++ b/abstract.tex
...
М. Г. Ткаченко
Пусть $\{Х_\alpha : \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$, где $\Phi$ — кардинальная функция, определенная на классе топологических пространств. Что тогда можно сказать о значении $\Phi(Х)$? Этот вопрос рассматривается в статье.
Через $w(Х)$, $nw(Х)$ и $\pi w(Х)$ обозначены вес, сетевой вес и $\pi$-вес
пространства $Х$ соответственно; $s(Х)$ и $iс(Х)$ -- плотность и индекс
...
$$
Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.
Теорема 5. Теорема~5. Пусть $Х$ регулярно и $\{Х_\аlpha : \аlpha\in А\}$ — каноническая
цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\аlpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех
$\аlpha\in А$. Тогда $s(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.
Эта теорема
-- --- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5 улучшить нельзя.
Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из работы [3] на любом множестве $М$ существует однородный ультрафильтр (ультрафильтр на $М$ называется однородным, если он состоит из множеств той же мощности, что и $М$), любая база которого имеет мощность $\ехр(|М|)$. Рассмотрим множество $М$, $|М| =\tau$, и описанный выше ультрафильтр $\xi$ на $М= \{х_\alpha : \аlpha<\tau\}$. Положим $Х=М\cup
{\xi}$. {\xi\}$. Базу топологии в $Х$ введем так: множество $М$ открыто и дискретно в $Х$, а открытые окрестности точки $\xi$ имеют вид $\{\xi\}\cup К$, где $K\in\xi$.
Тогда
$$ w(Х) = ехр(\tau) и Х =
\bigcup\{Х_\аlpha \bigcup\{Х_\alpha :
\аlpha< \alpha< \tau\},$$
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta :
\beta<\аlpha\}$. \beta<\alpha\}$. Очевидно,
$|Х_\аlpha|<\tau$ $|Х_\alpha|<\tau$
и
$Х_\аlpha$ $Х_\alpha$ дискретно, поэтому
$w(Х_\аlpha)<\tau$. $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$ нормально.
Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{О_\alpha,1_\alpha\}$ — несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
$$
D^\аlpha D^\alpha = \prod {D_\beta :
\beta\leq\аlpha},\hskip \beta\leq\alpha},\hskip 5pt
a_\alpha=\{0_\beta: \alpha<\beta<\lambda\},
$$
то есть
$$
а_\аlpha\in а_\alpha\in \prod \{D_\beta:
\аlpha<\lambda \alpha<\lambda \}.
$$
Пусть
$$
Х = \bigcup
\{D_\аlpha \{D_\alpha \times
\{а_\alpha\} : \аlpha \{а_\alpha\}: \alpha < \lambda},\hskip 5pt
Х\subset \prod
\{D_\аlpha \{D_\alpha :
\аlpha \alpha < \lambda\}.
$$
Тогда
$s(D_\аlpha)\leq\tau$, $s(D_\alpha)\leq\tau$, где
$\аlpha<\lambda$. $\alpha<\lambda$. Однако $s(Х)\geq \mbox{ш}(Х)\geq\lambda$, поэтому
$s(Х)\geq\lambda$ (здесь
$Х_\аlpha =D_\аlpha \trimes $Х_\alpha =D_\alpha \times \{а_\alpha\}\cong D^\alpha$).
Заметим, что $Х$ —- вполне регулярное пространство. Отметим также
следующее свойство этого пространства: в $Х$ существует каноническая
цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что
$Х_\аlpha$ $Х_\alpha$ — бикомпакт и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить нужную цепь
$\{Х_\аlpha : $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать, что для каждого
$\аlpha<\lambda$ $\alpha<\lambda$ существуют бикомпакт $Х$ и ординал $\beta<\lambda$, такие, что
$$
\pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset
D^\beta \times\{a_\beta\}.
$$
Покажем это. Пусть $Z$ — александровское удвоение пространства $D^\alpha$,
$Z=D^\alpha\cup
(D^\alpha)’$. (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в
$D^\аlpha$ $D^\alpha$ множество,
$|S|\leq\tau$. Положим
$Y=D^\alpha\cup S’\subset $Y=D^\alpha \cup S'\subset Z$. Очевидно, $Y$ — бикомпакт и $\pi
w (Y)\leq\tau$. w(Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в
$S’$: $S’= $S'$: $S'= \{х_\vro : \alpha<\vro\leq\beta\}$, где $\beta<\lambda$. Для каждого $\vro$, удовлетворяющего условию
$\аlpha<\vro\leq\beta$, $\alpha<\vro\leq\beta$, определим отображение $f_\vro \colon Y\to D_\vro$ по правилу
$$
f_\vro(х) =\begin{cases} 1_\vro&\textit{если $х = х_\vro$};\\
$О_\vro& \text{если х\neq х_\vro,}
\end{cases}
$$
where где $х\in Y$. Через $\pi_\gamma$, где $\gamma\leq \аlpha$, обозначим проекцию $D^\аlpha$ на $D_\gamma$. Пусть $\widetilde{\pi}_\gamma$
—- -- продолжение отображения $\pi_\gamma$ на пространство $Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$. Пусть $f$ — диагональное произведение отображений
$$
\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\}\hskip 5pt и\hskip 5pt \{f_\vro: \alpha<\vro\leq\beta\},\hskip 6pt f\colon Y\to \prod \{D_\vro: \vro\leq\beta\}.
$$
...
\pi w(X)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha\times \{а_\alpha\}\subset
Х\subset D^\beta\times \{a_\beta\}.
$$
Достаточно лишь заметить, что $f$
-- --- гомеоморфизм между $Y$ и $f(Y)$, так
как система отображений $\{\widetilde{\pi}_\gamma:
\gamma\leq\аlpha}\cup \gamma\leq\alpha}\cup \{f_\vro:
\alpha < \vro\leq\beta\}$ разделяет точки в $Y$.
Теорема~6. Пусть $Х$ --- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
...
