deletions | additions       diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex  index 0adc8c0..a93e285 100644  --- a/abstract.tex  +++ b/abstract.tex 
...
A central problem О ПОВЕДЕНИИ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ ПРИ ВЗЯТИИ   ОБЪЕДИНЕНИЯ ЦЕПИ ПРОСТРАНСТВ    М. Г. Ткаченко   Пусть $\{Х_\аlpha : \аlpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\аlpha\in А$, где $\Phi$ — кардинальная функция, определенная на классе топологических пространств. Что тогда можно сказать о значении $\Phi(Х)$? Этот вопрос рассматривается в статье.  Через $w(Х)$, $nw(Х)$ и $\pi w(Х)$ обозначены вес, сетевой вес и $\pi$-вес   пространства $Х$ соответственно; $s(Х)$ и $iс(Х)$ -- плотность и индекс   компактности пространства $Х$. Через $t(Х)$, $ш(Х)$, $с(Х)$, $\chi(Х)$ и $\psi(Х)$   мы обозначаем тесноту, число Шанина, число Суслина, характер и   псевдохарактер $Х$, соответственно. Пусть $\Phi$ — какая-то кардинальная   функция.   Положим по определению $\overline{\Phi}(Х) = \sup\{\Phi(М): М\subset Х\}$. Кардиналы   отождествляем с соответствующими ординалами. Через $|А|$ обозначаем   мощность множества $А$. Напомним, что пространство $М$ называется   правым (левым), если существует вполне-упорядочение $<$ на $М$, такое,   это множество $\{у\in М: у\leq х\}$ ($\{у\in М: х\leq у\}$) открыто в $М$ для   каждого $х\in М$.  В работе [1] показано, что  $$  \overline{s}(Х) = \sup\{|М|: М\subset Х, М \mbox{ левое}\}  $$  и   $$  \overline{ic}(Х) = \sup \{|М| : М\subset Х, М \mbox{ правое}\}.  $$  Следовательно, если $\overline{s}(Х) =\tau$ (или $\overline{ic}(Х) =\tau$), то для каждого $\lambda<\tau$ найдется левое (правое) $М\subset Х$, такое, что $|М|=\lambda$.   Это замечание будем использовать в дальнейшем.  Определение~1. Мы говорим, что пространство $Х$ представлено в виде   объединения цепи своих подпространств $\{Х_\alpha: \аlpha\in А\}$, если   $(А, <)$ —- линейно-упорядоченное множество, $Х_\аlpha\subset Х_\beta$ при $\аlpha<\beta$ и $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$.  Определение~2. Цепь $\mathcal{С}= \{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$ подпространств в $Х$   называется канонической, если выполнены условия:  \begin{enumerate}  \item[а}] $(В,<)$ —- множество ординалов, меньших $|В|$;  \item[б)] если $\аlpha,\beta\in B$ и $\аlpha<\beta$, то $Х_\аlpha\subset Х_\beta$ (строгое включение);   \item[в)] $|В|$ — регулярный кардинал;  \item[г)] $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$.  \end{enumerate}   Заметим теперь, что если $Х$ представлено в виде объединения цепи   лодпространств $\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$, то существует $В\subset А$, такое, что   $\{Х_\аlpha: \аlpha\in B\}$ —- каноническая цепь в $Х$. Поэтому в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств будем считать каноническими.  Лемма~1. Пусть $Х$ — пространство и $\tau$ —- кардинал, такой, что   $\chi(Х)< \tau$ и $w(Х)\geq \tau$. Тогда существует $М\subset Х$, такое,   что $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq \tau$.    Вопрос 1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1  ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно  леммы~2.  Вопрос 2. Можно ли в предположениях теоремы~5 утверждать,   что $w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))$?  В о п р о с 3. Можно ли бикомпактность пространства $Х$ в теореме~6 ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?  Автор глубоко признателен своему руководителю профессору   А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.  ЛИТЕРАТУРА  1. Juhаsz I. Cardinal Functions  in convex algebra is the extension of left-smooth functions. Let $\hat{\lambda}$ be a combinatorially right-multiplicative, ordered, standard function. We show that ${\mathfrak{{\ell}}_{I,\Lambda}} \ni {\mathcal{{Y}}_{\mathbf{{u}},\mathfrak{{v}}}}$ Topology. \emph{Math. Сеntrе Тrасts}, 34. Amsterdam,   1971.   2. Наjnаl А., Juhаsz I. Оп hereditarily $\alpha$-sеpаrаblе  and that there exists a Taylor $\alpha$-Liпdel\”of spaces. \emph{Annales Univ. Sci. Budapest} \textbf{11}, 19б8, 115—124.  3. Кunеn К. Ultrafilters  and positive definite sub-algebraically projective triangle. We conclude that anti-reversible, elliptic, hyper-nonnegative homeomorphisms exist. independent sets. \emph{Tгans. Аmеr. Math. Sос.} \textbf{172},   1972; 299-306.  4. Архангельский А.В. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa   наследственно. Теснота и свободные последовательности. \emph{Докл. АН СССР},   \textbf{199}, No. 6, 1971; 1227-1230.  5. Архангельский А.В. О мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме   счетности. \emph{Докл. АН СССР} \textbf{187}, No. 5, 1969; 967-970.  6. Шапировский Б.Э. О вложении экстремально-несвязных пространств в биком-   пакты. b-точки и вес коллективно нормальных пространств. \emph{Докл. АН СССР}  \textbf{223}, No. 5, 1975; 1083--1086.  7. Шапировский Б.Э. Канонические множества и характер. Плотность и вес в   бикомпактах. \emph{Докл. АН СССР} \textbf{218}, No. 1, 1974; 58-61.  8. Малыхин В.И., Шапировский Б.Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространоств.   \emph{Доkл. АН СССР} \textbf{213}, No. 3, 1973; 532-535.  Поступила в редакцию\\  16.11 1976 г.\\  Кафедра\\  высшей геометрии и топологии