deletions | additions       diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex  index 2b0f339..581cab6 100644  --- a/abstract.tex  +++ b/abstract.tex 
...
$\chi(Х)< \tau$ и $w(Х)\geq \tau$. Тогда существует $М\subset Х$, такое,   что $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq \tau$.    Доказательство. Пусть $\tau$ —- регулярный кардинал. Через $\gamma_х$   oбозначим базу точки $х\in Х$, $|\gamma_х|<\tau$. Точку $х_0\in Х$ выберем произвольно   и положим $М_0=\emptyset$. Пусть определены точка $х_\beta$ и множество $М_\beta$   для всех $\beta<\аlpha$, где $\аlpha<\tau$, причем $|М_\beta|<\tau$. Положим  $$  A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\},\hskip 5pt \lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha).  $$  Очевидно, $|А_\alpha| < \tau$ и поэтому $\lambda_\аlpha| < \tau$. Отсюда следует, что найдутся точка $х_\alpha\in Х$ и ее открытая окрестность $V(х_\аlpha)$, такие, что  $$   О \cap (Х\setminus V(х_\alpha)) \neq \emptyset  $$  для всех $O\in \lambda(х_\аlpha)$. [Пусть $\theta$ -- система множеств в $Х$ и $х\in Х$. Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.] Для каждого $O\in \lambda_\аlpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\аlpha))$   выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,  $|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\аlpha\notin \overline{M_\alpha}$ и $O\cap М_\аlpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\аlpha(х_\alpha)$,   поэтому $\lambda_\аlpha\restriction (М_\аlpha\cup \{х_\аlpha\})$ не является базой точки $х_\alpha$ в пространстве $М_\аlpha \cup \{х_\аlpha\}$. [Если $\theta$ —- система множеств в $Х$ и $А\subset Х$, то через $\theta\restriction А$ обозначим систему   $\{V\cap А: V\in\theta\}$.]    Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \аlpha< \tau\}$ и $\{х_\аlpha: \аlpha< \tau\}$ построены. Положим  $$   М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau},\hskip 5pt   \lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М}.  $$  Очевидно, $\lambda\restriction М$ — база пространства $М$. Утверждаем, что   $w(М)\geq\tau$. Предположим обратное, то есть пусть $w(М)<\tau$. Тогда существует $\mu\subset\lambda$, $|\mu|<\tau$ такое, что $\mu\restriction М$ — база в $М$. Однако существует $\alpha<\tau$ для которого $\mu\subset\lambda_\alpha$. Но $\lambda_\аlpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\аlpha\})$ не база для точки $х_\аlpha$ в пространстве   $М_\alpha\cup \{х_\аlpha\}$, и ввиду того, что $М_\аlpha\cup \{х_\аlpha\}\subset М$, система $\lambda_\alpha\restriction М$ тем более не является базой точки $х_\alpha$ в $М$. Противоречие.    Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$ — сингулярный кардинал. Положим   тогда $\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau, \lambda — регулярный кардинал\}$. Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$ существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w (М_\lambda)\geq\lambda$. Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,   $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.    Теорема 1. Пусть $Х$ -- регулярное пространство. Тогда для каждого $\lambda\leq w(Х)$ существует $М_\lambda\subset Х$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w(М_\lambda)\geq\lambda$.  Доказательство. Если $\chi(Х)<\lambda$, то все следует из леммы~1.  Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Предположим, что $w(М)<\lambda$ для любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\lambda$. Заметим теперь, что если $М$ --- левое,  то $w(М)\geq |М|$ (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства   в $Х$ меньше $\lambda$ и потому $\overline{s}(Х)\leq\lambda$. Тем более, $s(Х)\leq\lambda$. Зафиксируем всюду плотное в $Х$ множество $S$, $|S|\leq\lambda$. В силу регулярности $Х$,  $$  \chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\}) \leq w(S\cup \{р\}) < \lambda  $$  (так как $|S\cup\{p\}\leq\lambda$) для любой точки $р\in Х$. Но $\chi(Х)\geq\lambda$, поэтому $\sup \{\chi(р,Х): р\in Х} =\lambda$. Следовательно, существует $Q\subset Х$, такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\}=\lambda$. Тогда, очевидно,   $w(S\cup Q)\geq\lambda$, что противоречит предположению, сделанному в начале доказательства ($|S\cup Q|\leq\lambda$).    Теорема~2. Пусть $Х$ — произвольное пространство. Тогда для любого кардинала   $\lambda w(Х)$ существует $М_\lambda\subset Х$, такое, что $|М_\lambda|\leq \lambda$ и   внешний вес $М_\lambda$ в $Х$ не меньше $\lambda$.    Доказательство. Заметим, что $w(М)$ не больше внешнего   веса $М$ в $Х$ для любого $М\subset Х$. Поэтому, если $\chi(Х)<\lambda$,   все следует из леммы 1. Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Можно считать, что   $\chi(р,Х)<\lambda$, для любой $р\in Х$. Тогда $\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda$. Существует $Q\subset X$ такое, что $|Q|\leq \lambda$ и $\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$. Легко видеть, что множество $Q$ и есть нужное.    Т_е о_ре м а 3. Пусть $\{Х_\аlpha : \аlpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и   $\Phi\in \{с, \overline{с}, \overline{s}, \overline{ic} \}$. Тогда:  \begin{enumerate}  \item[а)] если $\Phi(Х_\аlpha)<\tau$ для всех $\аlpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;  \item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\аlpha\in А$, то   $\Phi(Х)\leq \tau$;  \item[в)] если внешний вес $Х_\аlpha$ в $Х$ меньше $\tau$ для всех $\аlpha\in А$, то   $w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.  \end{enumerate}     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\Phi=\overline{iс}$ (для других кардинальных  функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем, что  $|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим $М_\alpha=  М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$, так как   $\overline{ic}(Х_\аlpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\аlpha: \аlpha\in А\}$, поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если $\sup\{|М|: М — правое, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство $\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М| : М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим $N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и $\overline{ic}(N)\geq\tau$. Однако существует $\аlpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\аlpha$; поэтому $\overline{ic}(Х_\аlpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак, $\overline{ic}(Х)<\tau$. Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.   Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$ и $|\gamma_\alpha|<\tau$. Тогда $\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}$ — база в $Х$.   Если $|А|\leq\tau$, то $|\gamma|\leq \tau$. Если же $|А|>\tau$, то внешний вес   любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2,  $w(X)<\tau$.  Вопрос 1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1  ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно 
...