deletions | additions       diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex  index 42b1f84..b07405d 100644  --- a/abstract.tex  +++ b/abstract.tex 
...
любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2,  $w(X)<\tau$.  Предложение~1. Пусть $\{Х_\alpha : \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в  хаусдорфовом пространстве $Х$ и $\overline{iс}(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого   $\alpha\in А$. Тогда $|Х|\leq ехр(\tau)$.    Доказательство. Как показано в работе [1], $|Y|\leq еxp(\overline{iс}(Y))$ для любого хаусдорфова пространства $Y$. Поэтому $|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)$ для всех $\alpha\in А$. Следовательно, если $|А|\leq\tau^+$, то $|Х|\leq ехр(\tau)$. Если же $|А|>\tau^+$, то, по пункту~(б) теоремы~3, $\overline{ic}(Х)\leq\tau$, а потому $|Х|\leq ехр(\tau)$.  Предложение~2. Для любого $Х$, $w(Х)\leq |Х|^{s(Х)}$.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\mathcal{F}$ --- система всех замкнутых множеств   в $Х$. Через $S_F$ обозначим всюду плотное множество в $F\in\mathcal{F}$, причем $|S_F|\leq \overline{s}(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из $\mathcal{F}$ в  $$   Ехр_\tau(Х) = {М\subset Х: |М|\leq \overline{s}(Х) = \tau\}.   $$  Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.    Теорема~4. Пусть $\{Х_\alpha : \alpha\in А\}$ --- каноническая цепь в хаусдорфовом  пространстве $Х$, причем $\overline{ic}(Х_\аlpha)\leq\tau$ и $\overline{s}(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.  Доказательство. По теореме~3, пункт (а), $\overline{s}(Х)\leq\tau$. Из предложения~1 вытекает   $|Х|\leq ехр(\tau)$. Предложение~2 дает  $$   w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).   $$  С л е д с т в и е. Пусть $\{Х_\alpha: \аlpha\in А\}$ --- каноническая цепь   в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.   Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно, $\overline{ic}(Х)\cdot \overline{s}(Х)\leq nw (Х)$ для любого $Х$.   Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества $Y$ в $Х$ мы называем   $\min \{|М|: М\subset Х и Y\overline{М}\}$. Очевидно, внешняя плотность $Y$ в $Х$ не  превосходит плотности $Y$.    Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $s(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,   такое, что $|М|\leq (ехр(\tau))^+$ и внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Если $s(Х)\leq (ехр(\tau))^+$, то в качестве $М$   можно взять всюду плотное в $Х$ множество минимальной мощности.   Если же $s(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,   $|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ —- искомое. Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то $М\subset \overline{N}$   для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому ввиду регулярности $Х$,  $$   w(M)\leq w(\overline{N})\leq ехр(\tau).  $$  Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$. 
...