deletions | additions       diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex  index 0081abc..2d38ae8 100644  --- a/abstract.tex  +++ b/abstract.tex 
...
$$  Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.  Теорема~5. Пусть $Х$ регулярно и $\{Х_\аlpha $\{Х_\alpha  : \аlpha\in \alpha\in  А\}$ — каноническая цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\аlpha$ $Х_\alpha$  в $Х$ не больше $\tau$ для всех $\аlpha\in $\alpha\in  А$. Тогда $s(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.   Эта теорема --- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5 улучшить нельзя.    Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из работы [3] на любом множестве $М$ существует однородный ультрафильтр (ультрафильтр на $М$ называется однородным, если он состоит из множеств той же мощности, что и $М$), любая база которого имеет мощность $\ехр(|М|)$. $ехр(|М|)$.  Рассмотрим множество $М$, $|М| =\tau$, и описанный выше ультрафильтр $\xi$ на $М= \{х_\alpha : \аlpha<\tau\}$. \alpha<\tau\}$.  Положим $Х=М\cup {\xi\}$. Базу топологии в $Х$ введем так: множество $М$ открыто и дискретно в $Х$, а открытые окрестности точки $\xi$ имеют вид $\{\xi\}\cup К$, где $K\in\xi$. Тогда $$ w(Х) = ехр(\tau) и Х = \bigcup\{Х_\alpha : \alpha< \tau\},$$ \tau\},  $$  где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta : \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$   и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$ нормально.   
...