deletions | additions
diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex
index 0e2acbe..c20c72b 100644
--- a/abstract.tex
+++ b/abstract.tex
...
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta : \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$ нормально.
Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{О_\alpha,1_\alpha\}$ — несвязное двоеточие,
$\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
$$
D^\alpha = \prod {D_\beta : \beta\leq\alpha},\hskip 5pt
a_\alpha=\{0_\beta: \alpha<\beta<\lambda\},
...
$О_\vro& \text{если х\neq х_\vro,}
\end{cases}
$$
где $х\in Y$. Через $\pi_\gamma$, где $\gamma\leq \аlpha$, обозначим проекцию $D^\аlpha$ на $D_\gamma$. Пусть $\widetilde{\pi}_\gamma$
-- --- продолжение отображения $\pi_\gamma$ на пространство $Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$. Пусть $f$
— --- диагональное произведение отображений
$$
\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\}\hskip 5pt и\hskip 5pt \{f_\vro: \alpha<\vro\leq\beta\},\hskip 6pt f\colon Y\to \prod \{D_\vro: \vro\leq\beta\}.
$$
...
\alpha < \vro\leq\beta\}$ разделяет точки в $Y$.
Теорема~6. Пусть $Х$ --- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что
$|(М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$. $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если $М$
-- --- правое (левое), то
$\overline{ic}(М) = |М|$ ($\overline{s}(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$. Далее, для любого
$\tau< \overline{iс}(Х)$ существует правое подпространство $М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и,
следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$. Таким образом, для всех $\tau<\overline{ic}(Х)$ теорема доказана. Пусть $\tau= \overline{ic}(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М -- \mbox{ правое}\}$. Если $\tau$
— -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство $М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть $\tau$ — предельный кардинал. В этом случае существует семейство $\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, такое, что $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$, причем любое $М\in\mathcal{P}$ правое. Положим $М_\tau=\bigcup\mathcal{P}$. Легко видеть, что
$$
|M_\tau| = nw(М_\tau) =\tau.
$$
Пусть, наконец, $\tau>\overline{ic}(X)$, но $\tau\leq w(Х)$.
Теорема 1 Теорема~1 утверждает, что существует
$М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и $w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$ в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot \overline{ic}(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot
\overline{ic}(Х)$, где $Х$
— -- бикомпакт. Следовательно,
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot \overline{ic}(Х).
$$
...
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
Т е о р е м а~7. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь в бикомпакте $Х$, причем
$nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.
Доказательство. Если $|А|\leq\tau$, то, очевидно, $nw(Х)\leq\tau$ и
$w(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. В силу регулярности кардинала $|А|$ для любого
$М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, найдется $\alpha\in А$, такое,
что $M\subset X_\alpha$, и поэтому $nw(М)\leq\tau$. По
теореме 6, теореме~6, $w(Х)<\tau$.
Замечание 1. Замечание~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь во вполне регулярном
перистом пространстве $Х$, причем $Х_\alpha$ -- перистое и $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого
$\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.
...
Вопрос 2. Можно ли в предположениях теоремы~5 утверждать,
что $w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))$?
В о п р о с 3. Можно ли бикомпактность пространства $Х$ в теореме~6
ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?
Автор глубоко признателен своему руководителю профессору
А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.
...
высшей геометрии и топологии
