deletions | additions       diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex  index c20c72b..2986054 100644  --- a/abstract.tex  +++ b/abstract.tex 
...
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если $s(Х)\leq (ехр(\tau))^+$, то в качестве $М$   можно взять всюду плотное в $Х$ множество минимальной мощности.   Если же $s(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,   $|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ —- --  искомое. Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то $М\subset \overline{N}$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому ввиду регулярности $Х$,  $$   w(M)\leq w(\overline{N})\leq ехр(\tau). 
...
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$ нормально.    Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{О_\alpha,1_\alpha\}$ — несвязное двоеточие,   $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим $$   D^\alpha = \prod {D_\beta : \beta\leq\alpha},\hskip 5pt   a_\alpha=\{0_\beta: \alpha<\beta<\lambda\},  
...
как система отображений $\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha}\cup \{f_\vro:   \alpha < \vro\leq\beta\}$ разделяет точки в $Y$.    Теорема~6. Пусть $Х$ --- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$   существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.    Доказательство. Заметим, что если $М$ --- правое (левое), то  $\overline{ic}(М) = |М|$ ($\overline{s}(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$. Далее, для любого   $\tau< \overline{iс}(Х)$ существует правое подпространство $М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и,   следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$. Таким образом, для всех $\tau<\overline{ic}(Х)$ теорема доказана. Пусть $\tau= \overline{ic}(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М -- \mbox{ правое}\}$. Если $\tau$ -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство $М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть $\tau$ — предельный кардинал. В этом случае существует семейство $\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, такое, что $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$, причем любое $М\in\mathcal{P}$ правое. Положим $М_\tau=\bigcup\mathcal{P}$. Легко видеть, что  $$  |M_\tau| = nw(М_\tau) =\tau.  $$  Пусть, наконец, $\tau>\overline{ic}(X)$, но $\tau\leq w(Х)$. Теорема~1 утверждает, что существует   $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и $w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$ в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot \overline{ic}(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot   \overline{ic}(Х)$, где $Х$ -- бикомпакт. Следовательно,  $$  \tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot \overline{ic}(Х).  $$  Но $\overline{ic}(Х)< \tau$, поэтому $nw(M_\tau)\geq w(M_\tau)$. Итак, имеем  $$  \tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.  $$  Т е о р е м а~7. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте $Х$, причем   $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.    Доказательство. Если $|А|\leq\tau$, то, очевидно, $nw(Х)\leq\tau$ и   $w(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. В силу регулярности кардинала $|А|$ для любого   $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, найдется $\alpha\in А$, такое,   что $M\subset X_\alpha$, и поэтому $nw(М)\leq\tau$. По теореме~6, $w(Х)<\tau$.  Замечание~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь во вполне регулярном   перистом пространстве $Х$, причем $Х_\alpha$ -- перистое и $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого   $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$. 
...
высшей геометрии и топологии