deletions | additions
diff --git a/abstract.tex b/abstract.tex
index 581cab6..ddcba86 100644
--- a/abstract.tex
+++ b/abstract.tex
...
Доказательство. Пусть $\tau$ —- регулярный кардинал. Через $\gamma_х$
oбозначим базу точки $х\in Х$, $|\gamma_х|<\tau$. Точку $х_0\in Х$ выберем произвольно
и положим $М_0=\emptyset$. Пусть определены точка $х_\beta$ и множество $М_\beta$
для всех
$\beta<\аlpha$, $\beta<\alpha$, где
$\аlpha<\tau$, $\alpha<\tau$, причем $|М_\beta|<\tau$. Положим
$$
A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\},\hskip 5pt \lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha).
$$
Очевидно, $|А_\alpha| < \tau$ и поэтому
$\lambda_\аlpha| $\lambda_\alpha| < \tau$. Отсюда следует, что найдутся точка $х_\alpha\in Х$ и ее открытая окрестность
$V(х_\аlpha)$, $V(х_\alpha)$, такие, что
$$
О \cap (Х\setminus V(х_\alpha)) \neq \emptyset
$$
для всех $O\in
\lambda(х_\аlpha)$. \lambda(х_\alpha)$. [Пусть $\theta$
-- --- система множеств в $Х$ и $х\in Х$. Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.] Для каждого $O\in
\lambda_\аlpha(х_\alpha)$ \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus
V(х_\аlpha))$ V(х_\alpha))$
выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,
$|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что
$х_\аlpha\notin $х_\alpha\notin \overline{M_\alpha}$ и $O\cap
М_\аlpha\neq М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in
\lambda_\аlpha(х_\alpha)$, \lambda_\alpha(х_\alpha)$,
поэтому
$\lambda_\аlpha\restriction (М_\аlpha\cup \{х_\аlpha\})$ $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является базой точки $х_\alpha$ в пространстве
$М_\аlpha $М_\alpha \cup
\{х_\аlpha\}$. \{х_\alpha\}$. [Если $\theta$ —- система множеств в $Х$ и $А\subset Х$, то через $\theta\restriction А$ обозначим систему
$\{V\cap А: V\in\theta\}$.]
Итак, пусть множества $\{М_\alpha:
\аlpha< \alpha< \tau\}$ и
$\{х_\аlpha: \аlpha< $\{х_\alpha: \alpha< \tau\}$ построены. Положим
$$
М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau},\hskip 5pt
\lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М}.
$$
Очевидно, $\lambda\restriction М$ — база пространства $М$. Утверждаем, что
$w(М)\geq\tau$. Предположим обратное, то есть пусть $w(М)<\tau$. Тогда существует $\mu\subset\lambda$, $|\mu|<\tau$ такое, что $\mu\restriction М$ — база в $М$. Однако существует $\alpha<\tau$ для которого $\mu\subset\lambda_\alpha$. Но
$\lambda_\аlpha\restriction $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup
\{х_\аlpha\})$ \{х_\alpha\})$ не база для точки
$х_\аlpha$ $х_\alpha$ в пространстве
$М_\alpha\cup
\{х_\аlpha\}$, \{х_\alpha\}$, и ввиду того, что
$М_\аlpha\cup \{х_\аlpha\}\subset $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М$, система $\lambda_\alpha\restriction М$ тем более не является базой точки $х_\alpha$ в $М$. Противоречие.
Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$ — сингулярный кардинал. Положим
тогда $\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau, \lambda — регулярный кардинал\}$. Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$ существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w (М_\lambda)\geq\lambda$. Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно, $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть $Х$ -- регулярное пространство. Тогда для каждого $\lambda\leq w(Х)$ существует $М_\lambda\subset Х$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w(М_\lambda)\geq\lambda$.
...
$$
\chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\}) \leq w(S\cup \{р\}) < \lambda
$$
(так как $|S\cup\{p\}\leq\lambda$) для любой точки $р\in Х$. Но $\chi(Х)\geq\lambda$, поэтому $\sup \{\chi(р,Х): р\in Х} =\lambda$. Следовательно, существует $Q\subset Х$, такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\}=\lambda$. Тогда, очевидно, $w(S\cup Q)\geq\lambda$, что противоречит предположению, сделанному в начале доказательства ($|S\cup Q|\leq\lambda$).
Теорема~2. Пусть $Х$ — произвольное пространство. Тогда для любого кардинала
$\lambda w(Х)$ существует $М_\lambda\subset Х$, такое, что $|М_\lambda|\leq \lambda$ и
...
Доказательство. Заметим, что $w(М)$ не больше внешнего
веса $М$ в $Х$ для любого $М\subset Х$. Поэтому, если $\chi(Х)<\lambda$,
все следует из леммы 1. Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Можно считать, что
$\chi(р,Х)<\lambda$, для любой $р\in Х$. Тогда $\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda$. Существует $Q\subset X$
такое, что $|Q|\leq \lambda$ и $\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$. Легко видеть, что множество $Q$ и есть нужное.
Т_е о_ре м а 3. Пусть
$\{Х_\аlpha $\{Х_\alpha :
\аlpha\in \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и
$\Phi\in \{с, \overline{с}, \overline{s}, \overline{ic} \}$. Тогда:
\begin{enumerate}
\item[а)] если
$\Phi(Х_\аlpha)<\tau$ $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех
$\аlpha\in $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;
\item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех
$\аlpha\in $\alpha\in А$, то
$\Phi(Х)\leq \tau$;
\item[в)] если внешний вес
$Х_\аlpha$ $Х_\alpha$ в $Х$ меньше $\tau$ для всех
$\аlpha\in $\alpha\in А$, то
$w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.
\end{enumerate}
...
функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем, что
$|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим $М_\alpha=
М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$, так как
$\overline{ic}(Х_\аlpha)<\tau$. $\overline{ic}(Х_\alpha)<\tau$. Однако
$М=\bigcup\{М_\аlpha: \аlpha\in $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$, поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если $\sup\{|М|: М — правое, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство $\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М| : М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим $N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и $\overline{ic}(N)\geq\tau$. Однако существует
$\аlpha\in $\alpha\in А$, такое, что $N\subset
Х_\аlpha$; Х_\alpha$; поэтому
$\overline{ic}(Х_\аlpha)\geq\tau$. $\overline{ic}(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак, $\overline{ic}(Х)<\tau$. Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.
Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$ и $|\gamma_\alpha|<\tau$. Тогда $\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}$ — база в $Х$.
Если $|А|\leq\tau$, то $|\gamma|\leq \tau$. Если же $|А|>\tau$, то внешний вес
...
