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\begin{itemize}  \item If $x$ and $y$ are integers of the same parity, then $xy$ and $(x+y)^2$ are of the same parity. (Two integers are of the same parity if they are both odd or both even.)  \end{itemize}  這個命題是錯的，所以我們只需要給一個反例即可。  \begin{flashleft}  \textbf{Solution.} \\  Let $x = y = 1$. Then $x$ and $y$ are of the same parity. However, $xy = 1$ and $(x+y)^2 = 4$ are of distinct parities. $\square$  \end{flashleft}  有的同學將$x, y$同為奇數和同為偶數的情形分別討論一下，然後得到第一種情形與命題的結論不合，代表命題為非。這樣當然不是不行，只是多了一堆不必要的討論罷了。  % ----------------------------------------------------------------  \section{運算元混淆}  第二種常見的錯誤，就是把運算元搞混；例如將集合的減法和實數的減法混淆在一起。  \begin{itemize}  \item Let $A$ and $B$ be two sets. If $A \setminus B = B \setminus A$, then $A \setminus B = \varnothing$.  \end{itemize}  這個命題為真，所以我們必須給予證明；常見的錯誤寫法為使用了  $$  A \setminus C = B \setminus C \quad \Rightarrow \quad A = B  $$  這種論證。  \begin{flashleft}  (錯誤寫法) \\  Since $A \setminus B = A \setminus (A \cap B)$ and $B \setminus A = B \setminus (A \cap B)$, we have  \begin{align*}  A \setminus (A \cap B) = B \setminus (A \cap B) \quad \Rightarrow \quad A = B \quad \Rightarrow \quad A \setminus B = \varnothing  \end{align*}  \end{flashleft}  集合的減法英文為difference，而實數的減法英文是minus，從字面上即可得知這是兩種不同的運算規則，因此  $$  a - c = b - c \quad \Rightarrow \quad a = b  $$  這種推論並不適用於集合。如果我們讓$A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{1, 2\}$以及$C = \{3\}$；則$A \setminus C = B \setminus C$但$A \neq B$。正確作法如下。  \begin{flashleft}  \textbf{Proof.} \\  Suppose that $A \setminus B \neq \varnothing$. Let $x \in A \setminus B$. Then $x \in A$ but $x \notin B$. Since $A \setminus B = B \setminus A$, it is seen that $x \in B$ but $x \notin A$. This shows that $x \in A$ and $x \notin A$, which is a contradiction. Hence $A \setminus B = \varnothing$. $\square$  \end{flashleft}  % ----------------------------------------------------------------  \section{說明不夠詳細} \section{說明不夠嚴謹}  這大概是最常見的問題，也是最不容易拿捏的地方。說明是否足夠嚴謹，其標準因人而異，但無論如何，寫得詳細些至少不會出錯。若以考試的觀點，大原則就是：只要是課本或課堂上沒出現過的命題，就必須給予證明。  \begin{itemize}  \item For every positive irrational number $b$, there is an irrational number $a$ such that $0 < a < b$.  \end{itemize}  這一題很簡單，大多數的同學會直接取$a = \frac{b}{2}$，接著就證明完畢。當然，$0 < a < b$的部分並沒有太大的疑義；但$a$是否為無理數就需要驗證了，請千萬不要漏了這個部分。  % ----------------------------------------------------------------  \section{倒因為果}  另外一種常見的錯誤，則是把要證明的結論當已知，然後推出一個恆真的結論。底下我們舉一個例子。  \begin{itemize}  \item $n^3 + 1 > n^2 + n$ for every integer $n \geq 2$.  \end{itemize}  \begin{flashleft}  (錯誤寫法) \\  Suppose that $n^3 + 1 > n^2 + n$ for every integer $n \geq 2$. Then  \begin{align*}  n^3 + 1 > n^2 + n \quad &\Rightarrow \quad n^3 + 1 - n^2 - n > 0 \\  &\Rightarrow \quad n^2(n-1) - (n-1) > 0 \\  &\Rightarrow \quad (n-1)(n^2-1) > 0 \\  &\Rightarrow \quad (n-1)^2 (n+1) > 0  \end{align*}  The last inequality is always true for every integer $n \geq 2$. $\square$  \end{flashleft}  雖然上面這個作法不對，但卻不是完全無用，因為它指點了一條正確證明的路。正確的作法應該從最後一行往回寫，這樣就沒問題了。換句話說，上面這種錯誤的做法，其實是正確證明的思考過程，只是需要正確的使用就是了。