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Chih-Hung Chang edited untitled.tex
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\textit{Oh, an empty article!} 本文旨在用最精簡的方式介紹極座標參數式的繪圖方法，所針對的情形為微積分課本中常見的範例，不見得適用於一般的通式。希望大家在閱讀完畢之後，能對極座標繪圖有初步的概念。底下我們針對$r = 2 \cos 3 \theta$這個參數式的作圖來說明。
You can get started by \textbf{double clicking} this text block and begin editing. You can also click the \textbf{Text} button below to add new block elements. Or you can \textbf{drag and drop an image} right onto this text. Happy writing! \noindent \textbf{Step 1.} 決定$\theta$的範圍。微積分課本中常見的範例，其圖形大多為週期，也就是說，我們只需要考慮有限的$\theta$範圍即可繪出完整的圖形。要決定$\theta$的範圍，首先得將$f(\theta) = 2 \cos 3 \theta$的圖形給描繪出來。
\href{https://drive.google.com/open?id=0B-UHVEifyTsQRlBzeW9DN0JUOUk}{圖1}
上圖中，$x$軸的刻度是以$\dfrac{\pi}{6}$為單位，可以看到的是，我們將前兩個週期的圖形分別給了由(1)到(8)的編號。為什麼我們要這樣編號呢？因為從(1)到(2)的過程中，$r$經歷了由正轉負，而(3)到(4)則是由負轉正；這邊要小心一個地方：因為$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，所以$\theta$的範圍也會影響描點時的相對位置。編號(1)到(3)對應到的$\theta$範圍分別為$\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]$、$\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]$、$\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\right]$，$\theta$位於第一象限，因此$x$-$y$的相對位置完全由$r$的正負號決定。而(4)到(6)對應到的$\theta$範圍分別為$\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{2\pi}{3}\right]$、$\left[\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$、$\left[\dfrac{5\pi}{6}, \pi\right]$，此時$\theta$位於第二象限，因此$y$的座標與$r$的正負號正好相反。
我們可以觀察到，(7)、(8)兩個區域的$\theta$正好與(1)、(2)兩個區域的$\theta$相差$\pi$，而且$r$的正負號也恰恰相反；換言之，(7)的圖形會重複(1)的圖形，而(8)的圖形會重複(2)的圖形。因此，我們可以得到底下這個結論：極座標參數式$r = 2 \cos 3 \theta$的圖形，其$\theta$的範圍為$[0, \pi]$，且可細分為六個區域繪圖。
\noindent \textbf{Step 2.} 匯出具有代表性的參考點。這些參考點，基本上就是步驟一當中所得到的六個區域的端點，將這七個點在座標平面標示出來後，圖形也就呼之欲出了。
\noindent \textbf{Step 3.} 描繪最終圖形。將步驟二的參考點依序連接，即可得到最終我們所要的圖形。
\href{https://drive.google.com/open?id=0B-UHVEifyTsQZ3dFM3M4cE5FZTA}{圖2}
