deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index eadc73a..3f1c1fe 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Существует $Q\subset X$ такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup\{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$.
Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.
Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и
$\Phi\in \{с, \overline{с}, \overline{d}, \overline{L} \}$. Тогда:
\begin{enumerate}
...
$w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.
\end{enumerate}
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
$\Phi=\overline{iс}$ $\Phi=\overline{L}$ (для других
кардинальных функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем,
что $|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим
$М_\alpha=
М\cap $М_\alpha=М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$,
так как $\overline{L}(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,
поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если
$\sup\{|М|: М -- \mbox{ правое }, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство
$\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что
...
причем $|S_F|\leq \overline{d}(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из
$\mathcal{F}$ в
$$
Ехр_{\tau(Х)} Ехр_{\tau}(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq
\overline{d}(Х) = \tau\}.
$$
Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.
Теорема~4. Пусть
$\{Х_\alpha : $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в хаусдорфовом
пространстве $Х$, причем $\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ и $\overline{d}(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
...
цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\alpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.
Эта теорема -- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что
теоремы~4 и~5 улучшить нельзя.
Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из
работы [3] на любом множестве $M$ существует однородный ультрафильтр
...
w(Х) = ехр(\tau)\, \mbox{ и }\, Х = \bigcup\{Х_\alpha: \alpha< \tau\},
$$
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$
нормально.
Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{0_\alpha, 1_\alpha\}$ --
несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
...
$\pi_\gamma$ на пространство$Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$.
Пусть $f$ -- диагональное произведение отображений
$$
\{\widetilde{\pi}_\gamma:
\gamma\leq\alpha\} \gamma\leq\alpha\}\, \mbox{ и
} }\,
\{f_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\},\ f\colon Y\to \prod \{D_\rho: \rho\leq\beta\}.
$$
Легко видеть, что бикомпакт $Х= f(Y)\times \{а_\beta\}$ и ординал $\beta$ таковы, что
...
Теорема~6. Пусть $Х$ -- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что
если$М$ если $М$ -- правое (левое), то
$\overline{L}(М) = |М|$ ($\overline{d}(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого $\tau< \overline{iс}(Х)$ существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
...
Доказательство. Согласно результату в [4] теснота в бикомпакте есть
супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть
$\lambda$ -- регулярный кардинал
и$М= и $М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --
свободная последовательность
в$Х$. в $Х$. Положим
$F_\alpha =\overline{\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\}}$. Тогда система
$\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована
и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть
...
$N_М$. В случае (б) существует семейство $\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, состоящее
из свободных последовательностей, такое, что
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau |\mathcal{P}|\leq\tau\, \mbox{ и
} }\, \sup\{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau.
$$
Положим $М_\tau=\bigcup \{N_М: М\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$$
|М_\tau|\leq\tau |М_\tau|\leq\tau\, \mbox{ и
} }\, t(M_\tau)\geq\tau.
$$
Ввиду регулярности кардинала $|А|$ существует $\alpha\in А$, такой, что $М_\tau\subset
Х_\alpha$, и поэтому $t(М_\tau)\leq t(Х_\alpha)<\tau$. Противоречие.
Замечание~2. Верно следующее предложение: если $Х$ хаусдорфово k-пространство
и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь в $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$, то $t(Х)\leq\tau$.
Лемма~З. Пусть $Х$
— -- бикомпакт, $t(Х)<\tau$ и $\chi(р, Х)\geq\tau$, где $р\in Х$.
Тогда существует $М\subset Х$, такое, что $|М|\leq\tau$ и $\chi(р, М)\geq\tau$.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\tau$ -- регулярный кардинал. Предполотим
...
Но $S =\bigcup \{S_\alpha: \alpha<\tau\}$ всюду плотно в $F$; поэтому
$$
\chi(p,S\cup\{p\}) =
\chi(p,F)\geq\tau \chi(p,F)\geq\tau\, \mbox{ и
} }\, |S\cup\{p\}|\leq\tau.
$$
Пусть теперь $\tau$ -- сингулярный кардинал. Для каждого регулярного кардинала
...
что было доказано). Очевидно, существует множество $\mathcal{P}$ таких кардиналов
$\lambda$, удовлетворяющее условиям
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau |\mathcal{P}|\leq\tau\, \mbox{ и
} }\, \sup\{\chi(р,М_\lambda):
\lambda\in\mathcal{P}\}\geq \tau.
$$
Положим $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Тогда $|М|\leq\tau$ и
$\chi(р,М)\geq\tau$.
Теорема~9. Пусть
$\{Х\alpha: $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в бикомпакте
$Х$, причем $\chi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\chi(Х)\leq\tau$.
Если же $|А|>\tau$, то $\chi(Х)<\tau$.
Доказательство. Заметим, что для каждой точки
$р\in Х$, $\chi(р,Х) =\psi(р,Х)\leq \sup\{\psi(р,Х_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|$.
Поэтому, если $|А|\leq \tau$, то $\chi(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. Тогда из теоремы~8
следует, что $t(Х)<\tau$. Далее, для каждого $М\subset Х$, такого, что $|М|\leq\tau$,
существует $\alpha\in А$, такое
что$M\subset что $M\subset X_\alpha$ и поэтому $\chi(М)<\tau$.
Применив лемму~3, получим $\chi(Х)<\tau$.
Предложение~З. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
...
