deletions | additions       diff --git a/results_table.tex b/results_table.tex  index c646d94..e68f7b8 100644  --- a/results_table.tex  +++ b/results_table.tex 
...
\subsection{Connections to Littlewood's Conjecture} \section{Results 2}  Определение~1. Мы говорим, что пространство $Х$ представлено в виде   объединения цепи своих подпространств $\{Х_\alpha: \аlpha\in А\}$, если   $(А, <)$ -- линейно-упорядоченное множество, $Х_\аlpha\subset Х_\beta$ при   $\аlpha<\beta$ и $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$.  We show the energy radiated in the convective region to be proportional to the mass in the radiative layer between the stellar surface and the upper boundary of the convective zone, as shown in Figure \ref{fig:fig1} and in a tabular form, in Table 1. Both {\it tori} and {\it riq} are designed to measure individuals; aggregations of individuals such as countries, universities, and departments, can be characterized by simple summary statistics, such as the number of scientists and their mean {\it riq}. An extension of {\it tori} to measure journals would be straight forward: it would consist of the simple removal of the normalization by the number of authors. Определение~2. Цепь $\mathcal{С}= \{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$ подпространств   в $Х$ называется канонической, если выполнены условия:  \begin{enumerate}  \item[а}] $(В,<)$ —- множество ординалов, меньших $|В|$;  \item[б)] если $\аlpha,\beta\in B$ и $\аlpha<\beta$, то $Х_\аlpha\subset Х_\beta$   (строгое включение);   \item[в)] $|В|$ — регулярный кардинал;  \item[г)] $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$.  \end{enumerate}  \begin{table}  \begin{center}  \begin{tabular}{lccccc}  \hline  \textbf{Phase} & \textbf{Time} & \textbf{M$_1$} & \textbf{M$_2$} & \textbf{$\Delta M$} & \textbf{P} \\   1 ZAMS & 0 & 16 & 15 & -- & 5.0 \\   2 Case B & 9.89 & 15.92 & 14.94 & 0.14 & 5.1 \\  3 ECCB & 11.30 & 3.71 & 20.86 & 6.44 & 42.7 \\  4 ECHB & 18.10 & -- & 16.76 & -- & -- \\  5 ICB & 18.56 & -- & 12.85 & -- & -- \\   6 ECCB & 18.56 & -- & 12.83 & -- & -- \\  \hline  \end{tabular}  \end{center}  \caption{\textbf{Some descriptive statistics about fruit and vegetable consumption among high school students in the U.S.}}  \end{table} Заметим теперь, что если $Х$ представлено в виде объединения цепи   лодпространств $\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$, то существует $В\subset А$,   такое, что $\{Х_\аlpha: \аlpha\in B\}$ —- каноническая цепь в $Х$. Поэтому   в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств   будем считать каноническими.  While bananas and apples still top the list of most popular fresh fruits, the amount of bananas consumed grew from 7 pounds per person in 1970 to 10.4 pounds in 2010, whereas consumption of fresh apples decreased from 10.4 pounds to 9.5 pounds. Watermelons and grapes moved up in the rankings. Лемма~1. Пусть $Х$ -- пространство и $\tau$ -- кардинал, такой, что   $\chi(Х)< \tau$ и $w(Х)\geq\tau$. Тогда существует $М\subset Х$, такое,   что $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$.    Доказательство. Пусть $\tau$ -- регулярный кардинал. Через $\gamma_х$   oбозначим базу точки $х\in Х$, $|\gamma_х|<\tau$. Точку $х_0\in Х$ выберем произвольно   и положим $М_0=\emptyset$. Пусть определены точка $х_\beta$ и множество $М_\beta$   для всех $\beta<\alpha$, где $\alpha<\tau$, причем $|М_\beta|<\tau$. Положим  $$  A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}  $$  и  $$  \lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha\}.  $$  Очевидно, $|А_\alpha| < \tau$ и поэтому $\lambda_\alpha|< \tau$. Отсюда следует,   что найдутся точка $х_\alpha\in Х$ и ее открытая окрестность $V(х_\alpha)$, такие, что  $$   О \cap (Х\setminus V(х_\alpha))\neq \emptyset  $$  для всех $O\in\lambda(х_\alpha)$. [Пусть $\theta$ -- система множеств в $Х$ и $х\in Х$.   Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.]   Для каждого $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))$   выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,  $|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\alpha\notin \overline{M_\alpha}$ и   $O\cap М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$,   поэтому $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является   базой точки $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha \cup \{х_\alpha\}$.   [Если $\theta$ —- система множеств в $Х$ и $А\subset Х$, то через   $\theta\restriction А$ обозначим систему $\{V\cap А: V\in\theta\}$.]    Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \alpha< \tau\}$ и $\{х_\alpha: \alpha< \tau\}$   построены. Положим  $$   М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\},\hskip 5pt   \lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.  $$  Очевидно, $\lambda\restriction М$ — база пространства $М$. Утверждаем, что   $w(М)\geq\tau$. Предположим обратное, то есть пусть $w(М)<\tau$. Тогда существует   $\mu\subset\lambda$, $|\mu|<\tau$ такое, что $\mu\restriction М$ — база в $М$.   Однако существует $\alpha<\tau$ для которого $\mu\subset\lambda_\alpha$. Но   $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})$ не база для точки   $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}$, и ввиду того, что   $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М$, система $\lambda_\alpha\restriction М$   тем более не является базой точки $х_\alpha$ в $М$. Противоречие.    Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$ — сингулярный кардинал. Положим   тогда $\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau\, \lambda -- \mbox{ регулярный кардинал}\}$.   Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$   существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w (М_\lambda)\geq\lambda$.   Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,   $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.