deletions | additions       diff --git a/results.tex b/results.tex  index 4a48fb0..35c8d25 100644  --- a/results.tex  +++ b/results.tex 
...
то $w(М)\geq |М|$ (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства   в $Х$ меньше $\lambda$ и потому $hd(Х)\leq\lambda$. Тем более,   $d(Х)\leq\lambda$. Зафиксируем всюду плотное в $Х$ множество $S$, $|S|\leq\lambda$.   В силу регулярности$Х$, регулярности $Х$,  $$  \chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\})\leq w(S\cup \{р\}) < \lambda  $$ 
...
веса $М$ в $Х$ для любого $М\subset Х$. Поэтому, если $\chi(Х)<\lambda$,   все следует из леммы~1. Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Можно считать, что   $\chi(р,Х)<\lambda$, для любой $р\in Х$. Тогда $\sup\{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda$.   Существует $Q\subset X$ такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup\{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$. Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.   Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в $Х$ и   $\Phi\in \{с, hс, hd, hL \}$. Тогда: 
...
\item[а)] если $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;  \item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то   $\Phi(Х)\leq \tau$;  \item[в)] если внешний вес $Х_\alpha$ в $Х$ меньше $\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$. \end{enumerate}     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\Phi=hL$ (для других кардинальных 
...
Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$   и $|\gamma_\alpha|<\tau$. Тогда $\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}$ --   база в $Х$. Если $|А|\leq\tau$, то $|\gamma|\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то внешний вес любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2, $w(X)<\tau$.   П р е д л о ж е н и е~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в  хаусдорфовом пространстве $Х$ и $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого  
...
$М\subset cl_X N$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому   ввиду регулярности$Х$,  $$   w(M)\leq w(cl_X N)\leq w(cl_X(N))\leq  ехр(\tau). $$  Противоречие. Итак, внешняя плотность$М$ плотность $М$  в $Х$ больше $\tau$. Теорема~5. Пусть $Х$ регулярно и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая   цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\alpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех   $\alpha\in А$. Тогда $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.    Эта теорема -- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5   улучшить нельзя.    Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из   работы [3] на любом множестве $M$ существует однородный ультрафильтр   (ультрафильтр на $M$ называется однородным, если он состоит из множеств   той же мощности, что и $М$), любая база которого имеет мощность $ехр(|М|)$.   Рассмотрим множество $M$, $|М| =\tau$, и описанный выше ультрафильтр $\xi$   на $М= \{х_\alpha : \alpha<\tau\}$. Положим $Х=М\cup {\xi\}$. Базу топологии   в $Х$ введем так: множество $M$ открыто и дискретно в$Х$, а открытые окрестности   точки $\xi$ имеют вид $\{\xi\}\cup К$, где $K\in\xi$.  Тогда  $$   w(Х) = ехр(\tau)\, \mbox{ и }\, Х = \bigcup\{Х_\alpha: \alpha< \tau\},  $$  где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$   и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$   нормально.