deletions | additions       diff --git a/introduction.tex b/introduction.tex  index 1e11209..3f92ae7 100644  --- a/introduction.tex  +++ b/introduction.tex 
...
то для каждого $\lambda<\tau$ найдется левое (правое) $М\subset Х$, такое,   что $|М|=\lambda$. Это замечание будем использовать в дальнейшем.    Определение~1. Мы говорим, что пространство $Х$ представлено в виде   объединения цепи своих подпространств $\{Х_\alpha: \аlpha\in А\}$, если   $(А, <)$ Доказательство. Пусть $\tau$  -- линейно-упорядоченное множество, $Х_\аlpha\subset Х_\beta$ при   $\аlpha<\beta$ регулярный кардинал. Через $\gamma_х$   oбозначим базу точки $х\in Х$, $|\gamma_х|<\tau$. Точку $х_0\in Х$ выберем произвольно   и положим $М_0=\emptyset$. Пусть определены точка $х_\beta$  и$Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$.  Определение~2. Цепь $\mathcal{С}= \{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$ подпространств   в $Х$ называется канонической, если выполнены условия:  \begin{enumerate}  \item[а}] $(В,<)$ —-  множество ординалов, меньших $|В|$;  \item[б)] если $\аlpha,\beta\in B$ $М_\beta$   для всех $\beta<\alpha$, где $\alpha<\tau$, причем $|М_\beta|<\tau$. Положим  $$  A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}   $$  и $\аlpha<\beta$, то $Х_\аlpha\subset Х_\beta$   (строгое включение);   \item[в)] $|В|$ — регулярный кардинал;  \item[г)] $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$.  \end{enumerate}   Заметим теперь, $$  \lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha\}.  $$  Очевидно, $|А_\alpha| < \tau$ и поэтому $\lambda_\alpha|< \tau$. Отсюда следует,  что если $Х$ представлено в виде объединения цепи   лодпространств $\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$, то существует $В\subset А$,   такое, найдутся точка $х_\alpha\in Х$ и ее открытая окрестность $V(х_\alpha)$, такие,  что $\{Х_\аlpha: \аlpha\in B\}$ —- каноническая цепь $$   О \cap (Х\setminus V(х_\alpha))\neq \emptyset  $$  для всех $O\in\lambda(х_\alpha)$. [Пусть $\theta$ -- система множеств  в $Х$. Поэтому $Х$ и $х\in Х$.   Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.]   Для каждого $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))$   выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,  $|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\alpha\notin \overline{M_\alpha}$ и   $O\cap М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$,   поэтому $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является   базой точки $х_\alpha$  в дальнейшем все представления пространств пространстве $М_\alpha \cup \{х_\alpha\}$.   [Если $\theta$ —- система множеств  в виде объединения цепи подпространств   будем считать каноническими. $Х$ и $А\subset Х$, то через   $\theta\restriction А$ обозначим систему $\{V\cap А: V\in\theta\}$.]    Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \alpha< \tau\}$ и $\{х_\alpha: \alpha< \tau\}$   построены. Положим  $$   М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\},\hskip 5pt   \lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.  $$  Лемма~1. Пусть $Х$ -- пространство и $\tau$ -- кардинал, такой, Очевидно, $\lambda\restriction М$ — база пространства $М$. Утверждаем,  что $\chi(Х)< \tau$ и $w(Х)\geq\tau$. $w(М)\geq\tau$. Предположим обратное, то есть пусть $w(М)<\tau$.  Тогда существует $М\subset Х$, $\mu\subset\lambda$, $|\mu|<\tau$  такое, что $|М|\leq\tau$ $\mu\restriction М$ — база в $М$.   Однако существует $\alpha<\tau$ для которого $\mu\subset\lambda_\alpha$. Но   $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})$ не база для точки   $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}$,  и $w(М)\geq\tau$. ввиду того, что   $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М$, система $\lambda_\alpha\restriction М$   тем более не является базой точки $х_\alpha$ в $М$. Противоречие.    Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$ — сингулярный кардинал. Положим   тогда $\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau\, \lambda -- \mbox{ регулярный кардинал}\}$.   Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$   существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w (М_\lambda)\geq\lambda$.   Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,   $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.