deletions | additions       diff --git a/results.tex b/results.tex  index 1ebcb61..5f2e849 100644  --- a/results.tex  +++ b/results.tex 
...
Существует $Q\subset X$ такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup\{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$.   Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.    Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и   $\Phi\in \{с, \overline{с}, \overline{d}, \overline{L} \}$. Тогда:  \begin{enumerate}  \item[а)] если $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;  \item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то   $\Phi(Х)\leq \tau$;  \item[в)] если внешний вес $Х_\alpha$ в $Х$ меньше $\tau$ для всех $\alpha\in А$, то   $w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.  \end{enumerate}     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\Phi=\overline{iс}$ (для других кардинальных  функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем, что  $|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим $М_\alpha=  М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$, так как   $\overline{L}(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,   поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если   $\sup\{|М|: М -- \mbox{ правое }, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство   $\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что   $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим   $N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и $\overline{L}(N)\geq\tau$.   Однако существует $\alpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\alpha$; поэтому   $\overline{L}(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак, $\overline{L}(Х)<\tau$.   Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.   Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$   и $|\gamma_\alpha|<\tau$. Тогда $\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}$ --   база в $Х$. Если $|А|\leq\tau$, то $|\gamma|\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то внешний вес   любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2,  $w(X)<\tau$.    П р е д л о ж е н и е~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в  хаусдорфовом пространстве $Х$ и $\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого   $\alpha\in А$. Тогда $|Х|\leq ехр(\tau)$.    Доказательство. Как показано в работе [1], $|Y|\leq еxp(\overline{L}(Y))$   для любого хаусдорфова пространства $Y$. Поэтому $|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)$   для всех $\alpha\in А$. Следовательно, если $|А|\leq\tau^+$, то $|Х|\leq ехр(\tau)$.   Если же $|А|>\tau^+$, то, по пункту~(б) теоремы~3, $\overline{L}(Х)\leq\tau$,   а потому $|Х|\leq ехр(\tau)$.  Предложение~2. Для любого $Х$, $w(Х)\leq |Х|^{d(Х)}$.  Доказательство. Пусть $\mathcal{F}$ -- система всех замкнутых множеств   в $Х$. Через $S_F$ обозначим всюду плотное множество в $F\in\mathcal{F}$,   причем $|S_F|\leq \overline{d}(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из   $\mathcal{F}$ в  $$   Ехр_{\tau(Х)} = \{М\subset Х: |М|\leq \overline{d}(Х) = \tau\}.   $$  Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.    Теорема~4. Пусть $\{Х_\alpha : \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в хаусдорфовом  пространстве $Х$, причем $\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ и $\overline{d}(Х_\alpha)<\tau$   для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.  Доказательство. По теореме~3, пункт (а), $\overline{d}(Х)\leq\tau$. Из предложения~1   вытекает $|Х|\leq ехр(\tau)$. Предложение~2 дает  $$   w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).   $$  Следствие. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь   в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.   Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно, $\overline{L}(Х)\cdot \overline{d}(Х)\leq nw(Х)$   для любого $Х$.   Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества $Y$ в $Х$ мы называем   $\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и } Y\overline{М}\}$. Очевидно, внешняя плотность   $Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.