deletions | additions       diff --git a/results.tex b/results.tex  index 95c50a9..a1de722 100644  --- a/results.tex  +++ b/results.tex 
...
во вполне регулярном перистом пространстве$Х$, причем $Х_\alpha$ -- перистое и   $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.  Теорема~8. Пусть $\{Х_\alpha:\alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в   бикомпакте $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда   $t(Х)\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то $t(Х)<\tau$.  Доказательство. Согласно результату в [4] теснота в бикомпакте есть   супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть   $\lambda$ -- регулярный кардинал и $М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --   свободная последовательность в $Х$. Положим   $F_\alpha = cl_X (\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\})$. Тогда система   $\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована   и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть   $р\in F_M$ и $N_М=М\cup \{р\}$. Тогда $t(р,М) =\lambda$, где   $t(р,М) =\min \{|В|: В\subset М \mbox{ и } p\in cl_X B \}$; поэтому   $t(N_М)=\lambda$, причем $|N_M|=|M|=\tau$.  Рассмотрим теперь два случая.  I. $|А|\leq\tau$. Если $t(Х}>\tau$, то в $Х$ существует свободная последовательность   $М$ длины $\tau^+$. Пусть $F_M$ -- построенное выше множество. Обозначим   $S_\gamma = M\cap X_\gamma$ и $T_\gamma=F_М\cap Х_\gamma$ для каждого $\gamma\in A$.   Тогда $М$ является объединением цепи своих подпространств $\{S_\gamma: \gamma\in А\}$,   а $F_M$ есть объединение цепи своих подпространств $\{Т_\gamma: \gamma\in А\}$.   Отметим, что  $$  cl_{X_\gamma}(S_\gamma)\cap Т_\gamma =   cl_{X}(S_\gamma)\cap Т_\gamma =\emptyset  $$  для каждого $\gamma\in A$ -- иначе, как показано выше, будем иметь  $t(N_{S_\gamma})>\tau$ для того $\gamma\in А$, для которого   $cl_X(S_\gamma)\cap Т_\gamma\neq\emptyset$, а это противоречит тому,   что $t(Х_\gamma)<\tau$. Так как $|М|=\tau^+$, существует $\gamma_0\in A$ такой,   что $|S_{\gamma_0}|=\tau^+$. Пусть $\theta\geq\gamma_0$. Тогда   $$   cl_X(S_{\gamma_0}) \cap Т_\theta \subset cl_X(S_\theta) \cap Т_\theta   =\emptyset,  $$  и поэтому $cl_X(S_{\gamma_0})\cap T_\theta=\emptyset$ для каждого   $\theta\geq\gamma_0$, то есть $cl_X(S_{\gamma_0}) \cap F_M=\emptyset$.  Но $cl_X(N) \cap F_M\neq\emptyset$ для любого $N\subset М$, такого, что   $|N| =\tau^+$; например, любая точка полного накопления для $N$ лежит в $F_M$.   Полученное противоречие показывает, что в первом случае $t(Х)\leq\tau$.  II. $|А|>\tau$. Пусть $t(Х)\geq \tau$. Тогда верно одно из двух:  \begin{enumerate}  \item[а)] существует свободная последовательность $М$ в $Х$, $|М| =\tau$;  \item[б)] $\tau$ -- предельный кардинал, $\tau=\sup\{|М|: М --   \mbox{ свободная последовательность в } Х\}$.   \end{enumerate}  Однако в каждом из случаев (а), (б) существует $М_\tau\subset Х$, такое, что   $|М_\tau|\leq\tau$ и $t(М_\tau)\geq\tau$. В случае (а) таким пространством будет   $N_М$. В случае (б) существует семейство $\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, состоящее   из свободных последовательностей, такое, что  $$  |\mathcal{P}|\leq\tau\, \mbox{ и }\, \sup\{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau.  $$  Положим $М_\tau=\bigcup \{N_М: М\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,  $$  |М_\tau|\leq\tau\, \mbox{ и }\, t(M_\tau)\geq\tau.  $$  Ввиду регулярности кардинала $|А|$ существует $\alpha\in А$, такой, что $М_\tau\subset   Х_\alpha$, и поэтому $t(М_\tau)\leq t(Х_\alpha)<\tau$. Противоречие.  Замечание~2. Верно следующее предложение: если $Х$ хаусдорфово k-пространство   и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$   для всех $\alpha\in А$, то $t(Х)\leq\tau$.  Лемма~З. Пусть $Х$ -- бикомпакт, $t(Х)<\tau$ и $\chi(р, Х)\geq\tau$, где $р\in Х$.   Тогда существует $М\subset Х$, такое, что $|М|\leq\tau$ и $\chi(р, М)\geq\tau$.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\tau$ -- регулярный кардинал. Предполотим   теперь, что $\chi(р, М)<\tau$ для любого $М\subset X$, такого, что $|М|<\tau$.   Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$   произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей   точки $р$, такая, что $O_0= Х\setminus\{x_0\}$,   $p\in O_{n+1}\subset cl(O_{n+1})\subset O_n$,   для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех   $\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --  система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим   $\theta_\alpha =\bigcup \{\lambda_\beta: \beta<\alpha\}$. Тогда, очевиднo,   $|\theta_\alpha|<\tau$. Ввиду того что $Х$ -- бикомпакт, $\chi(р,Х)=\psi(р,Х)$ и   поэтому существует точка $х_\alpha\in \bigcap\theta_\alpha\setminus \{р\}$.   Положим $S_\alpha = \{p\}\cup \{x_\beta: \beta\leq\alpha\}$ и   $F_\alpha = cl_X(S_\alpha)$. В силу регулярности $Х$,   $\tau>\chi(р,S_\alpha)=х(p, F_\alpha)$.  Теперь легко построить систему $\lambda_\alpha$ открытых в $Х$ множеств,   содержащих точку $р$, такую, что:  \begin{enumerate}  \item[а)] $\lambda_\alpha\restriction F_\alpha$ -- база точки $р$ в пространстве   $F_\alpha$;  \item[б)] $\theta_\alpha\subset \lambda_\alpha$;  \item[в)] для любой $O\in\lambda_\alpha$ существует $V\in \lambda_\alpha$,   такая, что $cl_X(V)\subset O$;  \item[г)] $\bigcap\mu\in\lambda_\alpha$ для любой $\mu\subset\lambda_\alpha$,   такой, что $|\mu|<\omega$;  \item[д)] $|\lambda_\alpha|<\tau$.  \end{enumerate}  Пусть построены множества $\{F_\alpha: \alpha<\tau\}$ и система   $\lambda=\bigcup\{\lambda_\alpha: \alpha<\tau\}$. Так как$t(Х)<\tau$,   множество $F=\bigcup\{F_\alpha: \alpha<\tau\}$ замкнуто в $Х$. Далее,   $F\cap\bigcap\lambda=\{р\}$ и, кроме того, из построения следует, что   система $\lambda$ обладает двумя свойствами:  \begin{enumerate}  \item[1)] для любого $O\in\lambda$ существует $V\in\lambda$, такое, что   $cl_X(V)\subset O$;  \item[2)] $\bigcap\mu\in\lambda$, для любой $\mu\subset\lambda$, такой, что   $|\mu|<\omega$.  \end{enumerate}  Поэтому $\lambda\restriction F$ — база точки $р$ в пространстве $F$. утверждаем, что   $\chi(р, F)\geq\tau$. Действительно, пусть $\chi(р,F)<\tau$. Тогда существует   $\gamma\subset\lambda$, такая, что $|\gamma|<\tau$ и $\gamma\restriction F$ --   база точки $р$ в пространстве $F$. Однако существует $\alpha<\tau$, такое, что   $\gamma\subset\theta_\alpha$ и поэтому $x_\alpha\in\bigcap\gamma$, то есть   $\gamma$ -- не база точки $р$ в $F$. Итак, $\chi(р,F)\geq\tau$.  Но $S =\bigcup \{S_\alpha: \alpha<\tau\}$ всюду плотно в $F$; поэтому  $$  \chi(p,S\cup\{p\}) = \chi(p,F)\geq\tau\, \mbox{ и }\, |S\cup\{p\}|\leq\tau.  $$  Пусть теперь $\tau$ -- сингулярный кардинал. Для каждого регулярного кардинала   $\lambda$, удовлетворяющего условию $t(Х)<\lambda<\tau$, через $М_\lambda$   обозначим такое подпространство в $Х$, что $|М_\lambda|=\lambda$ и   $\chi(р, М_\lambda)\geq\lambda$ (существование такого $М_\lambda$ только   что было доказано). Очевидно, существует множество $\mathcal{P}$ таких кардиналов   $\lambda$, удовлетворяющее условиям  $$  |\mathcal{P}|\leq\tau\, \mbox{ и }\, \sup\{\chi(р,М_\lambda):   \lambda\in\mathcal{P}\}\geq \tau.  $$  Положим $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Тогда $|М|\leq\tau$ и   $\chi(р,М)\geq\tau$.    Теорема~9. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте   $Х$, причем $\chi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\chi(Х)\leq\tau$.   Если же $|А|>\tau$, то $\chi(Х)<\tau$.    Доказательство. Заметим, что для каждой точки   $р\in Х$, $\chi(р,Х) =\psi(р,Х)\leq \sup\{\psi(р,Х_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|$.   Поэтому, если $|А|\leq \tau$, то $\chi(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. Тогда из теоремы~8  следует, что $t(Х)<\tau$. Далее, для каждого $М\subset Х$, такого, что $|М|\leq\tau$,   существует $\alpha\in А$, такое что $M\subset X_\alpha$ и поэтому $\chi(М)<\tau$.   Применив лемму~3, получим $\chi(Х)<\tau$.  Предложение~З. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в   бикомпакте $Х$ и $\chi(X_\alpha)\leq\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда   $|Х|\leq ехр(\tau)$.  Это предложение легко следует из предыдущей теоремы и доказанного А.В.~Архангельск  им для хаусдорфовых пространств неравенства $|Х|\leq ехр (L(Х)\cdot\chi(Х))$ (см. [5]).    Теорема~10. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте   $Х$ и $d(Х)\leq \tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.  Доказательство. Положим $F_\alpha = cl_X(Х_\alpha)$ и из цепи $\{F_\alpha:   \alpha\in А\}$ выберем каноническую цепь $\{F_\beta: \beta\in B\}$, где $В\subset А$.   Заметим, что $d(F_\alpha)\leq d(Х_\alpha)$ для всех $\alpha\in А$. Если $|В|\leq ехр(\tau)$, то  $$  w(Х)\leq nw(Х)\leq |В|\cdot \sup\{nw(F_\beta): \beta\in В\}\leq ехр(\tau),  $$  так как  $$  nw(F_\beta)\leq w(F_\beta)\leq ехр(d(F_\beta))\leq ехр(\tau)  $$  ($Х$ регулярно). Пусть $|В|>ехр(\tau)$. Имеем: $с(F_\beta)\leq d(F_\beta)\leq\tau$   для всех $\beta\in B$ и из пункта~(б) теоремы~3 следует, что $с(Х)\leq\tau$. Однако   $w(Х)\geq ш(Х) > ехр(\tau)$. Отсюда вытекает, что существует непрерывное отображение   $f$ бикомпакта $Х$ на тихоновский куб $I^\mu$, где $\mu= (ехр(\tau))^+$ (см. [6], теорема~3).  Заметим, что $d(I^\mu)>\tau$ и потому $f(F_\beta)\neq I^\mu$ для всех   $\beta\in B$. Однако $I^\mu=\bigcup\{f(F_\beta): \beta\in В\}$ и $f(_\beta)$   замкнуто в $I^\mu$ для всех $\beta\in B$. Следовательно, $ш(I^\mu)\geq |В|>ехр(\tau)$,   хотя хорошо известно, что $ш(I^\mu) =\omega$ для любого из $\mu\geq 1$. Противоречие.   Таким образом, случай $|В|> ехр(\tau)$ невозможен.  Предложение~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в   бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого $\alpha\in А$.   Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.  Доказательство. Если $|А|>\tau^+$, то из пункта~(б) теоремы~3 следует, что   $с(Х)\leq\tau$. Из теоремы~8 вытекает, что $t(Х)\leq\tau$. Но для любого бикомпакта   $Y$ выполняется неравенство $w(Y)\leq t(Y)^{с(Y)}$ (см. [7], следствие~5). Поэтому   $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Пусть $|А|\leq\tau^+$. Тогда $t(Х)<\tau^+$. Пусть   $F_\alpha = cl_X(Х_\alpha)$. Тогда $c(F_\alpha) = c(Х_\alpha)\leq\tau$ и   $t(F_\alpha)\leq t(Х)\leq\tau^+$. Поэтому $w(F_\alpha)\leq (\tau^+)^\tau = ехр(\tau)$   для всех $\alpha\in А$. Следовательно,  $$   w(X)\leq nw(X)\leq \sup\{nw(F_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|\leq ехр(\tau),  $$  то есть $w(Х)\leq ехр(\tau)$.   По аналогии с предыдущим предложением, используя пункт~2 следствия~3.3 из   работы [8], можно доказать  Предложение~5. [$МA\, \&\, \aleph_1<2^\omega$] Пусть   $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ —- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и   $t(Х_\alpha)\cdot d(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда   $\pi w(Х)\leq\aleph_1$.  Предложение~6. [$МA\, \&\, \aleph_2<2^\omega$] Пусть   $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и   $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда   $\pi w(Х)\leq \aleph_1$.  Вопрос~1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1  ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно  леммы~2.  Вопрос~2. Можно ли в предположениях теоремы~5 утверждать,   что $w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))$?  Вопрос~3. Можно ли бикомпактность пространства   $Х$ в теореме~6 ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?  Автор глубоко признателен своему руководителю профессору   А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.     
...