this is for holding javascript data
Mikhail Tkachenko edited results.tex
over 8 years ago
Commit id: 5284e62543b2f82746319eaad46f4c75f88599e7
deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index b7495e6..3b49fe3 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Теорема~6. Пусть $Х$ -- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если$М$ -- правое (левое), то
$\overline{L}(М) = |М|$ ($\overline{d}(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого $\tau< \overline{iс}(Х)$ существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
Таким образом, для всех $\tau<\overline{L}(Х)$ теорема доказана. Пусть
$\tau= \overline{L}(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М - \mbox{ правое}\}$.
Если $\tau$ -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть
$\tau$ -- предельный кардинал. В этом случае существует семейство
$\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, такое, что $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и
$\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$, причем любое $М\in\mathcal{P}$ правое.
Положим $М_\tau=\bigcup\mathcal{P}$. Легко видеть, что
$$
|M_\tau| =nw(М_\tau) =\tau.
$$
Пусть, наконец, $\tau>\overline{L}(X)$, но $\tau\leq w(Х)$. Теорема~1 утверждает,
что существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и
$w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$
в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot \overline{L}(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot
\overline{L}(Х)$, где $Х$ — бикомпакт. Следовательно,
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot \overline{L}(Х).
$$
Но $\overline{L}(Х)< \tau$, поэтому $nw(M_\tau)\geq w(M_\tau)$. Итак, имеем
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
Т е о р е м а~7. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в бикомпакте $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда
$w(Х)\leq\tau$.
Доказательство. Если $|А|\leq\tau$, то, очевидно, $nw(Х)\leq\tau$ и
$w(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. В силу регулярности кардинала$|А|$ для любого
$М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, найдется $\alpha\in А$, такое,
что $M\subset X_\alpha$, и поэтому $nw(М)\leq\tau$. По теореме~6, $w(Х)<\tau$.
Замечание~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь
во вполне регулярном перистом пространстве$Х$, причем $Х_\alpha$ -- перистое и
$nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.
Теорема~8. Пусть $\{Х_\alpha:\alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
бикомпакте $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда
$t(Х)\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то $t(Х)<\tau$.
Доказательство. Согласно результату в [4] теснота в бикомпакте есть
супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть
$\lambda$ -- регулярный кардинал и$М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --
свободная последовательность в$Х$. Положим
$F_\alpha =\overline{\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\}}$. Тогда система
$\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована
и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть
$р\in F_M$ и $N_М=М\cup \{р\}$. Тогда $t(р,М) =\lambda$, где
$t(р,М) =\min \{|В|: В\subset М \mbox{ и } p\in\overline{B}\}$; поэтому
$t(N_М)=\lambda$, причем $|N_M|=|M|=\tau$.
Рассмотрим теперь два случая.
I. $|А|\leq\tau$. Если $t(Х}>\tau$, то в $Х$ существует свободная последовательность
$М$ длины $\tau^+$. Пусть $F_M$ -- построенное выше множество. Обозначим
$S_\gamma = M\cap X_\gamma$ и $T_\gamma=F_М\cap Х_\gamma$ для каждого $\gamma\in A$.
Тогда $М$ является объединением цепи своих подпространств $\{S_\gamma: \gamma\in А\}$,
а $F_M$ есть объединение цепи своих подпространств $\{Т_\gamma: \gamma\in А\}$.
Отметим, что
$$
\overline{S_\gamma}_{Х_\gamma}\cap Т_\gamma =
\overline{S_\gamma}_X \cap Т_\gamma =\emptyset
$$
для каждого $\gamma\in A$ -- иначе, как показано выше, будем иметь
$t(N_{S_\gamma})>\tau$ для того $\gamma\in А$, для которого
$\overline{S_\gamma}\cap Т_\gamma\neq\emptyset$, а это противоречит тому,
что $t(Х_\gamma)<\tau$. Так как $|М|=\tau^+$, существует $\gamma_0\in A$ такой,
что $|S_{\gamma_0}|=\tau^+$. Пусть $\theta\geq\gamma_0$. Тогда
$$
\overline{S_{\gamma_0}}_X \cap Т_\theta \subset \overline{S_\theta}_X \cap Т_\theta
=\emptyset,
$$
и поэтому $\overline{S_{\gamma_0}}\cap T_\theta=\emptyset$ для каждого
$\theta\geq\gamma_0$, то есть $\overline{S_{\gamma_0}}_X \cap F_M=\emptyset$.
Но $\overline{N}_X \cap F_M\neq\emptyset$ для любого $N\subset М$, такого, что
$|N| =\tau^+$; например, любая точка полного накопления для $N$ лежит в $F_M$.
Полученное противоречие показывает, что в первом случае $t(Х)\leq\tau$.
II. $|А|>\tau$. Пусть $t(Х)\geq \tau$. Тогда верно одно из двух:
\begin{enumerate}
\item[а)] существует свободная последовательность $М$ в $Х$, $|М| =\tau$;
\item[б)] $\tau$ -- предельный кардинал, $\tau=\sup\{|М|: М --
\mbox{ свободная последовательность в } Х\}$.
\end{enumerate}
Однако в каждом из случаев (а), (б) существует $М_\tau\subset Х$, такое, что
$|М_\tau|\leq\tau$ и $t(М_\tau)\geq\tau$. В случае (а) таким пространством будет
$N_М$. В случае (б) существует семейство $\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, состоящее
из свободных последовательностей, такое, что
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau \mbox{ и } \sup\{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau.
$$
Положим $М_\tau=\bigcup \{N_М: М\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$$
|М_\tau|\leq\tau \mbox{ и } t(M_\tau)\geq\tau.
$$
Ввиду регулярности кардинала $|А|$ существует $\alpha\in А$, такой, что $М_\tau\subset
Х_\alpha$, и поэтому $t(М_\tau)\leq t(Х_\alpha)<\tau$. Противоречие.
Замечание~2. Верно следующее предложение: если $Х$ хаусдорфово k-пространство
и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$, то $t(Х)\leq\tau$.
Лемма~З. Пусть $Х$ — бикомпакт, $t(Х)<\tau$ и $\chi(р, Х)\geq\tau$, где $р\in Х$.
Тогда существует $М\subset Х$, такое, что $|М|\leq\tau$ и $\chi(р, М)\geq\tau$.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\tau$ -- регулярный кардинал. Предполотим
теперь, что $\chi(р, М)<\tau$ для любого $М\subset X$, такого, что $|М|<\tau$.
Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$
произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей
точки $р$, такая, что $O_0= Х\setminus\{x_0\}$, $p\in O_{n+1}\subset \overline{O_{n+1}}\subset O_n$,
для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех
$\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --
система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим
$\theta_\alpha =\bigcup \{\lambda_\beta: \beta<\alpha\}$. Тогда, очевиднo,
$|\theta_\alpha|<\tau$. Ввиду того что $Х$ -- бикомпакт, $\chi(р,Х)=\psi(р,Х)$ и
поэтому существует точка $х_\alpha\in \bigcap\theta_\alpha\setminus \{р\}$.
Положим $S_\alpha = \{p\}\cup \{x_\beta: \beta\leq\alpha\}$ и
$F_\alpha = \overline{S_\alpha}_Х$. В силу регулярности $Х$,
$\tau>\chi(р,S_\alpha)=х(p, F_\alpha)$.
Теперь легко построить систему $\lambda_\alpha$ открытых в $Х$ множеств,
содержащих точку $р$, такую, что:
\begin{enumerate}
\item[а)] $\lambda_\alpha\restriction F_\alpha$ -- база точки $р$ в пространстве
$F_\alpha$;
\item[б)] $\theta_\alpha\subset \lambda_\alpha$;
\item[в)] для любой $O\in\lambda_\alpha$ существует $V\in \lambda_\alpha$,
такая, что $\overline{V}\subset O$;
\item[г)] $\bigcap\mu\in\lambda_\alpha$ для любой $\mu\subset\lambda_\alpha$,
такой, что $|\mu|<\omega$;
\item[д)] $|\lambda_\alpha|<\tau$.
\end{enumerate}
Пусть построены множества $\{F_\alpha: \alpha<\tau\}$ и система
$\lambda=\bigcup\{\lambda_\alpha: \alpha<\tau\}$. Так как$t(Х)<\tau$,
множество $F=\bigcup\{F_\alpha: \alpha<\tau\}$ замкнуто в $Х$. Далее,
$F\cap\bigcap\lambda=\{р\}$ и, кроме того, из построения следует, что
система $\lambda$ обладает двумя свойствами:
\begin{enumerate}
\item[1)] для любого $O\in\lambda$ существует $V\in\lambda$, такое, что
$\overline{V}\subset O$;
\item[2)] $\bigcap\mu\in\lambda$, для любой $\mu\subset\lambda$, такой, что
$|\mu|<\omega$.
\end{enumerate}
Поэтому $\lambda\restriction F$ — база точки $р$ в пространстве $F$. утверждаем, что
$\chi(р, F)\geq\tau$. Действительно, пусть $\chi(р,F)<\tau$. Тогда существует
$\gamma\subset\lambda$, такая, что $|\gamma|<\tau$ и $\gamma\restriction F$ --
база точки $р$ в пространстве $F$. Однако существует $\alpha<\tau$, такое, что
$\gamma\subset\theta_\alpha$ и поэтому $x_\alpha\in\bigcap\gamma$, то есть
$\gamma$ -- не база точки $р$ в $F$. Итак, $\chi(р,F)\geq\tau$.
Но $S =\bigcup \{S_\alpha: \alpha<\tau\}$ всюду плотно в $F$; поэтому
$$
\chi(p,S\cup\{p\}) = \chi(p,F)\geq\tau \mbox{ и } |S\cup\{p\}|\leq\tau.
$$
Пусть теперь $\tau$ -- сингулярный кардинал. Для каждого регулярного кардинала
$\lambda$, удовлетворяющего условию $t(Х)<\lambda<\tau$, через $М_\lambda$
обозначим такое подпространство в $Х$, что $|М_\lambda|=\lambda$ и
$\chi(р, М_\lambda)\geq\lambda$ (существование такого $М_\lambda$ только
что было доказано). Очевидно, существует множество $\mathcal{P}$ таких кардиналов
$\lambda$, удовлетворяющее условиям
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau \mbox{ и } \sup\{\chi(р,М_\lambda):
\lambda\in\mathcal{P}\}\geq \tau.
$$
Положим $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Тогда $|М|\leq\tau$ и
$\chi(р,М)\geq\tau$.
Теорема~9. Пусть $\{Х\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в бикомпакте
$Х$, причем $\chi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\chi(Х)\leq\tau$.
Если же $|А|>\tau$, то $\chi(Х)<\tau$.
Доказательство. Заметим, что для каждой точки
$р\in Х$, $\chi(р,Х) =\psi(р,Х)\leq \sup\{\psi(р,Х_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|$.
Поэтому, если $|А|\leq \tau$, то $\chi(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. Тогда из теоремы~8
следует, что $t(Х)<\tau$. Далее, для каждого $М\subset Х$, такого, что $|М|\leq\tau$,
существует $\alpha\in А$, такое что$M\subset X_\alpha$ и поэтому $\chi(М)<\tau$.
Применив лемму~3, получим $\chi(Х)<\tau$.
Предложение~З. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
бикомпакте $Х$ и $\chi(X_\alpha)\leq\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$|Х|\leq ехр(\tau)$.
Это предложение легко следует из предыдущей теоремы и доказанного А.В.~Архангельск
им для хаусдорфовых пространств неравенства $|Х|\leq ехр (L(Х)\cdot\chi(Х))$ (см. [5]).
Теорема~10. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте
$Х$ и $d(Х)\leq \tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Положим $F_\alpha =\overline{Х_\alpha}_X$ и из цепи $\{F_\alpha:
\alpha\in А\}$ выберем каноническую цепь $\{F_\beta: \beta\in B\}$, где $В\subset А$.
Заметим, что $d(F_\alpha)\leq d(Х_\alpha)$ для всех $\alpha\in А$. Если $|В|\leq ехр(\tau)$, то
$$
w(Х)\leq nw(Х)\leq |В|\cdot \sup\{nw(F_\beta): \beta\in В\}\leq ехр(\tau),
$$
так как
$$
nw(F_\beta)\leq w(F_\beta)\leq ехр(d(F_\beta))\leq ехр(\tau)
$$
($Х$ регулярно). Пусть $|В|>ехр(\tau)$. Имеем: $с(F_\beta)\leq d(F_\beta)\leq\tau$
для всех $\beta\in B$ и из пункта~(б) теоремы~3 следует, что $с(Х)\leq\tau$. Однако
$w(Х)\geq ш(Х) > ехр(\tau)$. Отсюда вытекает, что существует непрерывное отображение
$f$ бикомпакта $Х$ на тихоновский куб $I^\mu$, где $\mu= (ехр(\tau))^+$ (см. [6], теорема~3).
Заметим, что $d(I^\mu)>\tau$ и потому $f(F_\beta)\neq I^\mu$ для всех
$\beta\in B$. Однако $I^\mu=\bigcup\{f(F_\beta): \beta\in В\}$ и $f(_\beta)$
замкнуто в $I^\mu$ для всех $\beta\in B$. Следовательно, $ш(I^\mu)\geq |В|>ехр(\tau)$,
хотя хорошо известно, что $ш(I^\mu) =\omega$ для любого из $\mu\geq 1$. Противоречие.
Таким образом, случай $|В|> ехр(\tau)$ невозможен.
Предложение~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в
бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Если $|А|>\tau^+$, то из пункта~(б) теоремы~3 следует, что
$с(Х)\leq\tau$. Из теоремы~8 вытекает, что $t(Х)\leq\tau$. Но для любого бикомпакта
$Y$ выполняется неравенство $w(Y)\leq t(Y)^{с(Y)}$ (см. [7], следствие~5). Поэтому
$w(Х)\leq ехр(\tau)$. Пусть $|А|\leq\tau^+$. Тогда $t(Х)<\tau^+$. Пусть
$F_\alpha = \overline{Х_\alpha}_X$. Тогда $c(F_\alpha) = c(Х_\alpha)\leq\tau$ и
$t(F_\alpha)\leq t(Х)\leq\tau^+$. Поэтому $w(F_\alpha)\leq (\tau^+)^\tau = ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно,
$$
w(X)\leq nw(X)\leq \sup\{nw(F_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|\leq ехр(\tau),
$$
то есть $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
По аналогии с предыдущим предложением, используя пункт~2 следствия~3.3 из работы [8], можно доказать
Предложение~5. [$МA \& \aleph_1<2^\omega$] Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ —-
каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot d(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $\pi w(Х)\leq\aleph_1$.
Предложение~6. [$МA \& \aleph_2<2^\omega$] Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ --
каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $\pi w(Х)\leq \aleph_1$.
Вопрос~1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1
ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно
леммы~2.
Вопрос~2. Можно ли в предположениях теоремы~5 утверждать,
что $w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))$?
Вопрос~3. Можно ли бикомпактность пространства$Х$ в теореме~6
ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?
Автор глубоко признателен своему руководителю профессору
А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.