deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index a854bc0..153e549 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\alpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.
Эта теорема -- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5
улучшить нельзя.
Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из
работы [3] на любом множестве $M$ существует однородный ультрафильтр
...
w(Х) = ехр(\tau)\, \mbox{ и }\, Х = \bigcup\{Х_\alpha: \alpha< \tau\},
$$
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что
пространство$Х$ пространство $Х$
нормально.
Пример~2 (к теореме~5).
Пусть $D_\alpha =\{0_\alpha, 1_\alpha\}$ --
несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
$$
D^\alpha = \prod \{D_\beta : \beta\leq\alpha\}
...
\{f_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\},\ f\colon Y\to \prod \{D_\rho: \rho\leq\beta\}.
$$
Легко видеть, что бикомпакт $Х= f(Y)\times \{а_\beta\}$ и ординал $\beta$ таковы, что
$$
\pi w(X)\leq\tau\, \mbox{ и }\, D^\alpha\times \{а_\alpha\}\subset
Х\subset D^\beta\times \{a_\beta\}.
$$
Достаточно лишь заметить, что $f$ -- гомеоморфизм между $Y$ и $f(Y)$, так
как система отображений
$\{\widetilde{\pi}_\gamma: $$
\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\}\cup \{f_\rho:
\alpha <
\rho\leq\beta\}$ \rho\leq\beta\}
$$
разделяет точки в $Y$.
Теорема~6. Пусть $Х$ -- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если $M$ -- правое (левое), то
$hL(М) = |М|$ ($hd(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого $\tau
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
...
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
Теорема~7. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в бикомпакте $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда
$w(Х)\leq\tau$.
...
$Х$, причем $\chi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\chi(Х)\leq\tau$.
Если же $|А|>\tau$, то $\chi(Х)<\tau$.
Доказательство. Заметим, что для каждой точки
$р\in Х$, $\chi(р,Х) =\psi(р,Х)\leq \sup\{\psi(р,Х_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|$.
Поэтому, если $|А|\leq \tau$, то $\chi(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. Тогда из теоремы~8
...
$$
то есть $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
По аналогии с предыдущим предложением, используя пункт~2 следствия~3.3 из
работы [8], можно доказать
Предложение~5. [$МA\, \&\, \aleph_1<2^\omega$]
Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ —- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и
$t(Х_\alpha)\cdot d(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$\pi w(Х)\leq\aleph_1$.
Предложение~6. [$МA\, \&\, \aleph_2<2^\omega$]
Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и
$t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$\pi w(Х)\leq \aleph_1$.
Вопрос~1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1
ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно
...
А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.
\begin{bibliography}{DT}
% ЛИТЕРАТУРА
\bibitem[1] Juh\'аsz I. Cardinal Functions in Topology.
\emph{Math. Сеntrе Тrасts}, 34. Amsterdam, 1971.
\bibitem[2] Наjnаl А., [1] Juh\'аsz I.
Оп hereditarily $\alpha$-sеpаrаblе and $\alpha$-Liпdel\"of spaces.
\emph{Annales Univ. Sci. Budapest}, \textbf{11}, 19б8, 115—124. Cardinal Functions in Topology.
Math. Сеntrе Тrасts, 34. Amsterdam, 1971.
\bibitem[3] Кunеn К. Ultrafilters [2] Наjnаl А., Juh\'аsz I. Оп hereditarily $\alpha$-sеpаrаblе and
independent sets. \emph{Tгans. Аmеr. Math. Sос.},
\textbf{172}, 1972; 299-306. $\alpha$-Liпdel\"of spaces.
Annales Univ. Sci. Budapest, 11, 19б8, 115—124.
\bibitem[4] Архангельский А.В. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa
наследственно. Теснота и свободные последовательности.\emph{Докл. АН СССР},
\textbf{199}, No. 6, 1971; 1227-1230. [3] Кunеn К. Ultrafilters and independent sets. Tгans. Аmеr. Math. Sос.,
172, 1972; 299-306.
\bibitem[5] [4] Архангельский А.В.
О мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме
счетности. \emph{Докл. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa
наследственно. Теснота и свободные последовательности. Докл. АН
СССР}, \textbf{187}, СССР,
199, No.
5, 1969; 967-970. 6, 1971; 1227-1230.
\bibitem[6] Шапировский Б.Э. [5] Архангельский А.В. О
вложении экстремально-несвязных пространств в бикомпакты.
b-точки и вес коллективно нормальных пространств\emph{Докл. мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме
счетности. Докл. АН
СССР},
\textbf{223}, СССР, 187, No. 5,
1975; 1083--1086. 1969; 967-970.
\bibitem[7] [6] Шапировский Б.Э.
Канонические множества и характер. Плотность О вложении экстремально-несвязных пространств в бикомпакты.
b-точки и вес
в
бикомпактах. \emph{Докл. коллективно нормальных пространств. Докл. АН
СССР}, \textbf{218}, СССР,
223, No.
1, 1974; 58-61. 5, 1975; 1083--1086.
\bibitem[8] Малыхин В.И., [7] Шапировский Б.Э.
Аксиома Мартина Канонические множества и
свойства топологических пространств.
\emph{Доkл. характер. Плотность и вес в
бикомпактах. Докл. АН
СССР}, \textbf{213}, СССР, 218, No.
3, 1973; 532-535. 1, 1974; 58-61.
\end{bibliography}
\end{document}
Поступила в редакцию
16.11 1976 г.
Кафедра высшей геометрии [8] Малыхин В.И., Шапировский Б.Э. Аксиома Мартина и
топологии свойства топологических пространств.
Доkл. АН СССР, 213, No. 3, 1973; 532-535.
М. G. Tkachenko ОN ТНЕ BEHAVIOUR ОF CARDINAL FUNCTIONS
...
