deletions | additions       diff --git a/results.tex b/results.tex  index 5f2e849..d199cd8 100644  --- a/results.tex  +++ b/results.tex 
...
$\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и } Y\overline{М}\}$. Очевидно, внешняя плотность   $Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.    Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $d(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,   такое, что $|М|\leq (ехр(\tau))^+$ и внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.  Д о к а з а т е л ь с т в о. Если $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$, то в качестве   $М$ можно взять всюду плотное в $Х$ множество минимальной мощности.   Если же $d(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,   $|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ —- искомое.   Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то   $М\subset \overline{N}$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому   ввиду регулярности $Х$,  $$   w(M)\leq w(\overline{N})\leq ехр(\tau).  $$  Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.  Теорема~5. Пусть $Х$ регулярно и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая   цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\alpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех   $\alpha\in А$. Тогда $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.    Эта теорема -- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5 улучшить нельзя.    Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из   работы [3] на любом множестве $M$ существует однородный ультрафильтр   (ультрафильтр на $M$ называется однородным, если он состоит из множеств   той же мощности, что и $М$), любая база которого имеет мощность $ехр(|М|)$.   Рассмотрим множество $M$, $|М| =\tau$, и описанный выше ультрафильтр $\xi$   на $М= \{х_\alpha : \alpha<\tau\}$. Положим $Х=М\cup {\xi\}$. Базу топологии   в $Х$ введем так: множество $M$ открыто и дискретно в$Х$, а открытые окрестности   точки $\xi$ имеют вид $\{\xi\}\cup К$, где $K\in\xi$.  Тогда  $$   w(Х) = ехр(\tau)\, \mbox{ и }\, Х = \bigcup\{Х_\alpha: \alpha< \tau\},  $$  где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$   и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство$Х$ нормально.    Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{0_\alpha, 1_\alpha\}$ --   несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим  $$   D^\alpha = \prod {D_\beta : \beta\leq\alpha\}   $$  и  $$  a_\alpha=\{0_\beta: \alpha<\beta<\lambda\},   $$  то есть  $$   a_\alpha\in \prod \{D_\beta: \alpha<\lambda\}.  $$  Пусть  $$  Х = \bigcup \{D_\alpha \times \{a_\alpha\}: \alpha < \lambda},\hskip 5pt   Х\subset \prod \{D_\alpha: \alpha < \lambda\}.  $$  Тогда $d(D_\alpha)\leq\tau$, где $\alpha<\lambda$. Однако $d(Х)\geq ш(Х)\geq\lambda$,   поэтому $d(Х)\geq\lambda$ (здесь $Х_\alpha =D_\alpha \times \{а_\alpha\}\cong D^\alpha$).    Заметим, что $Х$ —- вполне регулярное пространство. Отметим также   следующее свойство этого пространства: в $Х$ существует каноническая   цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что $Х_\alpha$ -- бикомпакт   и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить   нужную цепь $\{Х_\alpha : \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать,   что для каждого $\alpha<\lambda$ существуют бикомпакт $Х$ и ординал $\beta<\lambda$,   такие, что   $$  \pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset   D^\beta \times\{a_\beta\}.  $$  Покажем это. Пусть $Z$ -- александровское удвоение пространства $D^\alpha$,   $Z=D^\alpha\cup (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в $D^\alpha$   множество, $|S|\leq\tau$. Положим $Y=D^\alpha\cup S'\subset Z$. Очевидно, $Y$ --   бикомпакт и $\pi w (Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в $S'$:   $S'= \{х_\rho : \alpha<\rho\leq\beta\}$, где $\beta<\lambda$. Для каждого   $\rho$, удовлетворяющего условию $\alpha<\rho\leq\beta$, определим отображение   $f_\rho \colon Y\to D_\rho$ по правилу  $$  f_\rho(х) =  \begin{cases} 1_\rho&\textit{если $х = х_\rho$};\\   $О_\rho& \text{если х\neq х_\rho,}  \end{cases}  $$   where $х\in Y$. Через $\pi_\gamma$, где $\gamma\leq \alpha$, обозначим проекцию   $D^\alpha$ на $D_\gamma$. Пусть $\widetilde{\pi}_\gamma$ —- продолжение отображения   $\pi_\gamma$ на пространство $Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$.   Пусть $f$ — диагональное произведение отображений   $$  \{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\} \mbox{ и }   \{f_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\},\ f\colon Y\to \prod \{D_\rho: \rho\leq\beta\}.  $$  Легко видеть, что бикомпакт $Х= f(Y)\times \{а_\beta\}$ и ординал $\beta$ таковы, что  $$   \pi w(X)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha\times \{а_\alpha\}\subset   Х\subset D^\beta\times \{a_\beta\}.  $$  Достаточно лишь заметить, что $f$ -- гомеоморфизм между $Y$ и $f(Y)$, так   как система отображений $\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha}\cup \{f_\rho:   \alpha < \rho\leq\beta\}$ разделяет точки в $Y$.