this is for holding javascript data
Mikhail Tkachenko edited results.tex
over 8 years ago
Commit id: 4b2dd5a0a16c45262e9a80e78459c13dc12a7687
deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index 2e04807..dd913e3 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
\section{Results}
Определение~1. Мы говорим, что пространство $Х$ представлено в виде
объединения цепи своих подпространств $\{Х_\alpha: \аlpha\in А\}$, если
$(А, <)$ -- линейно-упорядоченное множество, $Х_\аlpha\subset Х_\beta$ при
$\аlpha<\beta$ и $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$.
Определение~2. Цепь $\mathcal{С}= \{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$ подпространств
в $Х$ называется канонической, если выполнены условия:
\begin{enumerate}
\item[а}] $(В,<)$ —- множество ординалов, меньших $|В|$;
\item[б)] если $\аlpha,\beta\in B$ и $\аlpha<\beta$, то $Х_\аlpha\subset Х_\beta$
(строгое включение);
\item[в)] $|В|$ — регулярный кардинал;
\item[г)] $Х= \bigcup\{Х_\аlpha: \аlpha\in В\}$.
\end{enumerate}
Заметим теперь, что если $Х$ представлено в виде объединения цепи
лодпространств $\{Х_\аlpha: \аlpha\in А\}$, то существует $В\subset А$,
такое, что $\{Х_\аlpha: \аlpha\in B\}$ —- каноническая цепь в $Х$. Поэтому
в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств
будем считать каноническими.
Лемма~1. Пусть $Х$ -- пространство и $\tau$ -- кардинал, такой, что
$\chi(Х)< \tau$ и $w(Х)\geq\tau$. Тогда существует $М\subset Х$, такое,
что $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$.
Доказательство. Пусть $\tau$ -- регулярный кардинал. Через $\gamma_х$
oбозначим базу точки $х\in Х$, $|\gamma_х|<\tau$. Точку $х_0\in Х$ выберем произвольно
и положим $М_0=\emptyset$. Пусть определены точка $х_\beta$ и множество $М_\beta$
для всех $\beta<\alpha$, где $\alpha<\tau$, причем $|М_\beta|<\tau$. Положим
$$
A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}
и
$$
\lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha).
$$
Очевидно, $|А_\alpha| < \tau$ и поэтому $\lambda_\alpha|< \tau$. Отсюда следует,
что найдутся точка $х_\alpha\in Х$ и ее открытая окрестность $V(х_\alpha)$, такие, что
$$
О \cap (Х\setminus V(х_\alpha))\neq \emptyset
$$
для всех $O\in\lambda(х_\alpha)$. [Пусть $\theta$ -- система множеств в $Х$ и $х\in Х$.
Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.]
Для каждого $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))$
выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,
$|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\alpha\notin \overline{M_\alpha}$ и
$O\cap М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$,
поэтому $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является
базой точки $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha \cup \{х_\alpha\}$.
[Если $\theta$ —- система множеств в $Х$ и $А\subset Х$, то через
$\theta\restriction А$ обозначим систему $\{V\cap А: V\in\theta\}$.]
Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \alpha< \tau\}$ и $\{х_\alpha: \alpha< \tau\}$
построены. Положим
$$
М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau},\hskip 5pt
\lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.
$$
Очевидно, $\lambda\restriction М$ — база пространства $М$. Утверждаем, что
$w(М)\geq\tau$. Предположим обратное, то есть пусть $w(М)<\tau$. Тогда существует
$\mu\subset\lambda$, $|\mu|<\tau$ такое, что $\mu\restriction М$ — база в $М$.
Однако существует $\alpha<\tau$ для которого $\mu\subset\lambda_\alpha$. Но
$\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})$ не база для точки
$х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}$, и ввиду того, что
$М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М$, система $\lambda_\alpha\restriction М$
тем более не является базой точки $х_\alpha$ в $М$. Противоречие.
Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$ — сингулярный кардинал. Положим
тогда $\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau\, \lambda -- \mbox{ регулярный кардинал}\}$.
Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$
существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w (М_\lambda)\geq\lambda$.
Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.