deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index 20af5e4..d727ef3 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Предположим, что $w(М)<\lambda$ для любого $М\subset Х$,
удовлетворяющего условию $|М|\leq\lambda$. Заметим теперь, что если $M$ -- левое,
то $w(М)\geq |М|$ (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства
в $Х$ меньше $\lambda$ и потому
$\overline{d}(Х)\leq\lambda$. $hd(Х)\leq\lambda$. Тем более,
$d(Х)\leq\lambda$. Зафиксируем всюду плотное в $Х$ множество $S$, $|S|\leq\lambda$.
В силу регулярности$Х$,
$$
...
Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.
Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и
$\Phi\in \{с,
\overline{с}, \overline{d}, \overline{L} hс, hd, hL \}$. Тогда:
\begin{enumerate}
\item[а)] если $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;
\item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то
...
кардинальных функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем,
что $|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим
$М_\alpha=М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$,
так как
$\overline{L}(Х_\alpha)<\tau$. $hL(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,
поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если
$\sup\{|М|: М -- \mbox{ правое }, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство
$\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что
$|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим
$N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и
$\overline{L}(N)\geq\tau$. $hL(N)\geq\tau$.
Однако существует $\alpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\alpha$; поэтому
$\overline{L}(Х_\alpha)\geq\tau$. $hL(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак,
$\overline{L}(Х)<\tau$. $hL(Х)<\tau$.
Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.
Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$
...
любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2,
$w(X)<\tau$.
П р е д л о ж е н и е~1. Предложение~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в
хаусдорфовом пространстве $Х$ и
$\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого
$\alpha\in А$. Тогда $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Как показано в работе [1], $|Y|\leq
еxp(\overline{L}(Y))$ еxp(hL(Y))$
для любого хаусдорфова пространства $Y$. Поэтому $|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно, если $|А|\leq\tau^+$, то $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Если же $|А|>\tau^+$, то, по пункту~(б) теоремы~3,
$\overline{L}(Х)\leq\tau$, $hL(Х)\leq\tau$,
а потому $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Предложение~2. Для любого $Х$, $w(Х)\leq |Х|^{d(Х)}$.
Доказательство. Пусть $\mathcal{F}$ -- система всех замкнутых множеств
в $Х$. Через $S_F$ обозначим всюду плотное множество в $F\in\mathcal{F}$,
причем $|S_F|\leq
\overline{d}(Х)$. hd(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из
$\mathcal{F}$ в
$$
Ехр_{\tau}(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq \tau\}.
...
Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.
Теорема~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в хаусдорфовом
пространстве $Х$, причем
$\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ и
$\overline{d}(Х_\alpha)<\tau$ $hd(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. По теореме~3, пункт (а),
$\overline{d}(Х)\leq\tau$. $hd(Х)\leq\tau$. Из предложения~1
вытекает $|Х|\leq ехр(\tau)$. Предложение~2 дает
$$
w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).
...
Следствие. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно,
$\overline{L}(Х)\cdot \overline{d}(Х)\leq $hL(Х)\cdot hd(Х)\leq nw(Х)$
для любого $Х$.
Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества $Y$ в $Х$ мы называем
...
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если $М$ -- правое (левое), то
$\overline{L}(М) $hL(М) = |М|$
($\overline{d}(М) ($hd(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого $\tau<
\overline{iс}(Х)$ hL(Х)$ существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
Таким образом, для всех
$\tau<\overline{L}(Х)$ $\tau теорема доказана. Пусть
$\tau= \overline{L}(Х)$. hL(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М - \mbox{ правое}\}$.
Если $\tau$ -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть
$\tau$ -- предельный кардинал. В этом случае существует семейство
...
|M_\tau| =nw(М_\tau) =\tau.
$$
Пусть, наконец,
$\tau>\overline{L}(X)$, $\tau>hL(X)$, но $\tau\leq w(Х)$. Теорема~1 утверждает,
что существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и
$w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$
в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot
\overline{L}(Х)$ hL(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot
\overline{L}(Х)$, hL(Х)$,
где $Х$ — бикомпакт. Следовательно,
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot
\overline{L}(Х). hL(Х).
$$
Но
$\overline{L}(Х)< $hL(Х)< \tau$, поэтому $nw(M_\tau)\geq w(M_\tau)$. Итак, имеем
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
...
теперь, что $\chi(р, М)<\tau$ для любого $М\subset X$, такого, что $|М|<\tau$.
Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$
произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей
точки $р$, такая, что
$O_0= Х\setminus\{x_0\}$, $p\in O_{n+1}\subset \overline{O_{n+1}}\subset O_n$,
для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех
$\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --
система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим
...
