deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index 0c98574..a854bc0 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Определение~1. Мы говорим, что пространство $Х$ представлено в виде
объединения цепи своих
подпространств $\{Х_\alpha: подпространств$\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$, если
$(А, <)$ -- линейно-упорядоченное множество, $Х_\alpha\subset Х_\beta$ при
$\alpha<\beta$ и $Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$.
Определение~2. Цепь $\mathcal{С}= \{Х_\alpha: \alpha\in В\}$ подпространств
в $Х$ называется канонической, если выполнены условия:
\begin{enumerate}
\item[а)] \item[а}] $(В,<)$
—- -- множество ординалов, меньших $|В|$;
\item[б)] если $\alpha,\beta\in B$ и $\alpha<\beta$, то $Х_\alpha\subset Х_\beta$
(строгое включение);
\item[в)] $|В|$
— -- регулярный кардинал;
\item[г)] $Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in В\}$.
\end{enumerate}
Заметим теперь, что если $Х$ представлено в виде объединения цепи
подпространств лодпространств $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$, то существует $В\subset А$,
такое, что $\{Х_\alpha: \alpha\in B\}$
-- —- каноническая цепь в $Х$. Поэтому
в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств
будем считать каноническими.
Лемма~1. Пусть $Х$ -- пространство и $\tau$ -- кардинал, такой, что
$\chi(Х)< \tau$ и $w(Х)\geq\tau$. Тогда существует $М\subset Х$, такое,
что $|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$.
...
и положим $М_0=\emptyset$. Пусть определены точка $х_\beta$ и множество $М_\beta$
для всех $\beta<\alpha$, где $\alpha<\tau$, причем $|М_\beta|<\tau$. Положим
$$
A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}
$$
и
$$
\lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha\}.
$$
Очевидно, $|А_\alpha| < \tau$ и поэтому
$|\lambda_\alpha|< $\lambda_\alpha|< \tau$. Отсюда следует,
что найдутся точка $х_\alpha\in Х$ и ее открытая окрестность $V(х_\alpha)$, такие, что
$$
О \cap (Х\setminus V(х_\alpha))\neq \emptyset
$$
для всех $O\in\lambda(х_\alpha)$. [Пусть $\theta$ -- система множеств в $Х$ и $х\in Х$.
Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.]
Для каждого $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))$ выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,
$|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\alpha\notin
\overline{M_\alpha}$ cl_X M_\alpha$ и
$O\cap М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$,
поэтому $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является
базой точки $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha \cup \{х_\alpha\}$.
...
Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \alpha< \tau\}$ и $\{х_\alpha: \alpha< \tau\}$
построены. Положим
$$
М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha:
\alpha<\tau\},\hskip 5pt \alpha<\tau\}
$$
и
$$
\lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.
$$
Очевидно, $\lambda\restriction
М$ M$ — база пространства
$М$. $M$. Утверждаем, что
$w(М)\geq\tau$. Предположим обратное, то есть пусть $w(М)<\tau$. Тогда существует
$\mu\subset\lambda$, $|\mu|<\tau$ такое, что $\mu\restriction
М$ M$ — база в $М$.
Однако существует $\alpha<\tau$ для которого $\mu\subset\lambda_\alpha$. Но
$\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})$ не база для точки
$х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha\cup \{х_\alpha\}$, и ввиду того, что
$М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М$, система $\lambda_\alpha\restriction
М$ M$
тем более не является базой точки $х_\alpha$ в
$М$. $M$. Противоречие.
Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$
— -- сингулярный кардинал.
Положим тогда
$\mathcal{P} $$
\mathcal{P} = \{\lambda:
\chi(Х)<\lambda<\tau,\,\ \chi(Х)<\lambda<\tau,\
\lambda
- -- \mbox{ регулярный
кардинал}\}$. кардинал}\$.
$$
Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого
$\lambda\in\mathcal{P}$ существует $М_\lambda\subset X$, такое, что
$|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w (М_\lambda)\geq\lambda$.
Положим
$М=\bigcup\{М_\lambda: $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.
Теорема~1. Пусть $Х$ -- регулярное пространство. Тогда для каждого
$\lambda\leq w(Х)$ существует $М_\lambda\subset Х$, такое, что
$|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w(М_\lambda)\geq\lambda$.
Доказательство. Если $\chi(Х)<\lambda$, то все следует из леммы~1.
Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Предположим, что $w(М)<\lambda$ для любого $М\subset Х$,
удовлетворяющего условию $|М|\leq\lambda$. Заметим теперь, что
если $M$ если$M$ -- левое,
то $w(М)\geq |М|$ (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства
в $Х$ меньше $\lambda$ и потому
$\overline{d}(Х)\leq\lambda$. $hd(Х)\leq\lambda$. Тем более,
$d(Х)\leq\lambda$. Зафиксируем всюду плотное в $Х$ множество $S$, $|S|\leq\lambda$.
В силу регулярности$Х$,
$$
\chi(р, Х) = \chi(р,S\cup
\{р\}) \leq \{р\})\leq w(S\cup \{р\}) < \lambda
$$
(так как $|S\cup\{p\}\leq\lambda$) для любой точки $р\in Х$. Но $\chi(Х)\geq\lambda$,
поэтому $\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\} =\lambda$. Следовательно, существует $Q\subset Х$,
...
веса $М$ в $Х$ для любого $М\subset Х$. Поэтому, если $\chi(Х)<\lambda$,
все следует из леммы~1. Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Можно считать, что
$\chi(р,Х)<\lambda$, для любой $р\in Х$. Тогда $\sup\{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda$.
Существует $Q\subset X$ такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup\{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$. Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.
Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь в $Х$ и
$\Phi\in \{с,
\overline{с}, \overline{d}, \overline{L} hс, hd, hL \}$. Тогда:
\begin{enumerate}
\item[а)] если $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;
\item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то
$\Phi(Х)\leq \tau$;
\item[в)] если внешний вес $Х_\alpha$ в $Х$ меньше $\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.
\end{enumerate}
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
$\Phi=\overline{L}$ $\Phi=hL$ (для других кардинальных
функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем, что
$|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим
$М_\alpha=М\cap $М_\alpha=
М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$, так как
$\overline{L}(Х_\alpha)<\tau$. $hL(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,
поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если
$\sup\{|М|: М -- \mbox{
правое }, правое, } М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство
$\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств
в $Х$, в$Х$, такое, что
$|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим
$N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и
$\overline{L}(N)\geq\tau$. $hL(N)\geq\tau$.
Однако существует $\alpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\alpha$; поэтому
$\overline{L}(Х_\alpha)\geq\tau$. $hL(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак,
$\overline{L}(Х)<\tau$. $hL(Х)<\tau$.
Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.
Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$
и $|\gamma_\alpha|<\tau$. Тогда $\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}$ --
база в $Х$. Если $|А|\leq\tau$, то $|\gamma|\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то внешний вес любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2, $w(X)<\tau$.
П р е д л о ж е н и е~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь в
хаусдорфовом пространстве $Х$ и
$\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого
$\alpha\in А$. Тогда $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Как показано в работе [1], $|Y|\leq
еxp(\overline{L}(Y))$ еxp(hL(Y))$
для любого хаусдорфова
пространства $Y$. пространства$Y$. Поэтому $|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно, если $|А|\leq\tau^+$, то $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Если же $|А|>\tau^+$, то, по пункту~(б) теоремы~3,
$\overline{L}(Х)\leq\tau$, $hL(Х)\leq\tau$,
а потому $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Предложение~2. Для любого $Х$, $w(Х)\leq |Х|^{d(Х)}$.
Доказательство. Пусть $\mathcal{F}$ -- система всех замкнутых множеств
в $Х$. Через $S_F$ обозначим всюду плотное множество
в $F\in\mathcal{F}$, в$F\in\mathcal{F}$,
причем $|S_F|\leq
\overline{d}(Х)$. hd(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из
$\mathcal{F}$ в
$$
Ехр_{\tau}(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq \tau\}.
...
Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.
Теорема~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в хаусдорфовом
пространстве $Х$, пространстве$Х$, причем
$\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ и
$\overline{d}(Х_\alpha)<\tau$ $hd(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. По теореме~3, пункт
(а), $\overline{d}(Х)\leq\tau$. (а),$hd(Х)\leq\tau$. Из предложения~1
вытекает $|Х|\leq вытекает$|Х|\leq ехр(\tau)$. Предложение~2 дает
$$
w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).
$$
Следствие. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно,
$\overline{L}(Х)\cdot \overline{d}(Х)\leq $h}(Х)\cdot hd(Х)\leq nw(Х)$
для любого $Х$.
Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью
множества $Y$ множества$Y$ в $Х$ мы называем
$\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и }
Y\subset\overline{М}\}$. Y\subset cl_X М\}$. Очевидно, внешняя
плотность $Y$ плотность$Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.
Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $d(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,
такое, что $|М|\leq (ехр(\tau))^+$ и внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если $d(Х)\leq Если$d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$, то в качестве
$М$ можно взять всюду плотное в $Х$ множество минимальной мощности.
Если же $d(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,
$|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$
-- —- искомое.
Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то
$М\subset
\overline{N}$ cl_X N$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому
ввиду
регулярности $Х$, регулярности$Х$,
$$
w(M)\leq
w(\overline{N})\leq w(cl_X N)\leq ехр(\tau).
$$
Противоречие. Итак, внешняя
плотность $М$ плотность$М$ в $Х$ больше $\tau$.
Теорема~5. Пусть $Х$ регулярно и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая
цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\alpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.
Эта теорема -- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5 улучшить нельзя.
Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из
работы [3] на любом множестве $M$ существует однородный ультрафильтр
(ультрафильтр на $M$ называется однородным, если он состоит из множеств
той же мощности, что и $М$), любая база которого имеет мощность $ехр(|М|)$.
Рассмотрим множество $M$,
$|М|=\tau$, $|М| =\tau$, и описанный выше ультрафильтр $\xi$
на $М=
\{х_\alpha: \{х_\alpha : \alpha<\tau\}$. Положим $Х=М\cup
\{\xi\}$. {\xi\}$. Базу топологии
в $Х$ введем так: множество $M$ открыто и дискретно в$Х$, а открытые окрестности
точки $\xi$ имеют вид $\{\xi\}\cup К$, где $K\in\xi$.
Тогда
...
w(Х) = ехр(\tau)\, \mbox{ и }\, Х = \bigcup\{Х_\alpha: \alpha< \tau\},
$$
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что
пространство $Х$ пространство$Х$ нормально.
Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{0_\alpha, 1_\alpha\}$ --
несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
$$
...
цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что $Х_\alpha$ -- бикомпакт
и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить
нужную цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать,
что для каждого$\alpha<\lambda$ существуют
бикомпакт$Х$ бикомпакт $Х$ и ординал $\beta<\lambda$,
такие, что
$$
\pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset
D^\beta \times\{a_\beta\}.
$$
Покажем это. Пусть $Z$ -- александровское удвоение
пространства$D^\alpha$, пространства $D^\alpha$,
$Z=D^\alpha\cup (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в $D^\alpha$
множество, $|S|\leq\tau$. Положим $Y=D^\alpha\cup S'\subset Z$. Очевидно,
$Y$ -- бикомпакт и $\pi
w (Y)\leq\tau$. w(Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в $S'$:
$S'= \{х_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\}$, где $\beta<\lambda$. Для каждого
$\rho$, удовлетворяющего условию $\alpha<\rho\leq\beta$, определим отображение
$f_\rho \colon Y\to D_\rho$ по правилу
...
\begin{cases} 1_\rho&\text{если $х = х_\rho$;}\\
О_\rho& \text{если $х\neq х_\rho$,}
\end{cases}
\end{equation}
where $х\in Y$. Через $\pi_\gamma$, где $\gamma\leq \alpha$, обозначим проекцию
$D^\alpha$ на $D_\gamma$. Пусть $\widetilde{\pi}_\gamma$ -- продолжение отображения
$\pi_\gamma$ на пространство$Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$.
...
\{f_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\},\ f\colon Y\to \prod \{D_\rho: \rho\leq\beta\}.
$$
Легко видеть, что бикомпакт $Х= f(Y)\times \{а_\beta\}$ и ординал $\beta$ таковы, что
$$ \pi
w(X)\leq\tau w(X)\leq\tau\, \mbox{ и
} }\, D^\alpha\times \{а_\alpha\}\subset
Х\subset D^\beta\times \{a_\beta\}.
$$
Достаточно лишь заметить, что $f$ -- гомеоморфизм между $Y$ и $f(Y)$, так
...
Теорема~6. Пусть $Х$ -- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если
$М$ $M$ -- правое (левое), то
$\overline{L}(М) $hL(М) = |М|$
($\overline{d}(М) ($hd(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого
$\tau< \overline{iс}(Х)$ $\tau существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
Таким образом, для всех
$\tau<\overline{L}(Х)$ $\tau теорема доказана. Пусть
$\tau= \overline{L}(Х)$. hL(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М - \mbox{ правое}\}$.
Если $\tau$ -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть
$\tau$ -- предельный кардинал. В этом случае существует семейство
...
|M_\tau| =nw(М_\tau) =\tau.
$$
Пусть, наконец,
$\tau>\overline{L}(X)$, $\tau>hL(X)$, но $\tau\leq w(Х)$. Теорема~1 утверждает,
что существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и
$w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$
в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot
\overline{L}(Х)$ hL(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot
\overline{L}(Х)$, hL(Х)$, где $Х$ — бикомпакт. Следовательно,
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot
\overline{L}(Х). hL(Х).
$$
Но
$\overline{L}(Х)< $hL(Х)< \tau$, поэтому $nw(M_\tau)\geq w(M_\tau)$. Итак, имеем
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
Т е о р е м а~7. Теорема~7. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в бикомпакте $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда
$w(Х)\leq\tau$.
...
$М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, найдется $\alpha\in А$, такое,
что $M\subset X_\alpha$, и поэтому $nw(М)\leq\tau$. По теореме~6, $w(Х)<\tau$.
Замечание~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь
во вполне регулярном перистом пространстве$Х$, причем $Х_\alpha$ -- перистое и
$nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.
...
супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть
$\lambda$ -- регулярный кардинал и $М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --
свободная последовательность в $Х$. Положим
$F_\alpha
=\overline{\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\}}$. = cl_X (\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\})$. Тогда система
$\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована
и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть
$р\in F_M$ и $N_М=М\cup \{р\}$. Тогда $t(р,М) =\lambda$, где
$t(р,М) =\min \{|В|: В\subset М \mbox{ и }
p\in\overline{B}\}$; p\in cl_X B \}$; поэтому
$t(N_М)=\lambda$, причем $|N_M|=|M|=\tau$.
Рассмотрим теперь два случая.
...
а $F_M$ есть объединение цепи своих подпространств $\{Т_\gamma: \gamma\in А\}$.
Отметим, что
$$
\overline{S_\gamma}_{Х_\gamma}\cap cl_{X_\gamma}(S_\gamma)\cap Т_\gamma =
\overline{S_\gamma}_X \cap cl_{X}(S_\gamma)\cap Т_\gamma =\emptyset
$$
для каждого $\gamma\in A$ -- иначе, как показано выше, будем иметь
$t(N_{S_\gamma})>\tau$ для того $\gamma\in А$, для которого
$\overline{S_\gamma}\cap $cl_X(S_\gamma)\cap Т_\gamma\neq\emptyset$, а это противоречит тому,
что $t(Х_\gamma)<\tau$. Так как $|М|=\tau^+$, существует $\gamma_0\in A$ такой,
что $|S_{\gamma_0}|=\tau^+$. Пусть $\theta\geq\gamma_0$. Тогда
$$
\overline{S_{\gamma_0}}_X cl_X(S_{\gamma_0}) \cap Т_\theta \subset
\overline{S_\theta}_X cl_X(S_\theta) \cap Т_\theta
=\emptyset,
$$
и поэтому
$\overline{S_{\gamma_0}}\cap $cl_X(S_{\gamma_0})\cap T_\theta=\emptyset$ для каждого
$\theta\geq\gamma_0$, то есть
$\overline{S_{\gamma_0}}_X $cl_X(S_{\gamma_0}) \cap F_M=\emptyset$.
Но
$\overline{N}_X $cl_X(N) \cap F_M\neq\emptyset$ для любого $N\subset М$, такого, что
$|N| =\tau^+$; например, любая точка полного накопления для $N$ лежит в $F_M$.
Полученное противоречие показывает, что в первом случае $t(Х)\leq\tau$.
...
теперь, что $\chi(р, М)<\tau$ для любого $М\subset X$, такого, что $|М|<\tau$.
Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$
произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей
точки $р$, такая, что $O_0= Х\setminus\{x_0\}$,
$p\in O_{n+1}\subset
\overline{O_{n+1}}\subset cl(O_{n+1})\subset O_n$,
для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех
$\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --
система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим
...
$|\theta_\alpha|<\tau$. Ввиду того что $Х$ -- бикомпакт, $\chi(р,Х)=\psi(р,Х)$ и
поэтому существует точка $х_\alpha\in \bigcap\theta_\alpha\setminus \{р\}$.
Положим $S_\alpha = \{p\}\cup \{x_\beta: \beta\leq\alpha\}$ и
$F_\alpha =
\overline{S_\alpha}_Х$. cl_X(S_\alpha)$. В силу регулярности $Х$,
$\tau>\chi(р,S_\alpha)=х(p, F_\alpha)$.
Теперь легко построить систему $\lambda_\alpha$ открытых в $Х$ множеств,
...
$F_\alpha$;
\item[б)] $\theta_\alpha\subset \lambda_\alpha$;
\item[в)] для любой $O\in\lambda_\alpha$ существует $V\in \lambda_\alpha$,
такая, что
$\overline{V}\subset $cl_X(V)\subset O$;
\item[г)] $\bigcap\mu\in\lambda_\alpha$ для любой $\mu\subset\lambda_\alpha$,
такой, что $|\mu|<\omega$;
\item[д)] $|\lambda_\alpha|<\tau$.
...
система $\lambda$ обладает двумя свойствами:
\begin{enumerate}
\item[1)] для любого $O\in\lambda$ существует $V\in\lambda$, такое, что
$\overline{V}\subset $cl_X(V)\subset O$;
\item[2)] $\bigcap\mu\in\lambda$, для любой $\mu\subset\lambda$, такой, что
$|\mu|<\omega$.
\end{enumerate}
...
Положим $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Тогда $|М|\leq\tau$ и
$\chi(р,М)\geq\tau$.
Теорема~9. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь в бикомпакте
$Х$, причем $\chi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\chi(Х)\leq\tau$.
Если же $|А|>\tau$, то $\chi(Х)<\tau$.
Доказательство. Заметим, что для каждой точки
$р\in Х$, $\chi(р,Х) =\psi(р,Х)\leq \sup\{\psi(р,Х_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|$.
Поэтому, если $|А|\leq \tau$, то $\chi(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. Тогда из теоремы~8
...
бикомпакте $Х$ и $\chi(X_\alpha)\leq\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$|Х|\leq ехр(\tau)$.
Это предложение легко следует из предыдущей теоремы и доказанного
А.В.~Архангельским А.В.~Архангельск
им для хаусдорфовых пространств неравенства $|Х|\leq ехр (L(Х)\cdot\chi(Х))$ (см. [5]).
Теорема~10. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте
$Х$ и $d(Х)\leq \tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Положим $F_\alpha
=\overline{Х_\alpha}_X$ = cl_X(Х_\alpha)$ и из цепи $\{F_\alpha:
\alpha\in А\}$ выберем каноническую цепь $\{F_\beta: \beta\in B\}$, где $В\subset А$.
Заметим, что $d(F_\alpha)\leq d(Х_\alpha)$ для всех $\alpha\in А$. Если $|В|\leq ехр(\tau)$, то
$$
...
хотя хорошо известно, что $ш(I^\mu) =\omega$ для любого из $\mu\geq 1$. Противоречие.
Таким образом, случай $|В|> ехр(\tau)$ невозможен.
Предложение~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$
— -- каноническая цепь в
бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
...
$с(Х)\leq\tau$. Из теоремы~8 вытекает, что $t(Х)\leq\tau$. Но для любого бикомпакта
$Y$ выполняется неравенство $w(Y)\leq t(Y)^{с(Y)}$ (см. [7], следствие~5). Поэтому
$w(Х)\leq ехр(\tau)$. Пусть $|А|\leq\tau^+$. Тогда $t(Х)<\tau^+$. Пусть
$F_\alpha =
\overline{Х_\alpha}_X$. cl_X(Х_\alpha)$. Тогда $c(F_\alpha) = c(Х_\alpha)\leq\tau$ и
$t(F_\alpha)\leq t(Х)\leq\tau^+$. Поэтому $w(F_\alpha)\leq (\tau^+)^\tau = ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно,
$$
...
$$
то есть $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
По аналогии с предыдущим предложением, используя пункт~2 следствия~3.3 из работы [8], можно доказать
Предложение~5. [$МA\, \&\, \aleph_1<2^\omega$]
Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ —- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot d(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\pi w(Х)\leq\aleph_1$.
Предложение~6. [$МA\, \&\, \aleph_2<2^\omega$]
Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $\pi w(Х)\leq \aleph_1$.
Вопрос~1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1
...
Вопрос~2. Можно ли в предположениях теоремы~5 утверждать,
что $w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))$?
Вопрос~3. Можно ли бикомпактность пространства
$Х$ в теореме~6 ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?
Автор глубоко признателен своему руководителю профессору
А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.
\begin{bibliography}{DT}
% ЛИТЕРАТУРА
\bibitem[1] Juh\'аsz I. Cardinal Functions in Topology.
\emph{Math. Сеntrе Тrасts}, 34. Amsterdam, 1971.
\bibitem[2] Наjnаl А., Juh\'аsz I. Оп hereditarily $\alpha$-sеpаrаblе and $\alpha$-Liпdel\"of spaces.
\emph{Annales Univ. Sci. Budapest}, \textbf{11}, 19б8, 115—124.
\bibitem[3] Кunеn К. Ultrafilters and independent sets. \emph{Tгans. Аmеr. Math. Sос.},
\textbf{172}, 1972; 299-306.
\bibitem[4] Архангельский А.В. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa
наследственно. Теснота и свободные последовательности.\emph{Докл. АН СССР},
\textbf{199}, No. 6, 1971; 1227-1230.
\bibitem[5] Архангельский А.В. О мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме
счетности. \emph{Докл. АН СССР}, \textbf{187}, No. 5, 1969; 967-970.
\bibitem[6] Шапировский Б.Э. О вложении экстремально-несвязных пространств в бикомпакты.
b-точки и вес коллективно нормальных пространств\emph{Докл. АН СССР},
\textbf{223}, No. 5, 1975; 1083--1086.
\bibitem[7] Шапировский Б.Э. Канонические множества и характер. Плотность и вес в
бикомпактах. \emph{Докл. АН СССР}, \textbf{218}, No. 1, 1974; 58-61.
\bibitem[8] Малыхин В.И., Шапировский Б.Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств.
\emph{Доkл. АН СССР}, \textbf{213}, No. 3, 1973; 532-535.
\end{bibliography}
\end{document}
Поступила в редакцию
16.11 1976 г.
Кафедра высшей геометрии и топологии
М. G. Tkachenko ОN ТНЕ BEHAVIOUR ОF CARDINAL FUNCTIONS
UNDER ТНЕ UNION ОРЕRАТIОN FOR А CHAIN
OF SРАСЕS
Опе оf the main results in this article is the following theorem: If а а sрасе $Х$ is given аs the union of а chain of its subsрасеs $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ such that $w(Х_\alpha)<\tau$ for еvеrу $\alpha\in А$, then $w(Х)\leq ехр(\tau)$. This rеsult is the best possible within the class оf аll nоrmal spaces. Similar problеms соnсеrning some other cardinal functions like density and network weight аrе investigated аs wеll.
