this is for holding javascript data
Mikhail Tkachenko edited results.tex
over 8 years ago
Commit id: 3f1ec86883ed53fe944f2fdcffac3753a6faf140
deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index 35c8d25..7ed399c 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
$$
w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).
$$
Следствие. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно, $h}(Х)\cdot hd(Х)\leq nw(Х)$
для любого $Х$.
Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества$Y$ в $Х$ мы называем
$\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и } Y\subset cl_X М\}$. Очевидно, внешняя
плотность$Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.
Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $d(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,
такое, что $|М|\leq (ехр(\tau))^+$ и внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если$d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$, то в качестве
$М$ можно взять всюду плотное в $Х$ множество минимальной мощности.
Если же $d(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,
$|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ —- искомое.
Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то
$М\subset cl_X N$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому
ввиду регулярности$Х$,
$$
w(M)\leq w(cl_X(N))\leq ехр(\tau).
$$
Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.