this is for holding javascript data
Mikhail Tkachenko edited results.tex
over 8 years ago
Commit id: 33351cbd2786a7635b5751c8470fb11cc2c94872
deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index 2987387..9c83111 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Положим $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.
Теорема~1. Пусть $Х$ -- регулярное пространство. Тогда для каждого
$\lambda\leq w(Х)$ существует $М_\lambda\subset Х$, такое, что
$|М_\lambda|\leq\lambda$ и $w(М_\lambda)\geq\lambda$.
Доказательство. Если $\chi(Х)<\lambda$, то все следует из леммы~1.
Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Предположим, что $w(М)<\lambda$ для любого $М\subset Х$,
удовлетворяющего условию $|М|\leq\lambda$. Заметим теперь, что если$M$ -- левое,
то $w(М)\geq |М|$ (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства
в $Х$ меньше $\lambda$ и потому $hd(Х)\leq\lambda$. Тем более,
$d(Х)\leq\lambda$. Зафиксируем всюду плотное в $Х$ множество $S$, $|S|\leq\lambda$.
В силу регулярности $Х$,
$$
\chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\})\leq w(S\cup \{р\}) < \lambda
$$
(так как $|S\cup\{p\}\leq\lambda$) для любой точки $р\in Х$. Но $\chi(Х)\geq\lambda$,
поэтому $\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\} =\lambda$. Следовательно, существует $Q\subset Х$,
такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\}=\lambda$. Тогда, очевидно,
$w(S\cup Q)\geq\lambda$, что противоречит предположению, сделанному в начале доказательства
($|S\cup Q|\leq\lambda$).
Теорема~2. Пусть $Х$ -- произвольное пространство. Тогда для любого кардинала
$\lambda\leq w(Х)$ существует$М_\lambda\subset Х$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$
и внешний вес $М_\lambda$ в $Х$ не меньше $\lambda$.
Доказательство. Заметим, что $w(М)$ не больше внешнего
веса $М$ в $Х$ для любого $М\subset Х$. Поэтому, если $\chi(Х)<\lambda$,
все следует из леммы~1. Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Можно считать, что
$\chi(р,Х)<\lambda$, для любой $р\in Х$. Тогда $\sup\{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda$.
Существует $Q\subset X$ такое, что $|Q|\leq\lambda$ и $\sup\{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda$.
Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.
Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в $Х$ и
$\Phi\in \{с, hс, hd, hL \}$. Тогда:
\begin{enumerate}
\item[а)] если $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;
\item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то
$\Phi(Х)\leq \tau$;
\item[в)] если внешний вес $Х_\alpha$ в $Х$ меньше $\tau$ для всех $\alpha\in А$,
то $w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.
\end{enumerate}
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\Phi=hL$ (для других кардинальных
функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем, что
$|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим $М_\alpha=
М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$, так как
$hL(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,
поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если
$\sup\{|М|: М -- \mbox{ правое, } М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство
$\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в$Х$, такое, что
$|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим
$N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и $hL(N)\geq\tau$.
Однако существует $\alpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\alpha$; поэтому
$hL(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак, $hL(Х)<\tau$.
Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.
Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$
и $|\gamma_\alpha|<\tau$. Тогда $\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}$ --
база в $Х$. Если $|А|\leq\tau$, то $|\gamma|\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то
внешний вес любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше
$\tau$. По теореме~2, $w(X)<\tau$.
П р е д л о ж е н и е~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
хаусдорфовом пространстве $Х$ и $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого
$\alpha\in А$. Тогда $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Как показано в работе [1], $|Y|\leq еxp(hL(Y))$
для любого хаусдорфова пространства$Y$. Поэтому $|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно, если $|А|\leq\tau^+$, то $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Если же $|А|>\tau^+$, то, по пункту~(б) теоремы~3, $hL(Х)\leq\tau$,
а потому $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Предложение~2. Для любого $Х$, $w(Х)\leq |Х|^{d(Х)}$.
Доказательство. Пусть $\mathcal{F}$ -- система всех замкнутых множеств
в $Х$. Через $S_F$ обозначим всюду плотное множество в$F\in\mathcal{F}$,
причем $|S_F|\leq hd(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из
$\mathcal{F}$ в
$$
Ехр_{\tau}(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq \tau\}.
$$
Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.
Теорема~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в хаусдорфовом
пространстве$Х$, причем $hL(Х_\alpha)\leq\tau$ и $hd(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. По теореме~3, пункт (а),$hd(Х)\leq\tau$. Из предложения~1
вытекает$|Х|\leq ехр(\tau)$. Предложение~2 дает
$$
w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).
$$
Следствие. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно, $h}(Х)\cdot hd(Х)\leq nw(Х)$
для любого $Х$.
Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества$Y$ в $Х$ мы называем
$\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и } Y\subset cl_X М\}$. Очевидно, внешняя
плотность$Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.
Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $d(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,
такое, что $|М|\leq (ехр(\tau))^+$ и внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если$d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$, то в качестве
$М$ можно взять всюду плотное в $Х$ множество минимальной мощности.
Если же $d(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,
$|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ —- искомое.
Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то
$М\subset cl_X N$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому
ввиду регулярности$Х$,
$$
w(M)\leq w(cl_X(N))\leq ехр(\tau).
$$
Противоречие. Итак, внешняя плотность $M$ в $Х$ больше $\tau$.
Теорема~5. Пусть $Х$ регулярно и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая
цепь в $Х$, причем внешняя плотность $Х_\alpha$ в $Х$ не больше $\tau$ для всех
$\alpha\in А$. Тогда $d(Х)\leq (ехр(\tau))^+$.
Эта теорема -- простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы~4 и~5
улучшить нельзя.
Пример~1 (к теореме~4). Согласно одной из теорем Кунена из
работы [3] на любом множестве $M$ существует однородный ультрафильтр
(ультрафильтр на $M$ называется однородным, если он состоит из множеств
той же мощности, что и $М$), любая база которого имеет мощность $ехр(|М|)$.
Рассмотрим множество $M$, $|М| =\tau$, и описанный выше ультрафильтр $\xi$
на $М= \{х_\alpha : \alpha<\tau\}$. Положим $Х=М\cup {\xi\}$. Базу топологии
в $Х$ введем так: множество $M$ открыто и дискретно в$Х$, а открытые окрестности
точки $\xi$ имеют вид $\{\xi\}\cup К$, где $K\in\xi$.
Тогда
$$
w(Х) = ехр(\tau)\, \mbox{ и }\, Х = \bigcup\{Х_\alpha: \alpha< \tau\},
$$
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$
нормально.
Пример~2 (к теореме~5).
Пусть $D_\alpha =\{0_\alpha, 1_\alpha\}$ --
несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
$$
D^\alpha = \prod \{D_\beta : \beta\leq\alpha\}
$$
и
$$
a_\alpha=\{0_\beta: \alpha<\beta<\lambda\},
$$
то есть
$$
a_\alpha\in \prod \{D_\beta: \alpha<\lambda\}.
$$
Пусть
$$
Х = \bigcup \{D_\alpha \times \{a_\alpha\}: \alpha < \lambda\},\hskip 5pt
Х\subset \prod \{D_\alpha: \alpha < \lambda\}.
$$
Тогда $d(D_\alpha)\leq\tau$, где $\alpha<\lambda$. Однако $d(Х)\geq ш(Х)\geq\lambda$,
поэтому $d(Х)\geq\lambda$ (здесь $Х_\alpha =D_\alpha \times \{а_\alpha\}\cong D^\alpha$).
Заметим, что $Х$ -- вполне регулярное пространство. Отметим также
следующее свойство этого пространства: в$Х$ существует каноническая
цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что $Х_\alpha$ -- бикомпакт
и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить
нужную цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать,
что для каждого$\alpha<\lambda$ существуют бикомпакт $Х$ и ординал $\beta<\lambda$,
такие, что
$$
\pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset
D^\beta \times\{a_\beta\}.
$$
Покажем это. Пусть $Z$ -- александровское удвоение пространства $D^\alpha$,
$Z=D^\alpha\cup (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в $D^\alpha$
множество, $|S|\leq\tau$. Положим $Y=D^\alpha\cup S'\subset Z$. Очевидно,
$Y$ -- бикомпакт и $\pi w(Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в $S'$:
$S'= \{х_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\}$, где $\beta<\lambda$. Для каждого
$\rho$, удовлетворяющего условию $\alpha<\rho\leq\beta$, определим отображение
$f_\rho \colon Y\to D_\rho$ по правилу
\begin{equation}
f_\rho(х) =
\begin{cases} 1_\rho&\text{если $х = х_\rho$;}\\
О_\rho& \text{если $х\neq х_\rho$,}
\end{cases}
\end{equation}
where $х\in Y$. Через $\pi_\gamma$, где $\gamma\leq \alpha$, обозначим проекцию
$D^\alpha$ на $D_\gamma$. Пусть $\widetilde{\pi}_\gamma$ -- продолжение отображения
$\pi_\gamma$ на пространство$Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$.
Пусть $f$ -- диагональное произведение отображений
$$
\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\}\, \mbox{ и }\,
\{f_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\},\ f\colon Y\to \prod \{D_\rho: \rho\leq\beta\}.
$$
Легко видеть, что бикомпакт $Х= f(Y)\times \{а_\beta\}$ и ординал $\beta$ таковы, что
$$
\pi w(X)\leq\tau\, \mbox{ и }\, D^\alpha\times \{а_\alpha\}\subset
Х\subset D^\beta\times \{a_\beta\}.
$$
Достаточно лишь заметить, что $f$ -- гомеоморфизм между $Y$ и $f(Y)$, так
как система отображений
$$
\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\}\cup \{f_\rho:
\alpha < \rho\leq\beta\}
$$
разделяет точки в $Y$.
Теорема~6. Пусть $Х$ -- бикомпакт. Тогда для любого $\tau\leq w(Х)$
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если $M$ -- правое (левое), то
$hL(М) = |М|$ ($hd(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого $\tau
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
Таким образом, для всех $\tau
$\tau= hL(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М - \mbox{ правое}\}$.
Если $\tau$ -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть
$\tau$ -- предельный кардинал. В этом случае существует семейство
$\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, такое, что $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и
$\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau$, причем любое $М\in\mathcal{P}$ правое.
Положим $М_\tau=\bigcup\mathcal{P}$. Легко видеть, что
$$
|M_\tau| =nw(М_\tau) =\tau.
$$
Пусть, наконец, $\tau>hL(X)$, но $\tau\leq w(Х)$. Теорема~1 утверждает,
что существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и
$w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$
в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot hL(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot
hL(Х)$, где $Х$ — бикомпакт. Следовательно,
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot hL(Х).
$$
Но $hL(Х)< \tau$, поэтому $nw(M_\tau)\geq w(M_\tau)$. Итак, имеем
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
Теорема~7. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в бикомпакте $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда
$w(Х)\leq\tau$.
Доказательство. Если $|А|\leq\tau$, то, очевидно, $nw(Х)\leq\tau$ и
$w(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. В силу регулярности кардинала$|А|$ для любого
$М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, найдется $\alpha\in А$, такое,
что $M\subset X_\alpha$, и поэтому $nw(М)\leq\tau$. По теореме~6, $w(Х)<\tau$.
Замечание~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
во вполне регулярном перистом пространстве$Х$, причем $Х_\alpha$ -- перистое и
$nw(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq\tau$.
Теорема~8. Пусть $\{Х_\alpha:\alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
бикомпакте $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$ для каждого $\alpha\in А$. Тогда
$t(Х)\leq\tau$. Если же $|А|>\tau$, то $t(Х)<\tau$.
Доказательство. Согласно результату в [4] теснота в бикомпакте есть
супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть
$\lambda$ -- регулярный кардинал и $М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --
свободная последовательность в $Х$. Положим
$F_\alpha = cl_X (\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\})$. Тогда система
$\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована
и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть
$р\in F_M$ и $N_М=М\cup \{р\}$. Тогда $t(р,М) =\lambda$, где
$t(р,М) =\min \{|В|: В\subset М \mbox{ и } p\in cl_X B \}$; поэтому
$t(N_М)=\lambda$, причем $|N_M|=|M|=\tau$.
Рассмотрим теперь два случая.
I. $|А|\leq\tau$. Если $t(Х}>\tau$, то в $Х$ существует свободная последовательность
$М$ длины $\tau^+$. Пусть $F_M$ -- построенное выше множество. Обозначим
$S_\gamma = M\cap X_\gamma$ и $T_\gamma=F_М\cap Х_\gamma$ для каждого $\gamma\in A$.
Тогда $М$ является объединением цепи своих подпространств $\{S_\gamma: \gamma\in А\}$,
а $F_M$ есть объединение цепи своих подпространств $\{Т_\gamma: \gamma\in А\}$.
Отметим, что
$$
cl_{X_\gamma}(S_\gamma)\cap Т_\gamma =
cl_{X}(S_\gamma)\cap Т_\gamma =\emptyset
$$
для каждого $\gamma\in A$ -- иначе, как показано выше, будем иметь
$t(N_{S_\gamma})>\tau$ для того $\gamma\in А$, для которого
$cl_X(S_\gamma)\cap Т_\gamma\neq\emptyset$, а это противоречит тому,
что $t(Х_\gamma)<\tau$. Так как $|М|=\tau^+$, существует $\gamma_0\in A$
такой, что $|S_{\gamma_0}|=\tau^+$. Пусть $\theta\geq\gamma_0$. Тогда
$$
cl_X(S_{\gamma_0}) \cap Т_\theta \subset cl_X(S_\theta) \cap Т_\theta
=\emptyset,
$$
и поэтому $cl_X(S_{\gamma_0})\cap T_\theta=\emptyset$ для каждого
$\theta\geq\gamma_0$, то есть $cl_X(S_{\gamma_0}) \cap F_M=\emptyset$.
Но $cl_X(N) \cap F_M\neq\emptyset$ для любого $N\subset М$, такого, что
$|N|=\tau^+$; например, любая точка полного накопления для $N$ лежит в $F_M$.
Полученное противоречие показывает, что в первом случае $t(Х)\leq\tau$.
II. $|А|>\tau$. Пусть $t(Х)\geq \tau$. Тогда верно одно из двух:
\begin{enumerate}
\item[а)] существует свободная последовательность $М$ в $Х$, $|М| =\tau$;
\item[б)] $\tau$ -- предельный кардинал, $\tau=\sup\{|М|: М --
\mbox{ свободная последовательность в } Х\}$.
\end{enumerate}
Однако в каждом из случаев (а), (б) существует $М_\tau\subset Х$, такое, что
$|М_\tau|\leq\tau$ и $t(М_\tau)\geq\tau$. В случае (а) таким пространством будет
$N_М$. В случае (б) существует семейство $\mathcal{P}$ подмножеств из $Х$, состоящее
из свободных последовательностей, такое, что
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau\, \mbox{ и }\, \sup\{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau.
$$
Положим $М_\tau=\bigcup \{N_М: М\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$$
|М_\tau|\leq\tau\, \mbox{ и }\, t(M_\tau)\geq\tau.
$$
Ввиду регулярности кардинала $|А|$ существует $\alpha\in А$, такой, что $М_\tau\subset
Х_\alpha$, и поэтому $t(М_\tau)\leq t(Х_\alpha)<\tau$. Противоречие.
Замечание~2. Верно следующее предложение: если $Х$ хаусдорфово k-пространство
и $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в $Х$, причем $t(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$, то $t(Х)\leq\tau$.
Лемма~З. Пусть $Х$ -- бикомпакт, $t(Х)<\tau$ и $\chi(р,Х)\geq\tau$, где $р\in Х$.
Тогда существует $М\subset Х$, такое, что $|М|\leq\tau$ и $\chi(р,М)\geq\tau$.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $\tau$ -- регулярный кардинал. Предполотим
теперь, что $\chi(р, М)<\tau$ для любого $М\subset X$, такого, что $|М|<\tau$.
Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$
произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей
точки $р$, такая, что $O_0= Х\setminus\{x_0\}$,
$p\in O_{n+1}\subset cl(O_{n+1})\subset O_n$,
для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех
$\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --
система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим
$\theta_\alpha =\bigcup \{\lambda_\beta: \beta<\alpha\}$. Тогда, очевиднo,
$|\theta_\alpha|<\tau$. Ввиду того что $Х$ -- бикомпакт, $\chi(р,Х)=\psi(р,Х)$ и
поэтому существует точка $х_\alpha\in \bigcap\theta_\alpha\setminus \{р\}$.
Положим $S_\alpha = \{p\}\cup \{x_\beta: \beta\leq\alpha\}$ и
$F_\alpha = cl_X(S_\alpha)$. В силу регулярности $Х$,
$\tau>\chi(р,S_\alpha)=х(p, F_\alpha)$.
Теперь легко построить систему $\lambda_\alpha$ открытых в $Х$ множеств,
содержащих точку $р$, такую, что:
\begin{enumerate}
\item[а)] $\lambda_\alpha\restriction F_\alpha$ -- база точки $р$ в пространстве
$F_\alpha$;
\item[б)] $\theta_\alpha\subset \lambda_\alpha$;
\item[в)] для любой $O\in\lambda_\alpha$ существует $V\in \lambda_\alpha$,
такая, что $cl_X(V)\subset O$;
\item[г)] $\bigcap\mu\in\lambda_\alpha$ для любой $\mu\subset\lambda_\alpha$,
такой, что $|\mu|<\omega$;
\item[д)] $|\lambda_\alpha|<\tau$.
\end{enumerate}
Пусть построены множества $\{F_\alpha: \alpha<\tau\}$ и система
$\lambda=\bigcup\{\lambda_\alpha: \alpha<\tau\}$. Так как$t(Х)<\tau$,
множество $F=\bigcup\{F_\alpha: \alpha<\tau\}$ замкнуто в $Х$. Далее,
$F\cap\bigcap\lambda=\{р\}$ и, кроме того, из построения следует, что
система $\lambda$ обладает двумя свойствами:
\begin{enumerate}
\item[1)] для любого $O\in\lambda$ существует $V\in\lambda$, такое, что
$cl_X(V)\subset O$;
\item[2)] $\bigcap\mu\in\lambda$, для любой $\mu\subset\lambda$, такой, что
$|\mu|<\omega$.
\end{enumerate}
Поэтому $\lambda\restriction F$ — база точки $р$ в пространстве $F$. утверждаем, что
$\chi(р, F)\geq\tau$. Действительно, пусть $\chi(р,F)<\tau$. Тогда существует
$\gamma\subset\lambda$, такая, что $|\gamma|<\tau$ и $\gamma\restriction F$ --
база точки $р$ в пространстве $F$. Однако существует $\alpha<\tau$, такое, что
$\gamma\subset\theta_\alpha$ и поэтому $x_\alpha\in\bigcap\gamma$, то есть
$\gamma$ -- не база точки $р$ в $F$. Итак, $\chi(р,F)\geq\tau$.
Но $S =\bigcup \{S_\alpha: \alpha<\tau\}$ всюду плотно в $F$; поэтому
$$
\chi(p,S\cup\{p\}) = \chi(p,F)\geq\tau\, \mbox{ и }\, |S\cup\{p\}|\leq\tau.
$$
Пусть теперь $\tau$ -- сингулярный кардинал. Для каждого регулярного кардинала
$\lambda$, удовлетворяющего условию $t(Х)<\lambda<\tau$, через $М_\lambda$
обозначим такое подпространство в $Х$, что $|М_\lambda|=\lambda$ и
$\chi(р, М_\lambda)\geq\lambda$ (существование такого $М_\lambda$ только
что было доказано). Очевидно, существует множество $\mathcal{P}$ таких кардиналов
$\lambda$, удовлетворяющее условиям
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau\, \mbox{ и }\, \sup\{\chi(р,М_\lambda):
\lambda\in\mathcal{P}\}\geq \tau.
$$
Положим $М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Тогда $|М|\leq\tau$ и
$\chi(р,М)\geq\tau$.
Теорема~9. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте
$Х$, причем $\chi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $\chi(Х)\leq\tau$.
Если же $|А|>\tau$, то $\chi(Х)<\tau$.
Доказательство. Заметим, что для каждой точки
$р\in Х$, $\chi(р,Х) =\psi(р,Х)\leq \sup\{\psi(р,Х_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|$.
Поэтому, если $|А|\leq \tau$, то $\chi(Х)\leq\tau$. Пусть $|А|>\tau$. Тогда из теоремы~8
следует, что $t(Х)<\tau$. Далее, для каждого $М\subset Х$, такого, что $|М|\leq\tau$,
существует $\alpha\in А$, такое что $M\subset X_\alpha$ и поэтому $\chi(М)<\tau$.
Применив лемму~3, получим $\chi(Х)<\tau$.
Предложение~З. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
бикомпакте $Х$ и $\chi(X_\alpha)\leq\tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$|Х|\leq ехр(\tau)$.
Это предложение легко следует из предыдущей теоремы и доказанного А.В.~Архангельск
им для хаусдорфовых пространств неравенства $|Х|\leq ехр (L(Х)\cdot\chi(Х))$ (см. [5]).
Теорема~10. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте
$Х$ и $d(Х)\leq \tau$ для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Положим $F_\alpha = cl_X(Х_\alpha)$ и из цепи $\{F_\alpha:
\alpha\in А\}$ выберем каноническую цепь $\{F_\beta: \beta\in B\}$, где $В\subset А$.
Заметим, что $d(F_\alpha)\leq d(Х_\alpha)$ для всех $\alpha\in А$. Если $|В|\leq ехр(\tau)$, то
$$
w(Х)\leq nw(Х)\leq |В|\cdot \sup\{nw(F_\beta): \beta\in В\}\leq ехр(\tau),
$$
так как
$$
nw(F_\beta)\leq w(F_\beta)\leq ехр(d(F_\beta))\leq ехр(\tau)
$$
($Х$ регулярно). Пусть $|В|>ехр(\tau)$. Имеем: $с(F_\beta)\leq d(F_\beta)\leq\tau$
для всех $\beta\in B$ и из пункта~(б) теоремы~3 следует, что $с(Х)\leq\tau$. Однако
$w(Х)\geq ш(Х) > ехр(\tau)$. Отсюда вытекает, что существует непрерывное отображение
$f$ бикомпакта $Х$ на тихоновский куб $I^\mu$, где $\mu= (ехр(\tau))^+$ (см. [6], теорема~3).
Заметим, что $d(I^\mu)>\tau$ и потому $f(F_\beta)\neq I^\mu$ для всех
$\beta\in B$. Однако $I^\mu=\bigcup\{f(F_\beta): \beta\in В\}$ и $f(_\beta)$
замкнуто в $I^\mu$ для всех $\beta\in B$. Следовательно, $ш(I^\mu)\geq |В|>ехр(\tau)$,
хотя хорошо известно, что $ш(I^\mu) =\omega$ для любого из $\mu\geq 1$. Противоречие.
Таким образом, случай $|В|> ехр(\tau)$ невозможен.
Предложение~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в
бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Если $|А|>\tau^+$, то из пункта~(б) теоремы~3 следует, что
$с(Х)\leq\tau$. Из теоремы~8 вытекает, что $t(Х)\leq\tau$. Но для любого бикомпакта
$Y$ выполняется неравенство $w(Y)\leq t(Y)^{с(Y)}$ (см. [7], следствие~5). Поэтому
$w(Х)\leq ехр(\tau)$. Пусть $|А|\leq\tau^+$. Тогда $t(Х)<\tau^+$. Пусть
$F_\alpha = cl_X(Х_\alpha)$. Тогда $c(F_\alpha) = c(Х_\alpha)\leq\tau$ и
$t(F_\alpha)\leq t(Х)\leq\tau^+$. Поэтому $w(F_\alpha)\leq (\tau^+)^\tau = ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно,
$$
w(X)\leq nw(X)\leq \sup\{nw(F_\alpha): \alpha\in A\}\cdot |А|\leq ехр(\tau),
$$
то есть $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
По аналогии с предыдущим предложением, используя пункт~2 следствия~3.3 из
работы [8], можно доказать
Предложение~5. [$МA\, \&\, \aleph_1<2^\omega$] Пусть
$\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ —- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и
$t(Х_\alpha)\cdot d(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$\pi w(Х)\leq\aleph_1$.
Предложение~6. [$МA\, \&\, \aleph_2<2^\omega$] Пусть
$\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и
$t(Х_\alpha)\cdot с(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех $\alpha\in А$. Тогда
$\pi w(Х)\leq \aleph_1$.
Вопрос~1. Можно ли требование регулярности $Х$ в теореме~1
ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно
леммы~2.
Вопрос~2. Можно ли в предположениях теоремы~5 утверждать,
что $w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))$?
Вопрос~3. Можно ли бикомпактность пространства
$Х$ в теореме~6 ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?
Автор глубоко признателен своему руководителю профессору
А.В.~Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Juh\'аsz I. Cardinal Functions in Topology.
Math. Сеntrе Тrасts, 34. Amsterdam, 1971.
[2] Наjnаl А., Juh\'аsz I. Оп hereditarily $\alpha$-sеpаrаblе and $\alpha$-Liпdel\"of spaces.
Annales Univ. Sci. Budapest, 11, 19б8, 115—124.
[3] Кunеn К. Ultrafilters and independent sets. Tгans. Аmеr. Math. Sос.,
172, 1972; 299-306.
[4] Архангельский А.В. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa
наследственно. Теснота и свободные последовательности. Докл. АН СССР,
199, No. 6, 1971; 1227-1230.
[5] Архангельский А.В. О мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме
счетности. Докл. АН СССР, 187, No. 5, 1969; 967-970.
[6] Шапировский Б.Э. О вложении экстремально-несвязных пространств в бикомпакты.
b-точки и вес коллективно нормальных пространств. Докл. АН СССР,
223, No. 5, 1975; 1083--1086.
[7] Шапировский Б.Э. Канонические множества и характер. Плотность и вес в
бикомпактах. Докл. АН СССР, 218, No. 1, 1974; 58-61.
[8] Малыхин В.И., Шапировский Б.Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространств.
Доkл. АН СССР, 213, No. 3, 1973; 532-535.
М. G. Tkachenko: ОN ТНЕ BEHAVIOUR ОF CARDINAL FUNCTIONS
UNDER ТНЕ UNION ОРЕRАТIОN FOR А CHAIN
OF SРАСЕS
Опе оf the main results in this article is the following theorem: If а а sрасе $Х$ is given аs the union of а chain of its subsрасеs $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ such that $w(Х_\alpha)<\tau$ for еvеrу $\alpha\in А$, then $w(Х)\leq ехр(\tau)$. This rеsult is the best possible within the class оf аll nоrmal spaces. Similar problеms соnсеrning some other cardinal functions like density and network weight аrе investigated аs wеll.
