this is for holding javascript data
Mikhail Tkachenko edited results.tex
over 8 years ago
Commit id: 12d36cdf4ca931d8240e3083c0c536eda9d3bfb7
deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index fb52ce0..c4fa8c1 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
где $Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}$. Очевидно, $|Х_\alpha|<\tau$
и $Х_\alpha$ дискретно, поэтому $w(Х_\alpha)<\tau$. Заметим, что пространство $Х$ нормально.
\section{Results~2}
Пример~2 (к теореме~5). Пусть $D_\alpha =\{0_\alpha, 1_\alpha\}$ --
несвязное двоеточие, $\alpha<\lambda = (ехр(\tau))^+$. Положим
$$
D^\alpha = \prod \{D_\beta : \beta\leq\alpha\}
$$
и
$$
a_\alpha=\{0_\beta: \alpha<\beta<\lambda\},
$$
то есть
$$
a_\alpha\in \prod \{D_\beta: \alpha<\lambda\}.
$$
Пусть
$$
Х = \bigcup \{D_\alpha \times \{a_\alpha\}: \alpha < \lambda\},\hskip 5pt
Х\subset \prod \{D_\alpha: \alpha < \lambda\}.
$$
Тогда $d(D_\alpha)\leq\tau$, где $\alpha<\lambda$. Однако $d(Х)\geq ш(Х)\geq\lambda$,
поэтому $d(Х)\geq\lambda$ (здесь $Х_\alpha =D_\alpha \times \{а_\alpha\}\cong D^\alpha$).
Заметим, что $Х$ -- вполне регулярное пространство. Отметим также
следующее свойство этого пространства: в$Х$ существует каноническая
цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что $Х_\alpha$ -- бикомпакт
и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить
нужную цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать,
что для каждого$\alpha<\lambda$ существуют бикомпакт$Х$ и ординал $\beta<\lambda$,
такие, что
$$
\pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset
D^\beta \times\{a_\beta\}.
$$
Покажем это. Пусть $Z$ -- александровское удвоение пространства$D^\alpha$,
$Z=D^\alpha\cup (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в $D^\alpha$
множество, $|S|\leq\tau$. Положим $Y=D^\alpha\cup S'\subset Z$. Очевидно, $Y$ --
бикомпакт и $\pi w (Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в $S'$:
$S'= \{х_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\}$, где $\beta<\lambda$. Для каждого
$\rho$, удовлетворяющего условию $\alpha<\rho\leq\beta$, определим отображение
$f_\rho \colon Y\to D_\rho$ по правилу
$$
f_\rho(х) =
\begin{cases} 1_\rho&\textit{если $х = х_\rho$};\\
$О_\rho& \text{если х\neq х_\rho,}
\end{cases}
$$
where $х\in Y$. Через $\pi_\gamma$, где $\gamma\leq \alpha$, обозначим проекцию
$D^\alpha$ на $D_\gamma$. Пусть $\widetilde{\pi}_\gamma$ -- продолжение отображения
$\pi_\gamma$ на пространство$Y$, $\widetilde{\pi}_\gamma \colon Y\to D_\gamma$.
Пусть $f$ -- диагональное произведение отображений
$$
\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\} \mbox{ и }
\{f_\rho: \alpha<\rho\leq\beta\},\ f\colon Y\to \prod \{D_\rho: \rho\leq\beta\}.
$$
Легко видеть, что бикомпакт $Х= f(Y)\times \{а_\beta\}$ и ординал $\beta$ таковы, что
$$
\pi w(X)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha\times \{а_\alpha\}\subset
Х\subset D^\beta\times \{a_\beta\}.
$$
Достаточно лишь заметить, что $f$ -- гомеоморфизм между $Y$ и $f(Y)$, так
как система отображений $\{\widetilde{\pi}_\gamma: \gamma\leq\alpha\}\cup
\{f_\rho: \alpha < \rho\leq\beta\}$ разделяет точки в $Y$.