deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index a4c7e32..f3b110c 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Определение~2. Цепь $\mathcal{С}= \{Х_\alpha: \alpha\in В\}$ подпространств
в $Х$ называется канонической, если выполнены условия:
\begin{enumerate}
\item[а)] $(В,<)$
-- —- множество ординалов, меньших $|В|$;
\item[б)] если $\alpha,\beta\in B$ и $\alpha<\beta$, то $Х_\alpha\subset Х_\beta$
(строгое включение);
\item[в)] $|В|$
-- — регулярный кардинал;
\item[г)] $Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in В\}$.
\end{enumerate}
...
Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.]
Для каждого $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))$
выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,
$|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\alpha\notin
cl_X(M_\alpha)$ \overline{M_\alpha}$ и
$O\cap М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$,
поэтому $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является
базой точки $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha \cup \{х_\alpha\}$.
[Если $\theta$ —- система множеств в $Х$ и $А\subset Х$, то через
$\theta\restriction А$ обозначим систему $\{V\cap А: V\in\theta\}$.]
Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \alpha< \tau\}$ и $\{х_\alpha:
\alpha<\tau\}$ \alpha< \tau\}$
построены. Положим
$$
М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\},\hskip 5pt
...
тем более не является базой точки $х_\alpha$ в $М$. Противоречие.
Итак, $w(М)\geq\tau$. Пусть теперь $\tau$ — сингулярный кардинал. Положим
тогда
$$
\mathcal{P} $\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau,\,\
\lambda - \mbox{ регулярный
кардинал}\}.
$$ кардинал}\}$.
Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$
существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и
$w(М_\lambda)\geq\lambda$. $w (М_\lambda)\geq\lambda$.
Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.
...
Пусть $\chi(Х)\geq\lambda$. Предположим, что $w(М)<\lambda$ для любого $М\subset Х$,
удовлетворяющего условию $|М|\leq\lambda$. Заметим теперь, что если $M$ -- левое,
то $w(М)\geq |М|$ (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства
в $Х$ меньше $\lambda$ и потому
$hd(Х)\leq\lambda$. $\overline{d}(Х)\leq\lambda$. Тем более,
$d(Х)\leq\lambda$. Зафиксируем всюду плотное в $Х$ множество $S$, $|S|\leq\lambda$.
В силу регулярности$Х$,
$$
...
Легко видеть, что множество $M_\lambda=Q$ и есть нужное.
Теорема~3. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в $Х$ и
$\Phi\in \{с,
hс, hd, hL \overline{с}, \overline{d}, \overline{L} \}$. Тогда:
\begin{enumerate}
\item[а)] если $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то $\Phi(Х)\leq\tau$;
\item[б)] если $|A|>\tau$ и $\Phi(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$, то
...
$w(Х)\leq\tau$; если к тому же $|А|>\tau$, то $w(Х)<\tau$.
\end{enumerate}
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
$\Phi=hL$ $\Phi=\overline{L}$ (для других
кардинальных функций доказательство пунктов~(а) и~(б) аналогично). Покажем,
что $|М|\leq\tau$ для любого правого $М\subset Х$, если $|А|\leq\tau$. Положим
$М_\alpha=М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$,
так как
$hL(Х_\alpha)<\tau$. $\overline{L}(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,
поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если
$\sup\{|М|: М -- \mbox{ правое }, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует семейство
$\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что
$$
|\mathcal{P}|\leq\tau$ $|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|:
М\in\mathcal{P}\}=\tau.
$$ М\in\mathcal{P}\}=\tau$. Положим
$N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и
$hL(N)\geq\tau$. $\overline{L}(N)\geq\tau$.
Однако существует $\alpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\alpha$; поэтому
$hL(Х_\alpha)\geq\tau$. $\overline{L}(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак,
$hL(Х)<\tau$. $\overline{L}(Х)<\tau$.
Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.
Докажем пункт~(в). Пусть $\gamma_\alpha$ — внешняя база $Х_\alpha$ в $Х$
...
любого $М\subset Х$, удовлетворяющего условию $|М|\leq\tau$, меньше $\tau$. По теореме~2,
$w(X)<\tau$.
Предложение~1. П р е д л о ж е н и е~1. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ — каноническая цепь в
хаусдорфовом пространстве $Х$ и
$hL(Х_\alpha)\leq\tau$ $\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ для каждого
$\alpha\in А$. Тогда $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. Как показано в работе [1], $|Y|\leq
еxp(hL(Y))$ еxp(\overline{L}(Y))$
для любого хаусдорфова пространства $Y$. Поэтому $|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)$
для всех $\alpha\in А$. Следовательно, если $|А|\leq\tau^+$, то $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Если же $|А|>\tau^+$, то, по пункту~(б) теоремы~3,
$hL(Х)\leq\tau$, $\overline{L}(Х)\leq\tau$,
а потому $|Х|\leq ехр(\tau)$.
Предложение~2. Для любого $Х$, $w(Х)\leq |Х|^{d(Х)}$.
Доказательство. Пусть $\mathcal{F}$ -- система всех замкнутых множеств
в $Х$. Через $S_F$ обозначим всюду плотное множество в $F\in\mathcal{F}$,
причем $|S_F|\leq
hd(Х)$. \overline{d}(Х)$. Таким образом, мы получим инъекцию из
$\mathcal{F}$ в
$$
Ехр_{\tau}(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq \tau\}.
...
Поэтому $|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau$ и, тем более, $w(Х)\leq |Х|^\tau$.
Теорема~4. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь в хаусдорфовом
пространстве $Х$, причем
$hL(Х_\alpha)\leq\tau$ $\overline{L}(Х_\alpha)\leq\tau$ и
$hd(Х_\alpha)<\tau$ $\overline{d}(Х_\alpha)<\tau$
для всех $\alpha\in А$. Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
Доказательство. По теореме~3, пункт (а),
$hd(Х)\leq\tau$. $\overline{d}(Х)\leq\tau$. Из предложения~1
вытекает $|Х|\leq ехр(\tau)$. Предложение~2 дает
$$
w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).
...
Следствие. Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ -- каноническая цепь
в хаусдорфовом пространстве $Х$, причем $nw(Х_\alpha)<\tau$ для всех $\alpha\in А$.
Тогда $w(Х)\leq ехр(\tau)$. Действительно,
$hL(Х)\cdot hd(Х)\leq $\overline{L}(Х)\cdot \overline{d}(Х)\leq nw(Х)$
для любого $Х$.
Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества $Y$ в $Х$ мы называем
$\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и }
Y\subset cl_X(М)\}$. Y\subset\overline{М}\}$. Очевидно, внешняя
плотность $Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.
Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $d(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,
...
Если же $d(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,
$|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ -- искомое.
Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то
$М\subset
cl_X(N)$ \overline{N}$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому
ввиду регулярности $Х$,
$$
w(M)\leq
w(cl_X(N))\leq w(\overline{N})\leq ехр(\tau).
$$
Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.
...
цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что $Х_\alpha$ -- бикомпакт
и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить
нужную цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать,
что для каждого$\alpha<\lambda$ существуют
бикомпакт $Х$ бикомпакт$Х$ и ординал $\beta<\lambda$,
такие, что
$$
\pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset
D^\beta \times\{a_\beta\}.
$$
Покажем это. Пусть $Z$ -- александровское удвоение
пространства $D^\alpha$, пространства$D^\alpha$,
$Z=D^\alpha\cup (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в $D^\alpha$
множество, $|S|\leq\tau$. Положим $Y=D^\alpha\cup S'\subset Z$. Очевидно, $Y$ --
бикомпакт и $\pi w (Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в $S'$:
...
существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|=nw(M_\tau)=\tau$.
Доказательство. Заметим, что если $М$ -- правое (левое), то
$hL(М) $\overline{L}(М) = |М|$
($hd(М) ($\overline{d}(М) =|М|$); поэтому $|М| = nw(М)$.
Далее, для любого $\tau<
hL(Х)$ \overline{iс}(Х)$ существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$ и, следовательно, $nw(М_\tau)=\tau$.
Таким образом, для всех
$\tau $\tau<\overline{L}(Х)$ теорема доказана. Пусть
$\tau= hL(Х)$. \overline{L}(Х)$. Тогда $\tau=\sup\{|М|: М\subset Х,\ М - \mbox{ правое}\}$.
Если $\tau$ -- не предельный кардинал, то существует правое подпространство
$М_\tau$ в $Х$, такое, что $|М_\tau|=\tau$. Поэтому $nw(М_\tau) =\tau$. Пусть
$\tau$ -- предельный кардинал. В этом случае существует семейство
...
|M_\tau| =nw(М_\tau) =\tau.
$$
Пусть, наконец,
$\tau>hL(X)$, $\tau>\overline{L}(X)$, но $\tau\leq w(Х)$. Теорема~1 утверждает,
что существует $М_\tau\subset Х$, такое, что $|М_\tau|\leq\tau$ и
$w(М_\tau)\geq \tau$. Однако хорошо известно, что внешний вес любого $Y\subset X$
в $Х$ не превосходит $nw(Y)\cdot
hL(Х)$ \overline{L}(Х)$ и, тем более, $w(Y)\leq nw(Y)\cdot
hL(Х)$, \overline{L}(Х)$, где $Х$ — бикомпакт. Следовательно,
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(М_\tau)\cdot
hL(Х). \overline{L}(Х).
$$
Но
$hL(Х)< $\overline{L}(Х)< \tau$, поэтому $nw(M_\tau)\geq w(M_\tau)$. Итак, имеем
$$
\tau\leq w(М_\tau)\leq nw(M_\tau)\leq |M_\tau|\leq\tau.
$$
...
супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть
$\lambda$ -- регулярный кардинал и $М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --
свободная последовательность в $Х$. Положим
$F_\alpha
=cl_X(\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\})$. =\overline{\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\}}$. Тогда система
$\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована
и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть
$р\in F_M$ и $N_М=М\cup \{р\}$. Тогда $t(р,М) =\lambda$, где
...
а $F_M$ есть объединение цепи своих подпространств $\{Т_\gamma: \gamma\in А\}$.
Отметим, что
$$
cl_(X_\gamma}{S_\gamma)\cap \overline{S_\gamma}_{Х_\gamma}\cap Т_\gamma =
cl_X(S_\gamma) \overline{S_\gamma}_X \cap Т_\gamma =\emptyset
$$
для каждого $\gamma\in A$ -- иначе, как показано выше, будем иметь
$t(N_{S_\gamma})>\tau$ для того $\gamma\in А$, для которого
$cl_X(S_\gamma)\cap $\overline{S_\gamma}\cap Т_\gamma\neq\emptyset$, а это противоречит тому,
что $t(Х_\gamma)<\tau$. Так как $|М|=\tau^+$, существует $\gamma_0\in A$ такой,
что $|S_{\gamma_0}|=\tau^+$. Пусть $\theta\geq\gamma_0$. Тогда
$$
cl_X(S_{\gamma_0}) \overline{S_{\gamma_0}}_X \cap Т_\theta \subset
cl_X(S_\theta) \overline{S_\theta}_X \cap Т_\theta
=\emptyset,
$$
и поэтому
$cl_X(S_{\gamma_0})\cap $\overline{S_{\gamma_0}}\cap T_\theta=\emptyset$ для каждого
$\theta\geq\gamma_0$, то есть
$cl_X(S_{\gamma_0}) $\overline{S_{\gamma_0}}_X \cap F_M=\emptyset$.
Но
$cl_X(N) $\overline{N}_X \cap F_M\neq\emptyset$ для любого $N\subset М$, такого, что
$|N| =\tau^+$; например, любая точка полного накопления для $N$ лежит в $F_M$.
Полученное противоречие показывает, что в первом случае $t(Х)\leq\tau$.
...
теперь, что $\chi(р, М)<\tau$ для любого $М\subset X$, такого, что $|М|<\tau$.
Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$
произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей
точки $р$, такая, что $O_0= Х\setminus\{x_0\}$, $p\in O_{n+1}\subset
cl_X(O_{n+1})\subset \overline{O_{n+1}}\subset O_n$,
для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех
$\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --
система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим
...
$F_\alpha$;
\item[б)] $\theta_\alpha\subset \lambda_\alpha$;
\item[в)] для любой $O\in\lambda_\alpha$ существует $V\in \lambda_\alpha$,
такая, что
$cl_X(V)\subset $\overline{V}\subset O$;
\item[г)] $\bigcap\mu\in\lambda_\alpha$ для любой $\mu\subset\lambda_\alpha$,
такой, что $|\mu|<\omega$;
\item[д)] $|\lambda_\alpha|<\tau$.
...
система $\lambda$ обладает двумя свойствами:
\begin{enumerate}
\item[1)] для любого $O\in\lambda$ существует $V\in\lambda$, такое, что
$cl_X(V)\subset $\overline{V}\subset O$;
\item[2)] $\bigcap\mu\in\lambda$, для любой $\mu\subset\lambda$, такой, что
$|\mu|<\omega$.
\end{enumerate}
...
$$
то есть $w(Х)\leq ехр(\tau)$.
По аналогии с предыдущим предложением, используя пункт~2 следствия~3.3 из работы [8],
можно доказать
Предложение~5. [$МA\, \&\, \aleph_1<2^\omega$] Пусть $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ —-
каноническая цепь в бикомпакте $Х$ и $t(Х_\alpha)\cdot d(Х_\alpha)\leq\omega$ для всех
...
ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?
Автор глубоко признателен своему руководителю профессору
А.В.~Архангельскому
\cite{0,2,8} за постановку задачи и постоянную помощь.
ЛИТЕРАТУРА
1. Juh\'аsz I. Cardinal Functions in Topology.
Math. Сеntrе Тrасts, 34. Amsterdam, 1971.
2. Наjnаl А., Juh\'аsz I. Оп hereditarily $\alpha$-sеpаrаblе and
$\alpha$-Liпdel\"of spaces. Annales Univ. Sci. Budapest, 11, 19б8, 115—124.
3. Кunеn К. Ultrafilters and independent sets. Tгans. Аmеr. Math. Sос.,
172, 1972; 299-306.
4. Архангельский А.В. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa
наследственно. Теснота и свободные последовательности.Докл. АН СССР,
199, No. 6, 1971; 1227-1230.
5. Архангельский А.В. О мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме
счетности. Докл. АН СССР, 187, No. 5, 1969; 967--970.
6. Шапировский Б.Э. О вложении экстремально-несвязных пространств в бикомпакты.
b-точки и вес коллективно нормальных пространств. Докл. АН СССР,
223, No. 5, 1975; 1083--1086.
7. Шапировский Б.Э. Канонические множества и характер. Плотность и вес в
бикомпактах. Докл. АН СССР, 218, No. 1, 1974; 58-61.
8. Малыхин В.И., Шапировский Б.Э. Аксиома Мартина и свойства топологических
пространств. Доkл. АН СССР, 213, No. 3, 1973; 532-535.
М. G. Tkachenko: ОN ТНЕ BEHAVIOUR ОF CARDINAL FUNCTIONS
UNDER ТНЕ UNION ОРЕRАТIОN FOR А CHAIN
OF SРАСЕS
Опе оf the main results in this article is the following theorem: If а а sрасе $Х$ is given аs the union of а chain of its subsрасеs $\{Х_\alpha: \alpha\in А\}$ such that $w(Х_\alpha)<\tau$ for еvеrу $\alpha\in А$, then
$w(Х)\leq ехр(\tau)$. This rеsult is the best possible within the class оf аll nоrmal spaces. Similar problеms соnсеrning some other cardinal functions like the density, network weight, etc., аrе investigated аs wеll.
