deletions | additions
diff --git a/results.tex b/results.tex
index 33e7c56..8145ef4 100644
--- a/results.tex
+++ b/results.tex
...
Через $\theta(х)$ обозначим подсистему $\{V\in\theta: х\in V\}$ системы $\theta$.]
Для каждого $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$ из множества $O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))$
выберем точку. Полученное множество обозначим через $М$. Очевидно,
$|M_\alpha| < \tau$. Заметим, что $х_\alpha\notin
\overline{M_\alpha}$ cl_X(M_\alpha)$ и
$O\cap М_\alpha\neq \emptyset$ для всех $O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)$,
поэтому $\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})$ не является
базой точки $х_\alpha$ в пространстве $М_\alpha \cup \{х_\alpha\}$.
[Если $\theta$ —- система множеств в $Х$ и $А\subset Х$, то через
$\theta\restriction А$ обозначим систему $\{V\cap А: V\in\theta\}$.]
Итак, пусть множества $\{М_\alpha: \alpha< \tau\}$ и $\{х_\alpha:
\alpha< \tau\}$ \alpha<\tau\}$
построены. Положим
$$
М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\},\hskip 5pt
...
\lambda - \mbox{ регулярный кардинал}\}.
$$
Очевидно, $\mathcal{P}\neq\emptyset$ и $|\mathcal{P}|\leq\tau$. Для каждого $\lambda\in\mathcal{P}$
существует $М_\lambda\subset X$, такое, что $|М_\lambda|\leq\lambda$ и
$w (М_\lambda)\geq\lambda$. $w(М_\lambda)\geq\lambda$.
Положим $М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}$. Очевидно,
$|М|\leq\tau$ и $w(М)\geq\tau$. Лемма доказана.
...
$М_\alpha=М\cap Х_\alpha$. Тогда $|М_\alpha|<\tau$ для любого $\alpha\in А$,
так как $hL(Х_\alpha)<\tau$. Однако $М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}$,
поэтому $|М|\leq\tau$. Пусть $|A|>\tau$. Если
$\sup\{|М|: М -- \mbox{ правое }, М\subset Х\}\geq \tau$, то существует
семейство $\mathcal{P}$, состоящее из правых подпространств в $Х$, такое, что
$|\mathcal{P}|\leq\tau$ $$
|\mathcal{P}|\leq\tau$ и $\sup \{|М|:
М\in\mathcal{P}\}=\tau$. М\in\mathcal{P}\}=\tau.
$$
Положим $N=\bigcup\mathcal{P}$. Тогда $|N| =\tau$ и $hL(N)\geq\tau$.
Однако существует $\alpha\in А$, такое, что $N\subset Х_\alpha$; поэтому
$hL(Х_\alpha)\geq\tau$. Противоречие. Итак, $hL(Х)<\tau$.
Тем самым пункты~(а) и~(б) доказаны.
...
для любого $Х$.
Пусть $Y\subset Х$. Внешней плотностью множества $Y$ в $Х$ мы называем
$\min \{|М|: М\subset Х \mbox{ и }
Y\subset\overline{М}\}$. Y\subset cl_X(М)\}$. Очевидно, внешняя
плотность $Y$ в $Х$ не превосходит плотности $Y$.
Лемма~2. Пусть $Х$ регулярно и $d(Х)>\tau$. Тогда существует $М\subset Х$,
...
Если же $d(Х)> (ехр(\tau))^+$, то в $Х$ найдется левое подпространство $М$,
$|М| = (ехр(\tau))^+$. Тогда $w(М)\geq |М|$. Покажем, что $М$ -- искомое.
Действительно, если внешняя плотность $М$ в $Х$ не больше $\tau$, то
$М\subset
\overline{N}$ cl_X(N)$ для некоторого $N\subset Х$, $|N|\leq\tau$. Поэтому
ввиду регулярности $Х$,
$$
w(M)\leq
w(\overline{N})\leq w(cl_X(N))\leq ехр(\tau).
$$
Противоречие. Итак, внешняя плотность $М$ в $Х$ больше $\tau$.
...
цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, такая, что $Х_\alpha$ -- бикомпакт
и $\pi w(Х_\alpha) \leq\tau$ для каждого $\alpha<\lambda$. Чтобы построить
нужную цепь $\{Х_\alpha: \alpha<\lambda\}$, очевидно, достаточно показать,
что для каждого$\alpha<\lambda$ существуют
бикомпакт$Х$ бикомпакт $Х$ и ординал
$\beta<\lambda$, такие, что
$$
\pi w(Х)\leq\tau \mbox{ и } D^\alpha \times \{а_\alpha\}\subset Х\subset
D^\beta \times\{a_\beta\}.
$$
Покажем это. Пусть $Z$ -- александровское удвоение
пространства$D^\alpha$, пространства $D^\alpha$,
$Z=D^\alpha\cup (D^\alpha)'$. Через $S$ обозначим всюду плотное в $D^\alpha$
множество, $|S|\leq\tau$. Положим $Y=D^\alpha\cup S'\subset Z$. Очевидно, $Y$ --
бикомпакт и $\pi w (Y)\leq\tau$. Перенумеруем точки в $S'$:
...
супремум длин свободных последовательностей. Заметим следующее. Пусть
$\lambda$ -- регулярный кардинал и $М= \{х_\alpha: \alpha<\lambda\}$ --
свободная последовательность в $Х$. Положим
$F_\alpha
=\overline{\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\}}$. =cl_X(\{х_\beta: \alpha\leq\beta<\lambda\})$. Тогда система
$\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}$ замкнутых в $Х$ множеств центрирована
и поэтому $F_M=\bigcap\{F_\alpha: \alpha<\lambda\}\neq\emptyset$. Пусть
$р\in F_M$ и $N_М=М\cup \{р\}$. Тогда $t(р,М) =\lambda$, где
...
а $F_M$ есть объединение цепи своих подпространств $\{Т_\gamma: \gamma\in А\}$.
Отметим, что
$$
\overline{S_\gamma}_{Х_\gamma}\cap cl_(X_\gamma}{S_\gamma)\cap Т_\gamma =
\overline{S_\gamma}_X cl_X(S_\gamma) \cap Т_\gamma =\emptyset
$$
для каждого $\gamma\in A$ -- иначе, как показано выше, будем иметь
$t(N_{S_\gamma})>\tau$ для того $\gamma\in А$, для которого
$\overline{S_\gamma}\cap $cl_X(S_\gamma)\cap Т_\gamma\neq\emptyset$, а это противоречит тому,
что $t(Х_\gamma)<\tau$. Так как $|М|=\tau^+$, существует $\gamma_0\in A$ такой,
что $|S_{\gamma_0}|=\tau^+$. Пусть $\theta\geq\gamma_0$. Тогда
$$
\overline{S_{\gamma_0}}_X cl_X(S_{\gamma_0}) \cap Т_\theta \subset
\overline{S_\theta}_X cl_X(S_\theta) \cap Т_\theta
=\emptyset,
$$
и поэтому
$\overline{S_{\gamma_0}}\cap $cl_X(S_{\gamma_0})\cap T_\theta=\emptyset$ для каждого
$\theta\geq\gamma_0$, то есть
$\overline{S_{\gamma_0}}_X $cl_X(S_{\gamma_0}) \cap F_M=\emptyset$.
Но
$\overline{N}_X $cl_X(N) \cap F_M\neq\emptyset$ для любого $N\subset М$, такого, что
$|N| =\tau^+$; например, любая точка полного накопления для $N$ лежит в $F_M$.
Полученное противоречие показывает, что в первом случае $t(Х)\leq\tau$.
...
Построим нужное множество мощности $\tau$. Выберем точку $х_0\in Х\setminus \{р\}$
произвольно. Пусть $\lambda_0 = \{O_n: n\in\omega\}$ -- система открытых окрестностей
точки $р$, такая, что
$O_0= Х\setminus\{x_0\}$, $p\in O_{n+1}\subset
\overline{O_{n+1}}\subset cl_X(O_{n+1})\subset O_n$,
для любого $n\in\omega$. Пусть определены $х_\beta$ и $\lambda_\beta$ для всех
$\beta<\alpha$, причем $|\lambda_\beta|<\tau$ и $\lambda_\beta$ --
система открытых окрестностей точки $р$, где $\alpha<\tau$. Положим
...
$F_\alpha$;
\item[б)] $\theta_\alpha\subset \lambda_\alpha$;
\item[в)] для любой $O\in\lambda_\alpha$ существует $V\in \lambda_\alpha$,
такая, что
$\overline{V}\subset $cl_X(V)\subset O$;
\item[г)] $\bigcap\mu\in\lambda_\alpha$ для любой $\mu\subset\lambda_\alpha$,
такой, что $|\mu|<\omega$;
\item[д)] $|\lambda_\alpha|<\tau$.
...
система $\lambda$ обладает двумя свойствами:
\begin{enumerate}
\item[1)] для любого $O\in\lambda$ существует $V\in\lambda$, такое, что
$\overline{V}\subset $cl_X(V)\subset O$;
\item[2)] $\bigcap\mu\in\lambda$, для любой $\mu\subset\lambda$, такой, что
$|\mu|<\omega$.
\end{enumerate}
...
